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[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

En la vida de todo matemático amateur (chistes aparte) o quizás algo más profesional le llega al momento de conocer a los fractales. Esas cosas extrañas equivalen a la cuántica de la física: Ambos son un tema extremadamente interesante, pero realmente pocos saben exactamente de que trata. Asi que te prometo que para el final de post tu reacción pasará de ser algo como: ¿Frac qué? a ¡¿Fractales?! ¿DÓNDE?.

Ah, pero antes quiero aclarar un par de cuestiones.

- Spameros, incitadores de forobardo, trolls y toda la maraña de "graciosos" no están permitidos aquí. Cualquier cosa que yo considere entre estas definiciones será borrada y el usuario bloqueado. Hay muchas páginas en internet en las que pueden provocar ese tipo de situaciones.
- Interesados en el tema, los asuntos que voy a tratar aquí no son de un nivel más avanzado, aunque sí algo ajeno a la cotidianeidad y por lo tanto abstracto en cierto sentido, y posiblemente también de carácter anti-intuitivo. Sus preguntas y dudas serán bienvenidas y trataré de responderles dentro de lo que entiendo de éste asunto. Igualmente les indico que no soy profesor, con lo cual están advertidos si lo que digo los confunde más, y en ese caso les pido disculpas; no tengo ningún título que respalde lo que voy a decir (por ahora), así que quizás diga una tremenda abominación que pueden provocar hasta constipación crónica en 'Los Elegidos' del tema, quiero decir, aquellos que ya saben sobre el asunto; y por último no puedo contestar cosas muy ajenas a éstos asuntos, ya que mi ignorancia tiende a infinito en este campo (una vez más, por ahora... O eso espero)
- Este post está enfocado a un público más bien novato, pero cualquiera puede aprender de él. Evidentemente no puedo explicar nada del tema sin apelar a las matemáticas, así que espero que te gusten un poco. Además de eso, como baso mi trabajo en lo más simple de la web, no voy a evitar hacer las mismas simplificaciones o peores que allí hacen; de modo que si buscas rigor y nivel, ¡que tengas un buen día y que la puerta no te dé en el culo cuando salgas!
- Tengo un sentido del humor que puede molestarles que no voy a evitar colocar en este post. No puedo hacer nada para satisfacerlos en ese caso, así que lo más recomendable es que salgan del mismo en cuanto su paciencia se agote.


Preparado todo, abordemos el asunto:

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

Lejos de ser una hoja de helecho cualquiera, éste será tu primera aproximación a lo que es un fractal


Introducción "histórica":
Léase: Cómo construir un fractal.

¿No te esperabas esa? Vas a tener que acostumbrarte a esas cosas, porque siempre hay algo de historia que contar. Pero la historia no siempre es aburrida. Hoy, por ejemplo, te contaré sobre el colapso de un gobierno interestelar a manos de un terrible arquitecto mutante; ayudado, aunque involuntariamente, por un mamífero mentalmente muy desarrollado. ¿Te suena a esquizofrenia? Quizás lo sea. No te asustes y sigue leyendo:

La baldosa del Palacio de Nholeghoveck:

A lo lejos de ésta galaxia se gestó, hace ya millones de años, una especie de alienígenas tentaculados; los cuales alaban a la maldad y a la inteligencia. De hecho, son terriblemente "darwinistas": Si alguien es incapaz de resolver un problema es devorado por la comunidad. Además, son una raza muy colonizadora e imperialista. A lo largo de siglos han viajado por el incesante negro del espacio conquistando planetas, apropiándose de sus recursos y matando a todos sus habitantes, no sin antes torturarlos con la matemática más pura. A veces, los más malévolos comandantes de ese ejército se adueñaban de grandes palacios, como es el caso de hoy.

Rinntemardrag es el sujeto del que hablo. Éste "sujeto" había conquistado un subsector galáxico entero en pocas décadas y, tras una hábil negociación (y el pago de cuantiosos tributos, claro) había logrado mantener una cierta independencia del Imperio de los Alienígenas Matemáticos. Poco imaginaba que una combinación de vanidad (suya) e incompetencia (de su secretario) lo lanzaría a los brazos del terrible Imperio y que a su magnanimidad sólo le quedaban unos meses de vida.

El desastre empezó cuando nuestro tentaculoso "amigo" decidió conmemorar sus conquistas construyendo un palacio deslumbrante en la capital de ese imperio, Nholeghoveck, un lugar gélido e inhóspito al que el verano no llegaba jamás. El Palacio de Nholeghoveck sería el más maravilloso de todo el sector: en él se emplearían los materiales más caros, los diseños más innovadores y exquisitos, y cualquiera que visitara Nholeghoveck no olvidaría jamás ese edificio singular en honor al poderoso Rinntemardrag.

El descomunal proyecto estaba dirigido por la mano derecha del megalómano comandante, su secretario: un Lémur de Magallanes llamado Onaep, una criatura de una meticulosidad casi obsesiva y un gran cuidado con la contabilidad. Onaep no se confundía haciendo cuentas jamás, y prácticamente nunca olvidaba ningún detalle.

El proyecto del Palacio avanzaba a buen ritmo, pero quedaba algo por decidir: el suelo del Gran Salón. Poco tiempo antes, en una región externa de la Galaxia, se había descubierto un material nuevo, el ytterrerrio, del que había tan sólo una pequeña cantidad en toda la Galaxia. Era, por lo tanto, una sustancia carísima; además de su escasez, el ytterrerrio tenía colores indescriptibles con reflejos maravillosos en el especto visible por varias especies galácticas: cada especie lo veía de un color diferente, pero para todos era de gran belleza.

Pero claro, el precio era inasequible casi para cualquiera. Aunque Onaep había pensado inicialmente cubrir el suelo del Gran Salón con baldosas de ytterrerrio, cada metro cuadrado de baldosa costaba billones de Ŧ, y el Gran Salón era enorme. De modo que el Lémur decidió utilizar un material más asequible para cubrir casi todo el Gran Salón, y poner una única baldosa de ytterrerrio en el centro, de modo que llamase la atención de los visitantes con su bello color y su diseño. Pero tenía que ser, claro está, una baldosa de diseño innovador: un cuadrado o un círculo hubieran sido un desprecio a tan maravilloso material.

Así que Onaep contactó con la mejor empresa de construcción de la Galaxia por aquellos tiempos: la del afamado Terdlanbomitnbeo, cuyos extraños esclavos (los adorables cthulhucitos) eran capaces de realizar los trabajos más refinados a escalas submicroscópicas, desafiando la geometría euclídea como si tal cosa. Terdlanbomitnbeo no era barato en absoluto, por supuesto, pero el Lémur decidió que el mejor material bien merecía la mejor empresa de construcción. Así que propuso el trabajo al Alienígena Matemático, y éste se puso a trabajar en el diseño de la baldosa de ytterrerrio

Un par de semanas más tarde, Terdlanbomitnbeo mostró al secretario del dueño del palacio su diseño de baldosa.
Nholeghoveck es famoso por estar cubierto de nieve todo el año”, explicó Terdlanbomitnbeo al Lémur con voz áspera, “de modo que he pensado en hacer que la baldosa central de ytterrerrio tenga forma de copo de nieve.” El monstruo apenas cabía en el despacho de Onaep, y sus tentáculos rozaban las paredes, dejando rastros de babas; mientas el dubitativo Lémur, que no llegaba ni a la altura de la tercera ventosa del tentáculo más pequeño de éste afamado arquitecto, lo miraba con miedo. El pequeño Lémur, que no llegaba al otro , asintió dubitativo. Terdlanbomitnbeo continuó: “Pero tiene que ser algo especial, no puede ser cualquier copo de nieve ordinario… y no puede ser demasiado grande por el coste del ytterrerrio, que es prohibitivo…”, y mientras decía ésto, algo que pretendía ser una sonrisa tranquilizadora brotaba del rostro del tenteculado alienígena. “Es un diseño revolucionario, sólo posible en la práctica gracias a mis cthulhucitos.”, acotó al final el arquitecto; a lo que Onaep asentía nervioso.

La criatura mostró una pantalla a Onaep en la que se veía un triángulo equilátero. “Aquí puede ver la base del diseño, un simple triángulo equilátero de un metro de lado. Sí, sí… puede parecer poco impresionante, pero espere.” Varios de sus ojos se fijaron en la pantalla, mientras otros observaban al Lémur y un par de ellos miraban al teclado. Sus tentáculos pulsaron un par de teclas con un sonido húmedo. “Sobre cada lado, ponemos otro pequeño triángulo equilátero de modo que la base del nuevo triángulo es un tercio del lado inicial. Cada uno de los lados de los nuevos triángulos soporta la base de un nuevo triángulo equilátero cuyo lado es un tercio del anterior, y así hasta el infinito. ¡Hasta el infinito! Será una estructura de infinito detalle, infinita delicadeza, infinito interés…

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

Los primeros cuatro pasos de la baldosa.


…¿infinito coste en ytterrerrio?”, preguntó el Lémur, cuyo terror a gastar demasiado dinero le dio fuerzas para interrumpir. “¿Esos infinitos triángulos no suponen que la baldosa tenga una gran superficie y, con ella, tengamos que desembolsar una enorme cantidad de dinero en ytterrerrio?” “¡En absoluto!”, respondió el cefalópodo soltando babas por todas partes. “Ésa es la elegancia de nuestro diseño… observe los cálculos con cuidado”, y el Lémur asintió, ya que era un excelente contable y podía revisar cálculos para encontrar errores con gran facilidad. Nunca se le había escapado un error de cálculo, y prácticamente nunca olvidaba ningún detalle (prácticamente).

Ahora, mi estimado, comienza la verdadera oda. Veamos que avispado estás, matemáticamente hablando

El primer triángulo tiene un metro de lado, con lo que es trivial calcular su superficie… y no es importante ahora mismo, de modo que digamos que tiene una superficie S”, afirmó Terdlanbomitnbeo. Onaep asintió mientras calculaba en su cabecita cuánto ytterrerrio haría falta (por si tienes curiosidad y lo calculas, dado que el lado mide un metro, la superficie es [I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico m2):

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico
}
Ahora debemos añadir un pequeño triángulo sobre cada uno de los tres lados, cuya base sea un tercio de la anterior:

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

De modo que la cantidad adicional de ytterrio que hace falta es la superficie de esos tres pequeños triángulos de lado 1/3 del anterior, es decir, dado que el grande tiene superficie S…”, y Terdlanbomitnbeo hizo una pausa maliciosa para dejar que Onaep, cuyos ojos brillaban con interés, realizase el cálculo y contestase él mismo.
¡Llegó tu hora de calcular, mamífero!



[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

Mi separador de bajo presupuesto.




Ah, es sencillísimo”, respondió el secretario con cierta soberbia, ante la sonrisa malévola de Terdlanbomitnbeo. “En el triángulo grande caben nueve triángulos pequeños, con lo que la superficie de cada uno es un noveno de la del original, es decir, S/9. Y, dado que hay tres de ellos, la superficie adicional de ytterrerrio es S/3 metros cuadrados, sólo un tercio de la superficie del primer triángulo. El área total es S + S/3.”. Mis felicidades si lograste responder correctamente.

Efectivamente”, asintió Terdlanbomitnbeo complacido: ya tenía al secretario comiendo de su mano, y no pudo evitar empezar a salivar profusamente. “En el siguiente paso añadimos un triángulo de un tercio del tamaño de los anteriores sobre cada lado del borde, es decir, doce triangulitos de 1/9 m de lado. El área adicional es muy pequeña, sólo…”, y el Alienígena simplemente sonrió, esperando, mientras el dibujo de la estructura brillaba en la pantalla.

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

El siguiente paso del curioso proceso.


Tu turno de participar ha llegado nuevamente. ¡Calcula, he dicho!



[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

No puedo seguir diciendo que mi separador es de bajo presupuesto.




Una vez más, el área de cada nuevo triángulo es un noveno de la del anterior”, razonó Onaep muy ufano. “Cada triangulito tiene una superficie S/81, la novena parte de la novena parte del triángulo original. Pero hay doce triangulitos, con lo que la superficie de todos ellos es 12S/81, es decir, 4S/27. La superficie total hasta ahora es S + S/3 + 4S/27 metros cuadrados”. El minúsculo ser estaba muy satisfecho de sí mismo.

Dada su inteligenca, señor secretario”, "sonrió" Terdlanbomitnbeo, “estoy seguro de que puede decirme qué sucede en el siguiente paso que realizarán mis cthulhucitos.” Sin poder evitarlo, el color de la piel del monstruo empezó ya a cambiar a un tono azul de anticipación del placer.

¡Calcula, criatura peluda!



[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

¿Verdad que es muy linda la camisa que me compré el sábado?





Indudablemente”, contestó el Lémur de Magallanes. “Ahora añadirán un pequeño triangulito sobre cada lado del borde. Cada triangulito tendrá una superficie S/729, y hay 48 de ellos, 4 veces más que en el anterior paso. La superficie de todos juntos es 48S/729, es decir, 16S/243. Pero creo que veo dónde quiere llegar usted…

La piel de su interlocutor cambiaba ya de color rítmicamente como la de una sepia en celo. Esto debería haber alertado a Onaep, pero su soberbia hizo que ni se diera cuenta de ello, y el Lémur continuó hablando como si tal cosa. “A partir de ahora, cada vez habrá triangulitos con la novena parte de superficie que los anteriores, y habrá 4 veces más que en el paso anterior: si llamamos al triángulo original paso 0, en el paso 1 teníamos 3 con superficie S/9. En el paso 2 tuvimos 3·4 con superficie S/9^2. Luego tuvimos, en el paso 3, 3·42 con superficie S/9^3… por lo tanto, en el paso n tendremos una superficie total…

Tienes todos los datos necesarios. ¡Calcula, oh dulce marioneta!



[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

Y la combiné con unos pantalones como esos. Qué top que quedan, ¿verdad?




En el paso n habrá 3·4(n-1) triangulitos, cada uno de ellos con superficie S/9n, con lo que sumaremos a la superficie del paso anterior la superficie adicional S·3·4(n-1)/9n. Ah, se trata de una serie convergente… ¡podemos calcular la superficie final tras infinitos pasos!”. “Efectivamente”, respondió Terdlanbomitnbeo. “Cuando lo haga, comprobará que se trata de un valor absolutamente aceptable, y una cantidad de ytterrerrio que el Sátrapa puede permitirse, incluso considerando su precio.

Supongo que necesitarás algo de ayuda con la progresión geométrica para resolver este inconveniente; pero como me gusta la actitud de Terdlanbomitnbeo de lo haré buscar por tu cuenta en wikipedia, muajajaja (?).
¡Ahora sí, a calcular!



[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

Seguramente ésta es tu cara ahora, pero ¡No te desanimes!




Bien, la superficie total es [I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico“, continuó Onaep. “Puedo sacar factor común 3S, con lo que tengo [I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico“.

¡Ah!, pero no es más que una suma infinita, la de una progresión geométrica. El primer término de la progresión geométrica es 1/9, y la razón es 4/9, de modo que esa suma no es más que el primer término dividido por uno menos la razón, es decir, [I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico. En este caso, esa suma es [I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico, es decir, 1/5.” “¡Y eso significa que tengo la superficie total! Será [I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico, es decir, 8S/5.

Sus habilidades matemáticas son auténticamente admirables, señor secretario”, lo aduló Terdlanbomitnbeo, quien el día anterior había demostrado, para pasar el rato, que el conjunto de todos los hiper-hiperboloides homólogos a un hiper-toroide de quince dimensiones no tenían necesariamente por qué constituir un grupo ahneziano. El Lémur respondió con una sonrisa complaciente, ignorante del profundo desprecio que se escondía tras la mirada vidriosa de Terdlanbomitnbeo, acotó: “Como usted decía, es una superficie asumible. El área del primer triángulo era [I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico m2, menos de un metro cuadrado, con lo que 8S/5 no es demasiado. Veamos, es… ah, unos 0,69 m2. Nos costará unos 690 000 Ŧ, una fortuna, pero podemos asumirlo.

Tenga en cuenta el prestigio de tener una baldosa de complejidad infinita, utilizando menos de un metro cuadrado de ytterrerrio”, apuntó Terdlanbomitnbeo. “El número de turistas dispuestos a pagar un buen precio por ver el Gran Salón pronto compensará esta inversión.”. “El contrato es suyo”, le dijo el Lémur, muy satisfecho. “Puede poner a sus cthulhucitos a trabajar cuando desee, y pasarnos la factura cuando esté instalada la baldosa”."Muy bien”, respondió el baboso Alienígena Matemático, y empezó a arrastrarse hacia la salida, dejando tras de sí un reguero de babas nauseabundas y malolientes.

Ah, por cierto”, añadió antes de salir. “¿Quiere que le pongamos algún borde a la baldosa, una línea dorada o algo así para resaltarla frente al resto del suelo?”.
No sé… ya nos hemos gastado una fortuna en la baldosa…
No se preocupe, podemos utilizar un material barato, como el oro. No hace falta emplear más ytterrerrio, y cada metro de hilo de oro cuesta una milésima de una millonésima parte de un Ŧ.”, lo tranquilizó Terdlanbomitnbeo.
Ah, en ese caso, ¡desde luego!”, contestó el otro, aliviado. El oro era, efectivamente, una sustancia baratísima debido a la transmutación industrial.

Onaep informó a Rinntemardrag de todo el trato al día siguiente, y el comandante se mostró muy complacido: la baldosa sería, sin lugar a dudas, una atracción en todo el sector, y daría mucho que hablar. El soberbio gobernante ya veía hordas de gente haciendo cola ante su Palacio, deseosos de echar un vistazo a tan maravilloso suelo, con su nombre en los labios constantemente.

Una semana después, la baldosa estaba instalada, y Onaep recibió la factura de Terdlanbomitnbeo. Al verla en la pantalla, el pequeño Lémur abrió tanto los ojos que casi se le salen de las órbitas:

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico


Al día siguiente, tras una llamada supratelefónica, Terdlanbomitnbeo acudió al despacho de Onaep desprendiendo un olor terrorífico a satisfacción sádica, con leves notas amónicas:
¡Tiene que haber un error!”, exclamó el Lémur al verlo, su vocecilla estridente y temblorosa por el pánico. “¡En la factura!”, añadió innecesariamente ante la sonrisa llena de dientes del otro.

No, mi estimado amigo”, respondió Terdlanbomitnbeo con una voz aterciopelada y viscosa, mientras fijaba casi todos sus ojos en el pequeño mamífero. “No hay ningún error”. "No… no comprendo”, balbuceó Onaep.

Pues debería ser bien simple, para alguien con capacidades matemáticas tan… admirables como las suyas”, susurró el monstruo. “Cada metro de oro es muy barato, sólo una milésima de una millonésima de un Ŧ, pero ¿cuántos metros de oro hacen falta para bordear la baldosa?
El silencio se adueñó de la sala, interrumpido únicamente por el goteo rítmico de las babas de Terdlanbomitnbeo sobre el suelo.
Pues… pues…
Vamos, no es tan difícil. Hagámoslo paso a paso”, continuó el enorme Alienígena Matemático. “El borde en el paso 0, es decir, en el triángulo original de lado 1 metro, es de 3 metros”. El pequeño Lémur asintió, algo tembloroso.
¿Qué hay del paso 1, en el que añadimos los tres triángulos a los lados, cada uno con un tercio del lado inicial?

¡Calcula, subcriatura!



[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

Otro de mis separadores de bajo presupuesto.




Bueno, eso tampoco es tan difícil”, respondió Onaep, algo más animado. “Cada segmento del borde mide la tercera parte que antes, es decir, 1/9 metros. Y hay… veamos…”, y el Lémur se puso a contar con el dedo, segmento a segmento, todos los tramos del borde de la baldosa, ante la mirada impaciente y despectiva de Terdlanbomitnbeo. “Hay 48 segmentos, luego la longitud del borde es ahora 48/9, unos 5,33 metros.

Impresionante”, sonrió el malévolo Terdlanbomitnbeo con un sarcasmo corrosivo. “Creo que no tendrá usted un problema en decirme cuál será la longitud en el paso… bueno, en el paso genérico n”.

No puede ser muy difícil, no… sólo tengo que ver cómo varía la longitud en cada paso, y… hmm…

¿Qué me decís vos de la longitud en el paso n? ¡A calcular, vamos!



[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

Así es como me siento yo ahora.




En cada paso hay cuatro veces más tramos que en el anterior”, razonó el Lémur. “Pero cada tramo mide la tercera parte que en el anterior paso. De manera que la longitud en cada paso es 4/3 que en el paso anterior. Como la longitud en el paso cero era 3 metros, ¡la longitud en el paso n será 3·(4/3)^n!
Splosh, splosh, splosh… Varios tentáculos de Terdlanbomitnbeo aplaudieron viscosamente ante el resultado del Lémur. “Excelente”, anunció con voz gorgoteante. “Pero entonces, tras infinitos pasos, la longitud total es…
La carita de Onaep palideció mientras sus ojos se abrían desorbitados. Mientras, el cuerpo entero de Terdlanbomitnbeo se estremecía con oleadas de placer obsceno ante el sufrimiento de la pequeña criatura.
Sí, sí, incluso usted lo comprende ahora…”, anunció el monstruo, abandonando ya cualquier resquicio de cortesía. “¡4/3 es mayor que 1! Por lo tanto, al hacer n infinito, la longitud del borde de la baldosa se hace… infinita, por supuesto. Independientemente del precio del metro de oro, me temo que nos debe usted una cantidad… considerable.”

El Lémur tragó saliva.

Pe, pe, pero… ¿no hay alguna otra manera de arreglar esto?”, balbuceó con una vocecilla apenas audible.
Por supuesto que la hay”, respondió Terdlanbomitnbeo mientras su sonrisa se abría hasta que los extremos casi se tocaban en su nuca, mostrando filas y filas de dientes amarillentos y rezumantes de babas. El olor a amoníaco se hizo insoportable, y los ojitos del pequeño Lémur se llenaron de lágrimas, en parte al menos, a causa del amoníaco.
Y es que Onaep nunca cometía errores de cálculo, y prácticamente nunca olvidaba ningún detalle. Prácticamente.

En cualquier caso, así fue como todas las propiedades de su malevolencia, Rinntemardrag, fueron a parar al malvado Terdlanbomitnbeo (que las vendió rápidamente al Imperio, por supuesto); y el secretario Onaep (a petición del propio comandante) fue a parar al tercer estómago del monstruo. Poco imaginaban los habitantes de Nholeghoveck lo que les esperaba entonces, pero eso es otra historia, y tendrá que esperar a otra ocasión.

El crédito del texto es del autor de el Tamiz.

Yo simplemente corregí algunas cosillas.


A todos mis pacientes lectores, tengo que decirles que si han leído todo esa historia de una y han resuelto las cuestiones que se les presentaron se merecen una felicitación de mi parte. Pero, mucho más importante que ello, han construido su primer fractal. ¡Menudo trabajo! Pero... ¿Qué es exactamente un fractal?

Un fractal es una figura geométrica de estructura compleja que no obedece ciertas leyes euclidianas. Traducido al cristiano, esto significa que el fractal es una figura que dadas sus apariencias es muy simple, pero que con la observación detallada nos damos cuenta que no es así, sino justamente todo lo contrario: Tienen estructura infinitamente compleja; y que esto se debe a que, casualmente, su formación se debe a que las leyes de la geometría "básica" no se cumplen para esta figura.

Los fractales poseen multitud de características que los distinguen de cualquier otra figura. Sin duda, la característica más sobresaliente de todas es la que logra crear para el fractal una estructura de gran complejidad: Son autosemejantes; es decir, tienen la propiedad de que una pequeña sección de sí mismos puede ser vista como una réplica a menor escala de todo el fractal; y esto sucede con cualquier aumento que hagamos sobre el fractal: Así sucede que hasta el infinito el fractal seguirá replicándose a si mismo. A veces, los fractales son tan irregulares que pueden llegar al extremo de no autorreplicarse pero sí tener complejidad infinita. No te recomiendo tratar de entender uno de estos fractales: Dejale eso a la gente esquizoide. Este último tipo de fractales son la causa por la cual escuches tanto la palabra caos cada vez que lees sobre fractales.


Sí este video no habla por sí solo, creo que leer el post será una tortura


Por si quieres saber más sobre la relación caos-fractales, puedo darte unas ideas: los fractales y el caos tienen un montón de peculiaridades que no son compatibles entre sí. Pero las "pocas" características que son compatibles son llevadas tan al extremo que hace que ambos trabajen como si fuera una sola cosa: Muchas manifestaciones caóticas subyacen fractales en su interior.

Ahora bien, el hecho de la autoréplica regular conlleva otra característica elemental de los fractales: Son "curvas" raras. Son curvas tan extravagantes que es imposible dibujar una tangente a esa curva. Tomemos como ejemplo el fractal que acabas de hacer:

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico


¿Puedes observar las esquinas más pequeñitas? Por más que uses lentes o no, tu respuesta debería ser tan certera que demostraría toda en una simple palabra tu espíritu matemático: NO
¿Y porqué no? Pues, porque en esa imagen solo siguieron con el procedimiento unos 5 pasos. El fractal "completo" es tan complejo que esa esquina que "ves" en realidad ¡no es una esquina! y si te sigues acercando más y más para poder ver "las nuevas esquinas" verás que pasa exactamente lo mismo. Si no me estás entendiendo, puedes pensar que el fractal es una "curva rota o escalonada", simplemente que ese "escalón" es apreciable a un nivel de aumento infinito.

Esto explica, amigo mío, porqué se me ocurrió decir tal barbaridad con que es imposible dibujar una línea tangente a los fractales. ¡Ah! pero la cosa no acaba aquí: Debido a este carácter "escalonado", es posible determinar sin ningún titubeo que La distancia entre dos puntos es infinita: Si pudiéramos pararnos en una "esquina", veríamos que para llegar a otra esquina hay que recorrer "todo el camino entre esas dos esquinas". Y ya tienes que saber más que nadie que todo ese camino entre ambas está "escalonado/quebrado" hasta el infinito, lo cual hace que tengamos que recorrer ¡una trayectoria infinita!: Para recorrer dos esquinas hay que recorrer, realmente, infinitas esquinas

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

No sé dónde están esas infinitas esquinas


Y ésto último que dije puede ser interpretado al extremo: El fractal tiene perímetro infinito, algo que ya se entiende al ver el costo del oro en la baldosa de tan formidable palacio; pero no tiene superficie infinita, otra cuestión que habrás asimilado ya con la primera parte del texto.
Dicho en términos más matemáticos, el borde de la baldosa es continuo en todas partes, pero no es derivable en ninguna parte; cosa que no condiciona en absoluto la superficie de la figura

Si mis explicaciones son muy poco calificadas para hacerte entender todo esto (que no lo son son) espero que éste gif pueda servirte de ayuda:

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

Sólo tienes que repetir ese proceso hasta el infinito para luego hacer zoom y obtener algo como lo de más abajo

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico


¡Y ésto que te acabo de decir (si, lo has adivinado) trae consigo otra cuestión más! Otra cuestión que necesita ser explicada en detalle y en términos de los alienígenas matemáticos. Imagina que hay que trazar una carretera entre dos ciudades de estos malévolos imperialistas (¡Cuidado! ¡No hablo de Estados Unidos!). Lo lógico es trazarla como la línea verde nos indica, pero también podríamos realizarla como la línea azul nos muestra:

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico


Ahora bien. Si nosotros dispusieramos los cthulhucitos que participaron en la contrucción de la baldosa más conocida por ustedes para que pudieran "corregir" esa carretera hasta hacerla quedar igual que la línea verde, tendríamos que pasar por las siguientes etapas del proceso:

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico


¡E infinitos ejemplos más! Pero eso no es lo importante. Lo importante es que te des cuenta de lo siguiente:
Sabemos por Pitágoras que la línea verde es más pequeña en cuanto a distancia que la línea azul en su primera etapa (en forma de L). Pero, claro, la línea azul seguirá teniendo la misma distancia aún en las diferentes etapas, incluso en la etapa en la cual ambas líneas coinciden, y eso puedes probarlo midiendo los ejemplos que te pasé. Esto es una de las paradojas matemáticas más interesantes, pero como ahora mismo no nos importa, no lo explicaré en detalle. Lo que quiero rescatar de todo esto es que esa línea azul es un "cuasi-fractal". Tiene algunas características de los fractales, pero definitivamente no todas. La línea azul por más larga que sea con respecto a la línea verde tendrá longitud finita y es lo que hace diferenciarse de un fractal y, por ende, comportarse "igual" que la línea verde.

¿Para que digo todo esto? Pues para explicarte lo más fascinante, quizás, de los fractales. Te recuerdo por última vez que los fractales tienen longitud infinita para que lo tengas en mente y proseguiré:
Cada cuerpo tiene una única dimensión topológica. Si queremos ser rigurosos, todos los cuerpos que conocemos tienen todas la misma dimensión: 3D, pero dejemos esa rigurosidad de lado y digamos que las cuerdas tienen una dimensión topológica de 1 (no hace falta agregar esa "D" de antes), una hoja de papel tiene una dimensión topológica de 2 y una manzana tiene una dimensión topológica de 3. Las diferentes dimensiones topológicas influyen duramente sobre los comportamientos que van a tener los objetos con esa dimensión: Una manzana se comporta como una manzana; una hoja de papel como una hoja de papel y una cuerda como una cuerda y basta. Pero con los fractales así no pasa.

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

Que no te comportes como una persona no significa que seas un fractal


Dijimos que el fractal era una curva (una curva rara, pero curva al fin), y las curvas tienen una dimensión de 1. De idiotas es aclararte que el fractal nunca jamás se comportará, se verá, se mostrará como si fuera de esa dimensión y todo porque es tiene longitud infinita.

Existen dos ecuaciones formales que determinan la dimensión fractal de un objeto cualquiera, incluidos, obviamente, los fractales y derivan de la siguiente:

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

Dónde S es 'tamaño del objeto' y L 'escala de ese objeto'


La primera de las ecuaciones que, entonces, deriva de ésta aquí toma la siguiente forma:

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico


Ahora bien, los problemas de la primera ecuación es que relaciona términos que no estudiamos: escala de un objeto y tamaño de ese objeto. Por eso (y además porque entiendo tanto de topología como de artes culinarias (no cocino una mierda, y lo que cocino lo cocino como el carajo)) es que prefiero la segunda ecuación, que, ahora si, relaciona términos que hemos explicado:

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico


Ahora bien, debo explicarte lo que significan esas letritas. Si tenemos una figura en dos dimensiones normal y corriente, como un cuadrado, podemos partir el cuadrado en trozos similares a él, por ejemplo, así:

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico


Hemos construido una figura autosimilar, es decir, cada cuadrado pequeño es idéntico al grande pero más pequeño. Podemos ahora calcular dos cosas diferentes:

¿Cuál es el lado de cada cuadradito comparado con el del cuadrado anterior?
¿Cuántos cuadraditos autosimilares hay en relación con el anterior?

La respuesta a la primera pregunta es que cada cuadradito tiene 1/2 del lado del cuadrado anterior, es decir, es 2 veces más pequeño; vamos, lo de siempre. Si volviéramos a dividir cada cuadradito en otros del mismo modo, tendríamos que cada uno tiene un lado 1/2 del lado del cuadrado del que partimos antes. Ahora bien, la respuesta a la segunda pregunta es que hay 4 cuadraditos más que antes (había uno, ahora hay cuatro). Si dividiéramos cada cuadradito del mismo modo, tendríamos 16 cuadraditos en vez de 4.

De hecho, podríamos hacer este proceso infinitas veces: siempre obtendríamos cuatro veces más cuadraditos de lado la mitad que en el paso anterior: Al cabo de n pasos, tendríamos 4^n cuadraditos de lado 2^n veces menor. La dimensión fractal de una figura autosimilar suele definirse comparando estos dos valores: el número de piezas autosimilares que surgen y el tamaño de cada pieza, del modo que hemos explicado antes. Ahora bien, resolvamos la ecuación con esos números.

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico


Como verás, la dimensión fractal del cuadrado es 2, la misma que su dimensión topológica. Es más, un fractal es justamente una figura cuyas dimensiones fractal y topológica son diferentes.

Básicamente, lo que hemos hecho aquí es relacionar el espacio que ocupa algo con el grado de zoom que aplicamos. En una línea “normal” de dimensión 1, por ejemplo, si aumentas el zoom al doble, ves el doble de línea, si aumentas 10 veces, ves 10 veces más línea: la dimensión es 1, que es la misma que la dimensión topológica de toda la vida. En un plano como el cuadrado de la figura de arriba, cuando haces zoom al doble, ves cuatro veces más superficie, si aumentas el tamaño 10 veces ves 100 veces más superficie, etc. La dimensión es 2, es decir, una vez más, la dimensión topológica. Tanto la línea, la superficie, o un cubo, “ocupan lo que deben”, "se comportan como se comportan". Ahora bien, resolvamos esa ecuación aplicándola esta vez al fractal que has construido:

El lado de los triangulitos que van "saliendo" es siempre la tercera parte que en el anterior, de modo que en el paso n el lado de cada triangulito era 3^n veces menor que el triángulo original. Por lo tanto, para nuestra baldosa T = 3^n. Por otro lado, en cada paso había 4 veces más triangulitos que en el anterior, luego en el paso n habrá 4n triangulitos. Así que para nuestra baldosa N = 4n. ¿Cuál es su dimensión fractal entonces?

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico


¿Entiendes ahora lo extraño que es un fractal? No es ni una línea ni una superficie, sino algo intermedio- Y todo porque al aumentar el “zoom” tres veces en cada paso veíamos cuatro veces más triangulitos. Creo que has tenido tu primera experiencia en relación a la complejidad de un fractal aun cuando no hemos ni siquiera rozado la complejidad que verdaderamente tiene. Ahora me entiendes porqué le dejo la comprensión exacta de estos fenómenos a los esquizoides. A mi me gusta ver las figuras raras que aparecen en google

Por mi parte, simplemente te recomiendo que, si vas a encargar baldosas, dejes bien clara una cosa con la empresa a quien contrates: “Disculpe, pero la dimensión fractal del borde de las baldosas que va a ponerme coincide con su dimensión topológica, ¿verdad?” Si le dices eso, nada puede ir mal.

Pero aquí no termina la cosa. Un fractal no tiene superficie "entre medio" de dos dimensiones topológicas. Por si no me crees, puedo darte un ejemplo en concreto. ¿Conoces la cura de Peano?

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

Primeros cuatro pasos de la curva de Peano


Es un fractal tan raro que directamente no es raro. O eso es lo que tu crees. Si dibujaríamos este fractal ¿Sabes cómo se vería en el último paso?

[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

Cuadrado. Alias: último paso de la curva de Peano


Por si todavía no caes, hemos empezado con la construcción de éste fractal con una línea de dimensión topológica 1, y ¡terminamos con un cuadrado, cuya dimensión topológica es 2! Dicho en fino: La curva de Peano es un fractal cuya dimensión topológica es 1 y su dimensión fractal es 2 No te creas que un fractal tiene dimensión fractal de 1,83; 2,19 o 3,46. Puede tener cualquier dimensión fractal.

Habiéndote sorprendido o no, procediré con mis "explicaciones". ¿Qué aplicaciones tiene un fractal?

Tranquilamente se podría pensar en los fractales como una mera curiosidad matemática, o bien, si es que eres de los matemáticos que realmente conocen su entorno, como una demostración junto con otras aplicaciones matemáticas que la geometría euclidiana está mal. Para que te hagas una idea, los fractales son a la geometría euclidiana como la mecánica cuántica es a la física clásica; pero los fractales tienen muchísima utilidad en muchísimos variables asuntos.

Fundamentalmente los fractales y las técnicas para generar uno han sido utilizadas en comunicaciones (modelado del tráfico en redes), en informática (técnicas de compresión de audio y video), en robótica (robots fractales), en infografía (paisajes fractales y otros objetos) en biología (crecimiento tejidos, organización celular evolución de poblaciones, estudios sobre depredador-presa), en matemáticas (convergencia de métodos numéricos), en física (transiciones de fase en magnetismo), en química (agregación por difusión limitada), en geología (análisis de patrones sísmicos, fenómenos de erosión, modelos de formaciones geológicas), en economía (análisis bursátil y de mercado) así como en una variedad de disciplinas científicas, aunque su uso en el mundo de las artes plásticas y especialmente de la música no son menores.


La música de fractales es especialmente hermosa. No me pregunten como funciona esto porque no podré contestarles


[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

Esto es igual de hermoso que la música que acabas de oir.


[I] ¿Fractales? Entrá que yo te explico

Si no lo entiendes (mi caso) puedes mirar esto y realmente te quedarás maravillado


¡Cómo me gustaría entenderlos! ¡Cómo disfrutaría si realmente supiera un poco más sobre ellos! Es curioso, pero tampoco sé nadar. Como verás, los humanos somos prácticamente agua; y somos varios los que no sabemos nadar (mentira piadosa para no sentirme mal). Pero lo realmente curioso, y lo digo por si todavía no lo has cachado, es que absolutamente todo lo comprendido entre los quarks y el universo, en absolutamente todas las escalas, en absolutamente todos los puntos de vista, pero siempre con algo de ingenio para poder distinguirlos, son fractales

Los fractales están tan presentes en la naturaleza como la misma sucesión de Fibonacci; o quizás más aún que ella, ya que yacen tan temerosos bajo toda la demás hermosura matemática de la naturaleza que son casi indistinguibles. Pero eso no es todo. La sucesión de Fibonacci está mucho muy relacionada con los fractales, nada más que, bueno, repetiría el último párrafo. Algunas de las cosas que puedo citarte que son fractales son: los copos de nieve, la costa de una playa (por eso la isla que reúne ambas Irlandas tiene un perímetro infinito, por más que los estúpidos aparatos de medición humanos marquen otra cosa), los alveolos pulmonares, un brócoli, las dendritas de las neuronas, los helechos, un imán, un cristal, ondas cerebrales "sanas", las nubes, cualquier tipo de árbol, los dedos de tu mano, y un larguísimo etcétera.

Si dominas la lengua de Shakespeare este video será totalmente revelador para ti, tanto en material fractal como en Fibonacci; los cuales son ambos demasiado interesantes.


Salivé más con éste video que con la mujer más hermosa que haya visto


Ése es sólo un video. Los invito a mirar muchísimos más en YouTube. Verán que no sé pierden de nada.
Por último, si quieres jugar un poco por fractales puedes entrar aquí y encontrarás varios programas; ninguno es mío.

Ahora bien, habíamos empezado definiendo qué es un fractal. Sin dudas sabrás ahora lo difícil que es definirlo rigurosamente; pero tienes sin dudas muchísimas definiciones para dar si es que alguien te lo pregunta:

- Figura geométrica que no obedece ciertas leyes euclidianas.
- Figura geométrica cuya estructura infinitamente compleja está formada por réplicas de sí mismo o por réplicas de partes de si mismo.
- Una "curva rara", es decir, una curva continua pero en ningún punto derivable
- Una curva a la cual es imposible dibujarle una tangente
- Una figura geométrica de perímetro infinito pero superficie finita
- Una línea, figura o cuerpo cuya dimensión topólogica no es coincidente con su dimensión fractal

Y esas son todas las que puedo darte ahora. ¿Quieres colaborar con alguna más? Adelante

Bueno mis estimados lectores, el post ha concluido en éste punto. Los saludo con un ¡Hasta la próxima! y con el link del post aquí
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1 comentario

@MasterAlpha Hace más de 2 años
O.o
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