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Muchos Apuntes de Matemática y Lógica 2014 (Parte 1)

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Muchos Apuntes de Matemática y Lógica 2014 (Parte 1)
Hola a todos, los saludo después de un largo tiempo de inactividad y vengo a traerles estos útiles apuntes de Matemáticas y Lógica que he utilizado durante mi carrera. Espero que les sirvan de ayuda, cualquier duda dejen un comentario y les responderé a la brevedad!


matematica





Lógica MatemáticaElemental


  • Lección 1 - Lógica de Proposiciones
Contenido
1.1 Proposiciones y Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2
1.1.1 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2
1.1.2 Valor de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3
1.1.3 Proposición Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3
1.1.4 Variables de Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3
1.1.5 Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4
1.2 Conexión entre Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 4
1.2.1 Conjunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4
1.2.2 Disyunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5
1.2.3 Disyunción Exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5
1.2.4 Negación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5
1.2.5 Tautologias y Contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7
1.2.6 Proposición Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7
1.2.7 Proposición Reciproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 10
1.2.8 Proposición Contrarreciproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 11
1.2.9 Proposición bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12
1.3 Implicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 15
1.3.1 Implicación Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 15
1.3.2 Implicación Lógica y Proposición Condicional . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 16
1.3.3 Implicaciones Lógicas mas Comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 17
1.4 Equivalencia Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 18
1.4.1 Proposiciones Lógicamente Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 18
1.4.2 Equivalencia Lógica y Proposición Bicondicional . . . . . . . . . . . . .. . . . 19
1.4.3 Equivalencias Lógicas mas Comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 21




  • Lección 2
Lógica de Predicados
Contenido
2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Predicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Universo del Discurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3 Predicados y Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Valor de Verdad del Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3 Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.4 Valor de Verdad del Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.5 Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Calculo de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.1 Implicación Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2 Equivalencia Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3 Leyes de De Morgan Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.4 Regla general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.5 Proposiciones al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.6 Predicados al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.7 Asociatividad y Distributividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


  • Lección 3
Razonamientos y Demostraciones
Contenido
3.1 Razonamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.1 Razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.2 Razonamiento Valido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.3 Falacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.1 Regla de Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Reglas de Inferencia mas Usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.3 Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.4 Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Razonamientos y Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.1 Definiciones Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.2 Regla de Particularizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.3 Regla de Generalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 Metodos de Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.1 Demostración Vacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.2 Demostración Trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.3 Demostración Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5.4 Demostracion por la Contrarrecıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.5 Demostración por Contradicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.6 Búsqueda de Contra-ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

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Matemática Discreta
  • Lección 1
Conjuntos y Subconjuntos
Contenido
1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Conjuntos y Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Determinación por Extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Determinación por Comprensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Conjunto Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Conjunto vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.6 Axioma de Extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Inclusión de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Inclusión Estricta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 Caracterización de la Igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.6 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.7 Transitividad de la Inclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1



  • Lección 2
Operaciones con Conjuntos
Contenido
2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.4 Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.5 Diferencia Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Álgebra de conjuntos. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Leyes Idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Leyes Conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 Leyes Asociativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4 Leyes Distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.5 Leyes de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.6 Ley Involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.7 Leyes del Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.8 Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Conjunto de las Partes de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Producto cartesiano de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 n-tupla ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Igualdad de n-tuplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.3 Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.4 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32



  • Lección 3
Principios Básicos de Conteo
Contenido
3.1 Partición de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Recubrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.3 Cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Principio de Adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2 Regla de la Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Principio de Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.2 Regla del Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Principio de Inclusion-Exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.3 Generalizacion del Principio de Inclusión-Exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Principio de Distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


  • Lección 4
Permutaciones y Variaciones
Contenido
4.1 Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.2 Numero de Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2 Permutaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.2 Numero de Permutaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.2 Formación y Numero de Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4 Variaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.2 Formación y Numero de las Variaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . 97


  • Lección 5
Combinaciones. Teorema del Binomio
Contenido
5.1 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1.2 Formación y numero de combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2 Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.1 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.2 Formula de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.3 Triangulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3 Combinaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.2 Numero de combinaciones con repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123


  • Lección 6
Relaciones
Contenido
6.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.1 Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.1.2 Igualdad de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2 Relaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2.1 Dominio e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.3 Matriz de una Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.4 Grafo Dirigido de una Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4.2 Representación Ara de un Grafo Dirigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.5 Propiedades de las Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.5.1 Reflexividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.5.2 Simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.5.3 Asimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.5.4 Antisimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.5.5 Transitividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145


  • Lección 7
Relaciones de Orden
Contenido
7.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.1.1 Relacion de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.1.2 Relación de Orden Estricto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.1.3 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.4 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.2 Conjuntos Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2.1 Elementos Comparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2.2 Orden Parcial y Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2.3 Conjuntos Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.3 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.3.1 Orden del Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.3.2 Orden Lexicografico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.4 Representación Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.4.1 Diagrama de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.5 Ordenación Topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.6 Elementos Caracterısticos de un Conjunto Ordenado . . . . . . . . . . . . . 177
7.6.1 Elemento Maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.6.2 Elemento Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.6.3 Existencia del Maximal y Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.6.4 Algoritmo para la Ordenación Topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.6.5 Elemento Máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.6.6 Elemento Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.6.7 Unicidad del Maximo y el Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.6.8 Cota Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.6.9 Cota Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.6.10 Conjunto Acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.6.11 Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.6.12 ´ Infimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.6.13 Unicidad del ´ Infimo y el Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185


  • Lección 8
Relaciones de Equivalencia
Contenido
8.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.1.2 Digrafo asociado a una Relacion de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2 Clases de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2.2 Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.3 Conjunto Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.3.2 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.3.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208


  • Lecci´on 9
Funciones
Contenido
9.1 Definiciones y Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.1.1 Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.1.2 Dominio e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.1.3 Igualdad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.1.4 Funcion Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.2 Composicion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.2.2 Proposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.2.3 Asociatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.3 Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.3.1 Funcion Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.3.2 Funcion Suprayectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.3.3 Funcion Biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.3.4 Composicion y Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.4 Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.4.1 Funcion Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.4.2 Caracterizacion de una Funcion Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.5 Composicion de Funciones e Inversa de una Funcion . . . . . . . . . . . . . 258
9.5.1 Proposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
9.5.2 Unicidad de la Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.5.3 Inversa de la Composicion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260


  • Lección 10
Divisibilidad. Algoritmo de la División
Contenido
10.1 Algoritmo de la Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.1.1 Existencia y Unicidad de Cociente y Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.1.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
10.2 Sistemas de Numeracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.2.1 Descomposicion Polinomica de un Numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.2.2 Representacion Hexadecimal de un Octeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
10.2.3 Representacion Binaria de un Hexadecimal de Cuatro D´ıgitos . . . . . . . . . . 277
10.3 El principio del Buen Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
10.3.1 Conjunto Bien Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
10.4 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.4.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.4.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
10.5 Criterios de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
10.5.1 Criterio General de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
10.6 Maximo Comun Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.6.1 Divisor Comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.6.2 Maximo Com´un Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
10.6.3 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
10.6.4 Maximo Comun Divisor de Varios Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.6.5 Existencia y Unicidad del m.c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.6.6 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
10.6.7 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
10.6.8 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
10.6.9 Mas Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.7 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.7.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.7.2 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.8 Mínimo Común Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
10.8.1 Múltiplo Común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
10.8.2 Mínimo Comun Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
10.8.3 Minimo Comun Multiplo de Varios Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.8.4 Proposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.8.5 Proposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308


  • Lección 11
Teorema Fundamental de la Aritmética
Contenido
11.1 Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11.1.2 Números Primos entre s´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11.1.3 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
11.1.4 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
11.2 Criba de Eratostenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
11.2.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
11.3 Teorema Fundamental de la Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
11.3.1 Lema de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
11.3.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
11.3.3 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.3.4 Teorema Fundamental de la Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
11.3.5 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
11.4 Divisores de un N´umero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
11.4.1 Criterio General de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
11.4.2 Obtención de todos los Divisores de un Numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
11.4.3 Numero de Divisores de un Numero Compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.4.4 Suma de los Divisores de un Numero Compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
11.5 Metodo para el Calculo del Maximo Comun Divisor y el Mínimo Común Múltiplo . . 339
11.5.1 Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
11.5.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
11.5.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341


  • Lección 12
Ecuaciones Diofánticas
Contenido
12.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
12.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
12.2 Solución de una Ecuación Diofántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
12.2.1 Solución Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
12.2.2 Solución General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

  • Lección 13
Clases de restos modulo m
Contenido
13.1 Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
13.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
13.1.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
13.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
13.2.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
13.2.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
13.2.3 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
13.3 Conjunto de las Clases de Restos Modulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
13.3.1 Relación de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
13.3.2 Clases de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
13.3.3 Conjunto Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
13.4 Aritmética en Zm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
13.4.1 Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
13.4.2 Bien Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
13.4.3 Elemento Neutro para la Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
13.4.4 Elemento Opuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
13.4.5 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
13.4.6 Bien Definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
13.4.7 Elemento Neutro para el Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
13.4.8 Elemento Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
13.5 Euler, Fermat y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
13.5.1 Función φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
13.5.2 Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
13.5.3 Corolario (Fermat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
13.5.4 Teorema de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
13.6 Teorema Chino del Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
13.6.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391


  • Grafos
Contenido
14.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
14.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
14.1.2 Vértices Adyacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
14.1.3 Representación Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
14.1.4 Multigrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
14.1.5 Pseudografo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
14.1.6 Digrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
14.2 Grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
14.2.1 Grado de un Vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
14.2.2 Vértice Aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
14.2.3 Grafo Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
14.2.4 Suma de los Grados de un Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
14.2.5 Grado de Entrada y de Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
14.3 Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
14.3.1 Isomorfismo de Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
14.3.2 Invariante de un Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
14.3.3 Invariancia del Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
14.4 Subgrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
14.4.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
14.4.2 Subgrafo Expandido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
14.4.3 Subgrafo Inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
14.4.4 Eliminación de Aristas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
14.4.5 Eliminación de Vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
14.4.6 Grafos Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
14.4.7 Complemento de un Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
14.5 Caminos y Ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
14.5.1 Camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
14.5.2 Ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
14.5.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
14.6 Grafos Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
14.6.1 Vértices Conectados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
14.6.2 Grafos Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
14.6.3 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
14.6.4 Componentes Conexas de un Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
14.6.5 Puntos de Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
14.6.6 Puentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
14.7 Caminos y Ciclos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
14.7.1 Ciclo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
14.7.2 Grafo Euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
14.7.3 Primer Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
14.7.4 Camino de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
14.7.5 Segundo Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
14.7.6 Problema de los Puentes de Konisgberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
14.7.7 Tercer Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
14.7.8 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
14.7.9 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
14.8 Caminos y Ciclos de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
14.8.1 Ciclo de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
14.8.2 Grafo Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
14.8.3 Camino de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
14.8.4 Metodo desarrollado por Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
14.8.5 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
14.9 Representación de Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
14.9.1 Matriz de Adyacencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
14.9.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
14.9.3 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
14.9.4 Caracterización de un Grafo Conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
14.9.5 Matriz de Incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462




Recuerden ante cualquier duda dejen un comentario y les responderé a la brevedad, espero que estos apuntes les sean útiles! (Pronto estaré agregando la  2da parte de este post con Apuntes de Geometría y Calculo)


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5 comentarios - Muchos Apuntes de Matemática y Lógica 2014 (Parte 1)

@mortigitempo +2
papito si tiras puro índice y no dejas el contenido que gracia tiene ?
@ElThugQuitian
pana pasame los archivos porfa, es justo lo que estoy viendo en estos momentos y lo necesito todo, gracias
@ElThugQuitian +1
Gracias de todas maneras!! ya consegui todos los apuntes, al que le interese los voy a postear
@krlos777
hola oxe me pasas los apuntes. te lo agradeceria