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Las crónicas de un número trascendental: El número e

Las crónicas de un número trascendental: El número e


Incrédulos lectores ansiosos por más post de física mal explicada con mi autoría, tengo que darles malas noticias: He vuelto; nuevamente con más matemática para ustedes. Y repitiéndome al post que publiqué hace un par de días, seguiremos trazando el camino para llegar a entender más o menos de manera decente lo que es y lo que significa el curioso número e para los matemáticos y los no-tan-matemáticos.

El día de hoy dejaremos de lado los trabajos bibliográficos e históricos para adentrarnos en algo más abstracto y serio: Hoy se discutirá únicamente bajo el lema favorito de Euler: Matemáticas puras o muerte. Afortunadamente para todos nosotros, mi alcance matemático es muy limitado; por lo que el mayor inconveniente será "desoxidar" el cerebro antes de comprender las matemáticas del asunto.

Ah, por cierto, no se dirá nada hasta que no quede convenido el contrato colorido de siempre:

- Spameros, incitadores de forobardo, trolls y toda la maraña de "graciosos" no están permitidos aquí. Cualquier cosa que yo considere entre estas definiciones será borrada y el usuario bloqueado. Hay muchas páginas en internet en las que pueden provocar ese tipo de situaciones; y, claro, esta no es ejemplo de ello

- Interesados en el tema, los asuntos que voy a tratar aquí no son de un nivel avanzado, aunque sí algo ajeno a la cotidianeidad y por lo tanto abstracto por el lado en que se mire: Si bien me basta que tengas conocimientos simples sobre matemáticas, es muy probable que vayas a encontrarte con "pequeñas" situaciones inentendibles o difíciles de tragar, probablemente debido a la falta de uso de neuronas por estas fechas, así que estás avisado. Sus preguntas y dudas son bienvenidas y trataré de responderles dentro de lo que entiendo de éste asunto. Igualmente les indico que no soy profesor, con lo cual están advertidos si lo que digo los confunde más, y en ese caso les pido disculpas; no tengo ningún título que respalde lo que voy a decir (por ahora), así que quizás diga una tremenda abominación que pueden provocar sudoración extrema, calambres, frío intenso, insomnio, constipación, perdida de pelo en las cejas, aparición de canas, falta de apetito e ira asesina en aquellos que ya saben sobre el asunto; y por último no puedo contestar cosas muy ajenas a éstos asuntos, ya que mi ignorancia tiende a infinito cuando se discuten éstas cosas (una vez más, por ahora... O eso espero)

- Este post está enfocado a un público más bien novato, pero cualquiera puede aprender de él. Por raro que parezca las matemáticas no son chino antigüo, pero a cambio de ello encontraré la forma de hacerte pensar tanto o más que si de verdad lo fuera. Igualmente no hay de que preocuparse: las explicaciones serán tanto simples como rigurosas. Además de eso, como baso mi trabajo en lo más simple de la web, no voy a evitar hacer las mismas simplificaciones o peores que allí hacen; de modo que si buscas rigor y nivel, ¡que tengas un buen día y que la puerta no te dé en el culo cuando salgas!

- Tengo un sentido del humor que puede molestarles que aparecerá sin asco ni rubor cuando menos se lo esperen y que de ninguna manera me privaré de colocarlo en el post. No puedo hacer nada para complacerlos si es que les desagrada, así que lo más recomendable es que salgan del mismo en cuanto su paciencia se agote.

Las crónicas de un número trascendental: El número e

Cada vez más cerca de comprender la identidad de Euler


Habiendo dicho todo esto, estamos más que listos para comenzar. Tené en cuenta que los temas que se van a presentar a continuación pueden requerir más de una lectura para "cazarlos" enteramente. En cuyo caso, te pido paciencia, y, por supuesto, que recuerdes que nadie nació sabiendo, incluso Euler.

No sé si conocerás, pero en la historia de la exploración marítima es muy frecuente que dos exploradores reclamen haber descubierto islas perdidas en medio del océano; por supuesto territorios independientes, pero en realidad era la misma isla. Eso incluso pasaba aún cuando las exploraciones tenían un siglo de diferencia o quizá más. Pues bien, la historia del número e es tan dispar como esa.

Muchos relatos se cuentan sobre esa constante enigmática. Napier (o Neper, según las preferencias de cada uno) y sus logaritmos; Euler y su método mediante fracciones continuas; Euler (sí, de nuevo) y su serie de factoriales... Pero la forma que me parece más curiosa (y la que vamos a explicar primero, por supuesto) es la que llevó a Jakob Bernoulli, el hermano del mentor de Leonhard, a comprender un poco más los misterios de este número. Vamos a explicarlo de una manera un poco distinta a como sucedieron en realidad...

La adquisición del Banco Estelar de Deneb:
Léase: El método de Jakob Bernoulli.

Pocas instituciones financieras en la Galaxia tenían el prestigio del Banco Estelar de Deneb. La honestidad y la eficacia del BED, inauditas en cualquier otro sistema estelar, lo habían convertido en el banco de referencia en su brazo galáctico. Las acciones del BED cotizaban a precios muy elevados en la Bolsa Galáctica y, aunque se trataba de un negocio que proporcionaba netos beneficios, su reputación y las expectativas de su crecimiento lo hacían una muy mala adquisición a un coste tan exorbitado. Sólo hubo un bache en la historia del BED, y nuestra historia comienza unos días antes.

El magnate Lurcobbinelajo, un Alienígena matemático cuya fortuna abarcaba sectores enteros, había puesto su mirada multiocular sobre el Banco Estelar de Deneb meses atrás. Sin embargo, aunque el hambre y la ambición de Lurcobbinelajo eran tan intensas que lo corrorían por dentro, la adquisición del BED al precio de su acción era un movimiento estratégicamente muy torpe, y si algo no era Lurcobbinelajo era torpe. De modo que, como buen Alienígena matemático, el baboso ser ideó un malévolo plan para desplomar el precio de la acción del BED y poder así adquirir el banco con un coste razonable.

El BED era de una gran eficacia, entre otras cosas, porque no empleaba ordenadores. En vez de ello hacía uso de una especie de características únicas en la Galaxia, como sucede con tantas otras: los maravillosos vamisos de Petrovichi, procedentes de un gélido planeta que gira alrededor de una estrella moribunda. Estos seres no son grandes, ni rápidos, ni fuertes, ni tienen la menor creatividad o habilidad social; de hecho, muchos estudiosos sospechan que los vamisos son seres artificiales cuyos creadores se extinguieron hace mucho tiempo, aunque nadie le diría eso a un vamiso a la cara, pues es terriblemente ofensivo para ellos. Sin embargo, estos seres son capaces de realizar cálculos y pensamiento lógico a una velocidad varios órdenes de magnitud superior a la de cualquier otro ser vivo en la Galaxia y la mayor parte de las máquinas y con una precisión absoluta. Además, los vamisos carecen de ambición o avaricia, con lo que trabajan placenteramente a cambio de lo único en el Universo que los hace realmente felices: los melones.

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Salario promedio mensual de un vamiso de Petrovichi


La conquista de la Tierra por parte de los Alienígenas matemáticos proporcionó a la Galaxia un suministro continuado de melones, lo que convirtió a los vamisos en un sustituto barato y eficacísimo de las computadoras. De modo que el BED operaba con vamisos, y el olor a fruta llenaba las oficinas de cualquiera de sus sucursales: un pequeño precio que pagar a cambio de los cálculos de precisión extrema que realizaban las criaturas.

Es más, cuando por alguna razón un vamiso no era capaz de resolver un problema en cierto tiempo, inmediatamente se ponía en contacto con el más cercano para pensar juntos en él. De este modo, cuando un cálculo era muy largo, podían computarlo en paralelo y llegar así más rápido a la solución.

El punto débil del BED, a los ojos de Lurcobbinelajo, era precisamente el uso de los vamisos de Petrovichi, cuyas mentes funcionaban con tal rigidez y literalidad que era posible bloquearlos o hacer que llegasen a conclusiones paralizantes con bastante facilidad. Además, el banco se jactaba de su honestidad extrema, su precisión absoluta y de ser siempre lógico y justo en el tratamiento de sus clientes… y el baboso multimillonario galáctico sabía exactamente cómo sacar partido a ambas cosas.

De modo que, una mañana, Lurcobbinelajo acudió a la oficina del BED frente al edificio donde tenía su despacho. Al llegar a la ventanilla, se encontró con un adorable Lémur de Magallanes que lo reconoció inmediatamente (Lurcobbinelajo era el dueño de medio planeta) y se dirigió a él con su vocecilla lemúrida y un gran respeto.

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Sucursal del BED en R'lyeh, tierra de Cthulhu.


“Bienvenido al Banco Estelar de Deneb, señor Lurcobbinelajo”, dijo el Lémur. “¿En qué podemos ayudarlo?” - “Quiero invertir en su cuenta 100%”, respondió suavemente el monstruo, poniendo sobre el mostrador un único billete de 1§, una cantidad irrisoria. “Según tengo entendido”, continuó susurrando la criatura, “se me proporcionará un 100% de interés en un año”.

“Desde luego, desde luego”, confirmó el cajero, algo confuso, cogiendo el billete con su manita. “Se trata de una cantidad muy pequeña, pero el BED no tiene mínimos de ingreso, de modo que no hay problema. En un año usted habrá recibido un 100% de interés, es decir, 1§ adicional, con lo que tendrá 2§. ¿Hay algo más en lo que podamos ayudarlo?”

Varios de los ojos de Lurcobbinelajo pestañearon lentamente, fijos en la pequeña y peluda criatura frente a él, que sintió un leve escalofrío. -“Sí, la verdad es que sí. Tengo una pregunta.” Algunos comentan que, esa misma tarde, el cajero comentó a otros empleados que al escuchar esa frase estuvo ya seguro de que todo estaba perdido para el banco, pero es imposible estar seguros de ello. En cualquier caso, el Lémur sonrió solícitamente, controlando su nerviosismo, y preguntó con amabilidad: “Por supuesto. En el BED estamos para servirle. ¿Cuál es su duda?”

El Alienígena se relamió los enormes labios con una lengua húmeda y humeante. “Bien, tengo entendido que su banco es siempre equitativo y justo. ¿Qué sucedería si no espero el año entero para retirar mi dinero? ¿Si, por ejemplo, lo retiro cuando haya pasado la mitad del tiempo?” - “Bueno, la duración del depósito es de un año, señor, con lo que…”, respondió el Lémur.

“Ya lo sé”, interrumpió Lurcobbinelajo y esparciendo algunas babas sobre el mostrador. “Pero no es una norma tan justa como pretende ser su banco. Se me computa el interés al final de todo el año, de modo que el interés adquirido durante la primera parte no cuenta para generar dinero en la segunda. Al fin y al cabo, no habría tanta diferencia para ustedes si me permitieran sacar el dinero cuando ha pasado la mitad de tiempo y darme, por tanto, la mitad del interés entonces.”

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Con esa cara hubieran echado a Lurcobbinelajo en un barco normal luego de esa declaración


“Espere un momento, por favor”, dijo el cajero, y desapareció tras la ventanilla. Unos minutos más tarde, apareció de nuevo ante Lurcobbinelajo. “La Central ha aprobado su petición, considerándola justa y razonable. Puede usted retirar su dinero cuando haya pasado la mitad del tiempo, y recibir entonces la mitad de interés. Si ingresa 1§ y lo retira a los seis meses, obtendrá entonces la mitad del interés total, 0,50§”. Lurcobbinelajo asintió, agitando sus tentáculos de una manera desasosegadora para el Lémur, que se escondió tras el mostrador.

“¿Desea usted alguna cosa más?”, preguntó el lémur, tembloroso. -" Bueno, ahora que lo dice...”, respondió acariciadoramente Lurcobbinelajo, ante lo que el Lémur tragó saliva y sus grandes ojos marrones miraron al otro, aterrados. “Si saco el 1§ que he ingresado cuando haya pasado un año, obtendré 1§ de interés, con lo que tendré 2§.” El cajero asintió. “Si saco el dinero a los seis meses, entonces obtendré 0,50§, con lo que tendré 1,50§.” El cajero volvió a asentir. “Por lo tanto, si saco el dinero a los seis meses y vuelvo a ingresarlo de nuevo, y entonces espero los otros seis meses restantes, obtendré más dinero que si dejo el depósito todo el año de una vez”.

Aunque los Lémures de Magallanes no son las criaturas más inteligentes de la Galaxia ni mucho menos, el cajero asintió, complacido, pues la cosa era evidente. “Naturalmente, señor. De ahí que tuviese que pedir autorización para autorizar ese cambio, puesto que supone 0,25§ adicionales para usted al hacerlo de esta manera más exacta.” - “Sí, el interés compuesto es una cosa muy interesante”, respondió Lurcobbinelajo. “Pero si realizo el proceso tras tan sólo tres meses, entonces ganaré aún más”.

“Un momento, señor.” El Lémur presionó un botón, y un vamiso apareció pronto a su lado. La pequeña criatura recién llegada era de menos de un metro de altura, de piel grisácea y pequeños ojos rojos como botones, sin pelo de ningún tipo, ni expresión facial, ni nada de nada. El Lémur susurró al oído del pequeño vamiso, que cerró los ojos un instante y respondió al Lémur en un susurro.

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Vamiso de Petrovichi, momentos después de recibir su paga de melones


“Correcto”, confirmó el Lémur a Lurcobbinelajo. “Si en vez de hacer la inversión en un año la hace usted en dos pasos, obtiene 2,25§, pero si la hace en cuatro pasos obtiene 2,44140625§. El primer trimestre corresponde a un 25% de interés, con lo que retira usted 1,25§. Al ingresar 1,25§ durante un trimestre obtiene el 25% de interés y retira 1,5625§, que ingresa durante un trimestre para retirar un 25% más, es decir, 1,953125§, que ingresa de nuevo para el último trimestre, obteniendo al final 2,44140625§.” El BED, por supuesto, no utilizaba céntimos como cantidad mínima en sus transacciones, ya que se jactaba de precisión absoluta — empleaba tantos decimales como hicieran falta en cada caso. “Como puede ver, siempre tenemos su mejor interés en mente, y obtiene usted bastante más de lo que obtenía con la regla inicial de mantener el dinero un año”.

“Sí, sí… son ustedes muy generosos”, sonrió afablemente Lurcobbinelajo. “El BED es de una justicia y precisión extremas”, dijo en voz muy alta. “Al suavizar el cálculo del interés a lo largo de los trimestres, el interés que obtengo al principio me renta durante el resto del tiempo, con lo que gano bastante más dinero que antes. ¡Qué banco más extraordinario!”. Como el BED era el banco de referencia, y Lurcobbinelajo el multimillonario de referencia, siempre habría más que un periodista por ahí. Te imaginarás cómo habrán sido los titulares al día siguiente.

Las acciones del BED subieron varios puntos ese día, y todo parecía ir bien. Pero, naturalmente, las cosas no iban bien: iban fatal. Lurcobbinelajo estaba allí de nuevo a la mañana siguiente, y el Lémur amagó a cubrirse la caracon una manita peluda y adorable. “¿Puedo ayudarle en algo?”, preguntó, temiendo ya lo que iba a venir.

“Pues sí, la verdad es que sí”, respondió Lurcobbinelajo. “No me parece justo que el interés se compute cada trimestre únicamente, ya que entonces, el dinero que gano el primer mes no sirve para generar interés durante los otros dos. Creo que lo que haré será sacar el dinero cada mes e ingresarlo de nuevo, de modo que el interés se compute mes a mes y no trimestre a trimestre. ¿Cuánto tendré entonces al final del año?”

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Ella también guardó su dinero en el BED, y por eso su patrinomio creció tanto


El Lémur pulsó el botón, e ipso facto un vamiso apareció a su lado. Tras la conversación a susurros, la pequeña criatura gris cerró los ojos durante un instante y respondió en voz baja al Lémur, que sonrió nerviosamente a Lurcobbinelajo. - “Cada mes obtendrá 100%/12, es decir, un interés del 8,3333…%. De modo que al cabo de doce meses, la cantidad total será (1+0,08333…) * (1+0,083333) * (1,08333…), y así doce veces, es decir, (1+1/12)^12, lo que resulta ser 2,61303529022§. Pero, realmente, señor, la diferencia con la cantidad anterior es ahora bastante pequeña, y no veo por qué…”

“Es una cuestión de EXACTITUD”, respondió Lurcobbinelajo con un tono que hizo al Lémur acurrucarse, hecho una pequeña bola peluda, contra la pared. “No tiene sentido no computar el interés cada tres meses, entonces no me renta la cantidad inicial. De hecho… un mes es mucho tiempo. ¿Qué sucede si realizo el proceso cada día, para que el interés se compute de una manera más suave?” . El vamiso, acto reflejo, cerró los ojos y susurró al oído del Lémur.

“En este caso, ya que hay 365 días en un año estándar, el resultado es (1+1/365)^365, es decir, 2,71456748202§”. El vamiso dio unos golpecillos en la pierna del Lémur para llamar su atención, y luego susurró de nuevo en su oído. - “Mi colega me indica, por si va usted a preguntarlo ahora, que si el cálculo se hace aún más exacto y calculamos el interés con una precisión muchísimo mayor, el resultado casi no cambia. Me está diciendo que, si en vez de en 365 pasos lo hacemos en un millón de pasos, el resultado final es (1+1/1000000)^1000000, es decir, 2,71828046932§.”

“Sí, sí… pero eso no sigue siendo exacto. ¡Estamos partiendo el tiempo en trozos discretos, durante cada uno de los cuales mi dinero no me renta interés de verdad!”, rugió Lurcobbinelajo. “¡Quiero saber cuánto tendré al final si el interés se computa de manera continua durante todo el año!”. Todos los encargados de las más diversas tareas del BED y todos sus clientes ahora presentes se voltearon hacia Lurcobbinelajo.

El Lémur miró al vamiso, que cerró los ojos… y el silencio en la sala era tremendo. Al cabo de diez segundos, el pequeño ser llamó al vamiso más cercano y le contó el problema, y ambos cerraron los ojos. Sin embargo, al cabo de diez segundos no habían llegado a una respuesta, de modo que ambos se dirigieron a los dos vamisos más cercanos, y los cuatro cerraron los ojos. A los pocos minutos, todos los vamisos del banco estaban con los ojos cerrados, y al cabo de dos horas, tres sistemas estelares estaban en la misma situación. Mientras, Lurcobbinelajo sonreía más y más, hasta que los extremos de su boca casi se tocaban por detrás de su cabeza. Los titulares del día siguiente eran muy distintos a los anteriores

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El futuro de la sucursal en R'lyeh del BED, a menos que...


Las acciones del BED, incapaz de operar, con todos los vamisos pensando absortos y ningún otro vamiso a quien acudir, se desplomaron a la mitad de su valor del día anterior. Naturalmente, Lurcobbinelajo adquirió todas las acciones disponibles, y se encontró dueño del 64% del banco más eficaz de la Galaxia… o, al menos, el más eficaz hasta el día anterior. El problema era, por supuesto, que era dueño de un banco inoperativo, con vamisos bloqueados tratando de llegar a una respuesta imposible.

Sin embargo, Lurcobbinelajo no había llegado hasta este punto ciegamente: tenía un plan muy claro. En cuanto se sentó en la silla de su despacho en la sede central del BED al día siguiente, puso una llamada a su principal contacto en la Secretaría Económica del Virreinato local: Lurcobbinelajo tenía favores pendientes casi en todas partes, y sabía bien cuándo y cómo utilizarlos.

“Secretario Reluedrahnoel?”, ronroneó el monstruo mientras en la pantalla de su despacho aparecía la cara rojiza y aterciopelada del Secretario Económico del Virrey, que lo miró con tres ojos grandes y ligeramente asustados. “Llamo para pedirle un pequeño favor…”. - “Por… por supuesto, su Vileza”, respondió apresuradamente Reluedrahnoel, utilizando de forma inconsciente un honorífico reservado estrictamente para la nobleza, al que Lurcobbinelajo no tenía ningún derecho. “¿De qué se trata?” - “Va usted a emitir un billete de una nueva denominación…”

Al día siguiente, según los vamisos iban viendo el nuevo billete, por razones desconocidas salían de su bloqueo y sonreían beatíficamente con sus pequeñas bocas, la expresión más emocional vista en ellos jamás: un alivio intenso y difícil de comprender para cualquiera excepto un vamiso o un Alienígena matemático. En unas horas, el BED funcionaba sin problemas otra vez y todo iba perfectamente.

Dos días después, un Lémur de Magallanes entró en la misma sucursal en la que Lurcobbinelajo había perpetrado su malévolo y retorcido plan. El Lémur vestía una extraña gabardina, un sombrero de ala ancha y unas gafas de sol demasiado grandes para su peluda cara.

“Hola, muy buenos días”, saludó la pequeña criatura al cajero, que no era el mismo interlocutor de Lurcobbinelajo (una baja temporal por razones personales). “Vengo a hacer un depósito”. El Lémur puso sobre el mostrador un billete, y carraspeó. “¿Cuánto obtendré al cabo de un año?” - El cajero miró al Lémur y luego al billete sobre el mostrador:

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El crédito del texto es, por cierto, del autor de El Tamiz.

Yo simplemente corregí algunas cosillas


Antes de empezar a lanzar fórmulas, demostraciones, conceptos y detalles, creo que sería bueno felicitarte si leíste todo eso en una sola leída. Espero que se entienda que no es "un texto entretenido" más, sino que también tiene su componente didáctico, por lo que me pareció conveniente agregarlo al post. Ahora sí: A lo nuestro

Luego de haber leído la adquisición del Banco Estelar de Deneb, espero que te hayan quedado claras dos cosas: En primer lugar, que nunca te puedes fiar de los Alienígenas Matemáticos; y en segundo lugar, que el número e, al menos hasta ahora, hace aparición en los cálculos del interés compuesto, al menos siempre que el capital inicial sea un monto igual a la unidad.

No sé qué tanto sabes de matemáticas, así que sencillamente haré de cuenta que no sabes nada, y daré todas las explicaciones que crea necesarias aún cuando sea lo más tonto del mundo. Siguiendo lo dicho, más arriba nombre algo que puede que no sepas qué es: interés compuesto. Espero que sepas de antemano que también existe el interés simple. Así que es mi deber, entonces, explicarte la diferencia entre esa definiciones:

Ambos intereses son números que se obtienen en torno a tres variables clave: El capital inicial (que es el dinero que colocás en el banco, digamos), la tasa de intereses expresada en %, y el tiempo. Un ejemplo tonto: si vos depositás 1 dólar con una tasa de interés del 100% anual, al final del año tendrás, claro, 2 dólares; producto de sumar el Capital inicial y en Interés. En el interés simple, siempre se va a calcular los intereses en base al capital inicial (1 dólar), nunca al capital final (2 dólares). En el interés compuesto pasa al revés; lo que significa que tendrás mayores ganancias. Generalmente los bancos trabajan con interés compuesto, por cierto.

Jakob Bernoulli, al igual que Lurcobbinelajo, sabía perfectamente esa diferencia curiosa entre ambos intereses. Y como todo gran matemático, decidió ponerse manos a la obra para estudiarlo un poco, tratando de escudriñar alguna que otra conclusión. Su primera pregunta seguramente fue: ¿Cómo se obtiene el interés compuesto? Hay muchas fórmulas para ello, pero te voy a dar una que te será familiar:

Las crónicas de un número trascendental: El número e

CF es 'capital final', CI es 'capital inicial', i es 'tasa de interés' y n es 'tiempo'.


Aquí, dos cosas. En primer lugar, la tasa de interés según ésta fórmula estará expresada en "tanto por uno", es decir, que para obtener lo mismo pero expresado en porcentaje hay que multiplicarlo por cien. Pero esto, claro, "desequilibraría" nuestra igualdad, con lo que habría que dividir la tasa de interés por cien nuevamente, y quedándonos como está. Ah, y lo segundo, el tiempo puede ser expresado en términos que nos convengan: años, meses, días, el que quieras.

La pregunta de Bernoulli fue simple: ¿Qué pasa cuando dejamos nuestro capital produciendo intereses durante mucho tiempo, digamos, durante infinito tiempo? Para simplificar las cosas, Bernoulli supuso que el capital inicial fuera 1, y la tasa de interés de 100% (es decir, 1 "por uno" nuestra ecuación). Corrigió lo que había que corregir, y tuvo lo siguiente:

Las crónicas de un número trascendental: El número e


Antes de caer presa del pánico por la cantidad de números, espero que entiendas que ya sabes el resultado, pues lo viste de una manera más llevadera en el texto de arriba. La solución para esa ecuación es lo que se conoce como "límite", y vendría a significar algo muy simple: La solución que toma la ecuación a medida que n se aproxima a infinito, en este caso. Entonces, el límite de esa sucesión es, nada más y nada menos, que el número e. Si el estudio de las finanzas es lo tuyo, verás muy a menudo el número e; y más todavía esa ecuación. Lo cierto es que el "alcance" del número e aquí es bastante reducida: Si cambias la tasa de interés, verás que nunca aparecerá el número e en las cuentas, pero lo importante es que apareció. Por primera vez, claro.

Pero lo cierto es que el número e empezaba a hacerse notar por otros lares, curiosamente inesperados si es que tienes en cuenta que ya había aparecido en un cálculo de interés compuesto. Con Newton y Leibniz nacía el cálculo; y ya Descartes había creado la geometría analítica, y con ellas las funciones; y los logaritmos de Napier estaban muy cerca de ellas.

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Gráfica del logaritmo natural. No confundir con logaritmo neperiano


Creo que concordarás conmigo al decir que, si hay algo que le gusta a los matemáticos, es interesarse por las "cosas simples", y tratar de hacerlos parecer complicados con ecuaciones y fórmulas. Pues bien, esa gráfica que vez ahí arriba es, curiosamente, "simple" (¿Qué más simple que una hipérbola?). "Simple", claro, por cuestiones de definición: Esa gráfica corresponde a un logaritmo, pero no uno cualquiera, sino a uno que se define como "el área bajo la gráfica de 1/t entre 1 y x".

Qué es lo que tiene una función de parecido con un área no lo sé, pero se ve que a los matemáticos eso les era correcto. Más aún, curioso. El cálculo, muy bonito pero no en esa época, proponía una cuestión: "¿Y si calculamos el área que nos da esa definición?". Quedó algo como esto:

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Sencillamente, si no sabes nada de cálculo, o incluso si sabes "un poco", la diferencia entre eso y hebreo antigüo es prácticamente nula. Como iniciado en cálculo integral tengo que decir que no puedo explicarte lo que esa fórmula "significa", así que te recomiendo que la mires pensativo, como queriendo convencerla de que te revele un secreto; así alguien que te vea pensará que simplemente te volviste loco, al igual que todos los que saben algo de matemáticas.

Pero lo cierto, paciente lector, es que esa ecuación sí significa algo para otros menos novatos. Ellos supieron entender en tan sólo unos minutos que si ese resultado daba 1, entonces irremediablemente x debía valer e. Y si sabes algo de logaritmos pero no tanto como para que sea algo obvio, eso significaba que la base del logaritmo natural debía ser irremediablemente el número e. Segunda aparición para este número tan versátil.

Ahora que me detengo un momento a pensarlo, creo que te mentí más arriba. Los matemáticos tienen otras fascinaciones además de las cosas simples y cómo hacerlas parecer complicadas. Es algo que comparten estrechamente con los físicos, y también con el común de las personas en general. Hablo de la simetría.

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Pegatina encontrada en la parte trasera de los autos de los matemáticos.


La fascinación de los matemáticos por la simetría consiste, más que nada, en dar respuesta a una pregunta del siguiente tipo: ¿Y cómo sería algo simétrico a eso que estamos estudiando? Por ejemplo, supongamos la función del logaritmo natural de más arriba: ¿Cómo sería la función simétrica de esa función logaritmica en particular?

Lo cierto es que, en este aspecto, el número e no tiene tanto protagonismo como parece. Los matemáticos ya habían explorado el mundo de la simetría de las funciones tiempo atrás, y era algo que estaba prácticamente dominado. Particularmente, la simetría "más poderosa" es aquella que subyacía entre las funciones logarítmicas y exponenciales (cosa que Euler ya había advertido). Esto "es así" por una razón: Así como la suma es la "operación inversa" a la resta; y lo mismo con la multiplicación y la división, y también con las potenciación y la radicación, la función logarítmica es inversa a la función exponencial (cosa que Euler ya había advertido).

¡Entonces era natural que guardaran cierta simetría! Por cierto, y perdoname por insultar tu inteligencia, pero la funcón del logaritmo natural es una función logarítmica. Osea que tiene una función inversa; una función inversa que tiene forma exponencial, una función inversa que, representada en un gráfico, es simétrica con respecto a la función logarítmica. ¿Cuál es esa función?

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Representación de la simetría entre las funciones logarítmicas y exponenciales


Y si supongo que no sabes mucho de cálculo de logaritmos, debo advertirte que, en primer lugar, la función logarítmica tendría la forma: In (y) = x. Además, "In (y)" es un logaritmo de base e, como vimos más arriba. La función inversa, en este caso, no es más que y = e^x

Sí, es cierto. Mucho misterio par algo obvio, matemáticamente hablando. Obvio, por cierto, para quien sabe algo de matemáticas, pero no tanto para aquél que no sabe tanto; pero bueno. Lo cierto es que el número e todavía tiene más apariciones en lo que respecta a las funciones.

Por ejemplo, imaginá que tenés una cuerda, cualquiera sea su material, longitud, grosor... Lo único que importa acá es que supongas que la agarres cada extremo con una de tus manos, de manera que quede "tirante". Eso no es más que una línea recta, ¿verdad? Ahora, poco a poco, y siempre agarrando la cuerda por sendos extremos, comenzá a juntar tus manos. En un momento determinado, te quedará algo como ésto:

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Así, con una construcción tan simple, obtuviste lo que se denomina catenaria. Esta catenaria es un tipo de curva que atrajo la atención de los matemáticos de la gama de Leibniz, Huygens o, por supuesto, Jakob Bernoulli. Lo cierto es que todos los matemáticos se referían a esa curva como una parábola más; cosa que supongo que vos también habrás echo cuando viste la imagen.

Pero lo cierto es que no es una parábola; y como tal, no puede representarse teóricamente como una ecuación parabólica; cosa que Huygens ya había dejado en claro. ¿Cómo carajo era la ecuación entonces? Evidentemente vos ya tendrás tus sospechas. La pregunta sería, más bien: ¿Dónde aparece el número e en esa ecuación?

Las crónicas de un número trascendental: El número e

Ecuación de una catenaria


El número e aparece por todas partes. Como verás, en esa ecuación n es un factor que puede tomar cualquier número, y siempre obtendremos una catenaria. La formula más "correcta" suprime el valor de n, pero bueno. Lo cierto es que si a n le damos un valor puntal, digamos, de 1/2, obtendremos una figura curiosa:


Las crónicas de un número trascendental: El número e

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Si, bueno, es cierto, no es nada curiosa. Pero sí es importante. Esa gráfica, además de haber aparecido un par de párrafos más arriba, representa el coseno hiperbólico de un número cualquiera. Por cierto, si cambiáramos un poco las cosas...

Las crónicas de un número trascendental: El número e

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... Obtendríamos la ecuación de la gráfica del seno hiperbólico de un punto. Y por cierto, si cambiamos otro par de cosas...

Las crónicas de un número trascendental: El número e

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... Obtendríamos la ecuación de la tangente hiperbólica de un punto. Ahora bien, ¿qué significa todo esto? No tengo ni idea; pero de lo que estoy seguro, es que el número e aparece también como anexo en trigonometría. Pero eso no es todo.

Hay muchas maneras de obtener el número e de manera menos azarosa y más, digamos, algorítmica. Si bien esto ahora dicho es informalmente una curiosidad, no se deben despreciar las formas que tiene este número de aparecer. En palabras del propio Euler:

Las crónicas de un número trascendental: El número e


Aunque ese fue un ejemplo, en realidad hay muchísimas otras formas de obtener el número e de formas similares. Por ejemplo, la más común de todas (a mi parecer, claro) es a través del sumatorio de los inversos de los factoriales:

Las crónicas de un número trascendental: El número e


Punto y aparte. Con todo lo que se dijo del número e es muy difícil elegir algo, al menos para mí, que me resulte particularmente curioso y más interesante de lo ya visto. No obstante, hay algo que creo poder hacer encajar en esas definiciones. Intentaré explicarte una particularidad del número e que es la que le da tanta fama como a pi.

Imagina una sencilla ecuación como la siguiente: x^2-2=0. ¿Qué solución podría tener? Con un par de cálculos sencillos, obtenemos que la solución es doble: √2;, o -√2;. Como verás, de esa ecuación se puede presumir que √2 es solución de, al menos, una ecuación polinómica; es decir, de alguna ecuación que involucre coeficientes y variables elevadas al grado que queramos.

Lo cierto es que √2 es uno de los tantos números que cumplen con la propiedad de ser raíces, o soluciones de esas ecuaciones polinómicas. Todos esos números son los llamados números algebraicos. Surge la pregunta, entonces, ¿existirán números que no sean solución de ninguna ecuación polinómica? La respuesta, tan certeza como desconcertante, es un rotundo sí. Y por supuesto, e es uno de esos números tan peculiares.

Lo cierto es que hay muchísimos más números trascendentales de los que puedas imaginar, nada más que lo difícil es determinar si un número en particular es trascendental o no. Hoy, por ejemplo, es "fácil" demostrar que tanto e como π son trascendentes, así como todas sus potencias (π^2; e^28, π^-4; e^-12, π^1/2, e^-17/20, vos me entendés); y otro par de constantes (y sus potencias, claro) que son prácticamente desconocidas y que, técnicamente, no son importantes para nosotros ahora mismo.

Las crónicas de un número trascendental: El número e

Números trascendentales: Los "Federico II El Grande" de los tiempos helenísticos. Sigue leyendo.


Pero lo cierto es que los números trascendentales tienen naturaleza troll... Los antiguos griegos tenían una peculiaridad que era, a su vez, tanto buena como mala: Ellos debían utilizar únicamente regla y compás para resolver todos los problemas de su amada geometría. Lo malo era que limitó mucho los conocimientos de los griegos. Lo bueno era que potenciaba el ingenio de éstos.

Pero lo cierto es que no importa cuánto ingenio podía tener un griego, siempre había tres problemas que atormentaban por su aparente irresolubilidad a través de los citados insturmentos griegos. Quizás los conozcas de nombre: La cuadratura del círculo, la trisección del triángulo y la duplicación del cubo.

No importa lo que planteaban esos problemas. Lo que importaba era que para resolverlos necesitaban, en mayor o menor medida, determinar π o una de sus potencias a través de regla y compás; o lo que es lo mismo, a través de cálculos algebraicos; y eso es imposible, como bien sabes. Claro que con otro método más conveniente, esos problemas son triviales. Pero claro, decile vos a un griego que use otra cosa que regla y compás

Las crónicas de un número trascendental: El número e

Es como tocarles los círculos a Arquímedes.


Pacientes lectores, el post debe finalizar aquí. Si bien este post no tuvo el propósito de ser un texto estrictamente académico ni mucho menos, espero que la naturaleza del número e haya quedado, cuanto menos, explícita. Los saludo con un ¡Hasta la próxima! y, por supuesto, con una invitación a mi post aquí

Todas las fuentes utilizadas aquí, aquí, aquí, aquí y aquí
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2 comentarios

@alquimista_7 Hace más de 1 año +1
voy a tener que leerlo detenidamente para ver si lo entiendo aunque un resumen hubiera sido mejor
no entiendo eso de la historia del BED Lurcobbinelajo no se que mas, seria un agrado si el que creo este tema me lo explicase no entiendo j se ve interesante pero no lo logro comprender
@Agwstn Hace más de 1 año
La historia del BED es una forma irónica y extensa de explicar el razonamiento que hizo Jakob Bernoulli para calcular el número e. Por cierto, ese mismo razonamiento está justo debajo del final de la historia del BED. Es como "una entrada en calor"
@alquimista_7 Hace más de 1 año +1
es para morirse de la risa La adquisición del Banco Estelar de Deneb: la historia ajajaj me gusta
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