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Factorización_Casos_Como entenderlo mejor =)

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FACTORIZACIÓN .......¡PAN COMIDO! JEJE


Hola a todos, bueno, este es mi primer post, le dedique mucho tiempo de modo que aquellos que necesiten ayuda con todo esto de

la factorización puedan sacarse un pesito de encima....porque les digo que no es para nada difícil...y ponganle entonces muchas

ganas..¡¡¡

Qué es la FACTORIZACIÓN???


Antes que nada es importante recordar algunos términos básicos, los cuales utilizaré en este post, espero que lo lean de

modo que puedan entender el tema


Álgebra:

Es una rama de la matemáticas que estudia las estructuras, y relaciones de expresiones con otras..o sea, involucra números (valores

conocidos) que son los que llamamos coeficiente numérico, además de este elemento se tiene también aquellas letras, que

formalmente llamaremos INCÓGNITA tal letra o incógnita es el valor desconocido. Generalmente se representa con la letra "x".

Expresión Algebráica

Es la expresión de una suma, una resta,una multiplicación o división, generalmente una combinación de todas estas operaciones,

incluso también raíces, potencias, logaritmos, etc. Se presentan en esta expresión, como ya había dicho una parte conocida EL

COEFICIENTE NUMÉRICO, y una parte desconocida LA INCÓGNITA O COEFICIENTE LITERAL. En otras palabras, una expresión

algebráica es la combinación de números, símbolos o caracteres (letras, el log de los logaritmos, etc). EJEMPLO: 3X^2+4X+9

Término

Es cada parte de la expresión algebráica que esta separada de los demás por un operador aritmético (el signo + y el signo -).

Un término es un monomio en esencia, si este esta formado por coeficiente numérico y literal. EJEMPLO: el monomio 10v^2

Es importante resaltar que la incógnita, parte literal o coeficiente literal...como lo quieras llamar...no solo puede representarse por la

letra "x" sino también puedes emplear otras como la "v" que utilice en el monomio, en síntesis cualquier letra del alfabeto.

Para comprender mejor que es un término algebráico, aquí va el ejemplo:

s^3+4s+10 Esta expresión es un trinomio, es decir tiene 3 términos. Distinguimos el primer término que es: s^3, el segundo es: 4s,

el tercero y último: 10, el cual es llamado término independiente ya que no depende de ninguna variable, o sea la incógnita. Como

hemos visto estos tres términos están separados por los operadores aritméticos de, en este caso la suma (+)

Pues bien....ahora comenzemos....¡¡¡¡

La factorización es el procedimiento empleado en EL ÁLGEBRA, para convertir sumas, restas de una expresión en productos

EQUIVALENTES a la determinada expresión. Ejemplo:

La expresión 4a+8a^2= 2a (2+4a) ; como sabemos la primera expresión es una suma y la convertimos en un producto

(multiplicación), que es su equivalente. Para que lo entiendas mejor , piensa en cualquier número que quieras utilizar como valor de

"a". ...Veamos tomaremos el número 2 como ejemplo. Reemplazamos = 4a+8a^2= 2a (2+4a);

4(2)+8(2)^2 = 2(2) (2+4.2)

8+8(4)= 4 (2+8)

8+32= 4(10)

40= 40

Ya comprendiste mejor seguro..a toda expresión que factorices (conviertas en producto) obtienes una equivalente. Que para

cualquier valor numérico se verifica la igualdad entre la suma o resta y su productos equivalente.

Ahora pues , EXISTEN LOS LLAMADOS CASOS DE FACTOREO, que son las distintas formas como pueden presentarse las expresiones

algebráicas, se nombran también sus características, propiedades, para distiguirlas y saber que métodos usar para obtener los

productos.

Nos iniciamos con el más fácil y simple de todos...



Primer Caso= EL FACTOR COMÚN


El factor es aquel número, letra o signo que es común (está presente) en todos los términos.

Tal que el factor común de = 4u^3+16u es 4u; y se formula así : (4u) (u^2+4); no se preocupen les explico lo que hice.

En cuanto a los números 4 y 16, se tuvo que buscar el mayor número que divide a ambos exactamente, y tal es el 4 (EL MÁXIMO

COMÚN DIVISOR).

Las partes literales: u^3 y u. Existe una letra en común, que está en todos los términos, que es "u", y se opta por la de menor

exponente....es por ello que nuestro factor común es 4u.

OTROS EJEMPLOS:


2X^2+10X+20; Como vemos la "x" está en los dos primeros términos, pero no en el último, por lo tanto descartamos la idea

de que el factor común es "x". Ya que no existe un caracter (letra) común procedemos a analizar si existe entre los números 2, 10 y

20..

El máximo común divisor (MCD) de estos es= 2. Y denotamos así= 2 (X^2+5X+10).


Segundo Caso= El FACTOR COMÚN POLINOMIO

Es lo mismo que el caso anterior, solamente que el factor común no es un monomio, sino un POLINOMIO. EJEMPLO:

(5t-2).10t + (5t-2).7a - (5t-2).9a Aquí el factor común será el binomio (5t-2), y divideremos por cada uno de los términos;

quedando así:

[(5t-2).10t]/(5t-2) + [(5t-2).7a]/(5t-2) - [(5t-2).9a]/(5t-2)


(5t-2) (10t + 7a - 9a) (A no olvidar, se debe agrupar los términos semejantes 7a y 9a)
(5t-2) (10t + (-2a) ) (Desaparece el paréntesis al multiplicar el signo + por el - de 2a; siendo + * - = - (menos)
(5t-2) (10t - 2a) (Nuevamente analizamos la posibilidad de factorizar, en cierto caso sería el binomio (10t-2a) )
(5t-2) (2) (5t-2) (Como tenemos dos factores iguales, lo representamos como el cuadrado de un binomio)
(5t-2)^2 . (2) (Y así termina nuestra factorización, el binomio (5t-2) elevado al cuadrado multiplicado por 2)


En ocasiones se presentan ciertos casos, por ejemplo en que el factor común polinomio sea (a+b) es igual en parte literal a

(-a -b), pero lo que obstaculiza factorizarlo directamente es el signo menos que predomina en (-a -b). EJEMPLO:

x . (a+b) -a -b= (Piensa que deberías hacer con (-a -b) para que sea igual a (a+b)....que tiene en común los términos del binomio

(-a -b)...EL SIGNO MENOS POR SUPUESTO..¡¡¡. Como mencionada anteriormente, el factor común, no solamente podrá ser un

número o letra, también un signo, en este caso el signo (-). Y así procedemos:

Tenemos -a -b Su factor común es - y dividimos por cada uno de los dos términos..
- dividido -a (menos dividido menos es más (+) )
- dividido -b (menos dividido menos es más (+) )
Entonces la expresión quedará de la sgt manera:
- (a+b)

Ahora unificamos todo...

x . (a+b) - (a+b)....Ahora podemos considerar como factor común polinomio a (a+b)

(a+b) (x -1) Es importante detallar que como no se pinta ningún valor frente a - (a+b), decimos que tal número es el -1 uno)

MÁS POLINOMIOS:
a (b -c) - b +c=

Hacemos lo mismo que lo anterior, con la diferencia que en -b +c ,los signos no son comunes. Para igualar este binomio con (b -c),

factorizamos nuevamente el signo (-) a (-b +c), te preguntarás porque es el signo menos el factor común, pues bien, cuando existe

posibilidad de igualar los signos de las expresiones, se recurre a esto, a extraer el - que tiene prioridad sobre el +.

De esta manera:

a (b -c) - (b -c) Pues ahora si ambos son iguales. El binomio con el cual trabajamos tiene coeficiente -1 delante que no se te ovide.

(b -c) (a -1)


No siempre se puede optar por cambiar los signos, ya que existen expresiones, aunque parecidas, no hay posibilidad de igualar. Como:

k (2 + t) - t (-2 + t) ....Si factorizas el segundo factor (-2 +t)...quedará así= (2 -t) el dos es positivo, igual al primero, pero la t es

negativa, no cumpliendose asi la igualdad. LO EXPLICADO ANTERIORMENTE SOBRE EL SIGNO - NO SE APLICA A ESTE TIPO DE

EXPRESIONES.

RECUERDA QUE:


+ POR + ES IGUAL A +
+ DIVIDIDO + ES IGUAL A +
- POR - ES IGUAL A +
- DIVIDIDO - ES IGUAL A +

Cuando se multiplican o dividen valores con signos iguales siempre el producto es positivo, por el contrario si se multiplican o dividen

valores con signos opuestos (distintos) el producto es negativo.


Además ten en cuenta que=


1) Valores con signos iguales se suman llevando el resultado el signo en común:
-9 -2 =-11 Ambos el -9 y el -2 tienen el mismo signo por lo tanto se suman y el resultado -11 lleva el signo en común que es el - (menos).
2) Valores con signos distintos se restan, y el resultado llevará el signo del mayor.
2 -10 = -8 Tienen signos contrarios, es una diferencia (resta) , resulta -8, ya que el signo del diez es negativo, siendo 10 mayor a dos.



Tercer Caso= FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Una vez más con el factor común, sus requisitos son, que debe tener como mínimo 4 términos. De modo que se puedan formar

grupos con igual número de términos. Imaginate que en un grupo de 9 personas, ¿CUANTOS GRUPOS PUEDES FORMAR, DE MODO

DE CADA GRUPO TENGA IGUAL NÚMERO DE INTEGRANTES?. Si lo divides entre 2, resulta una cantidad inexacta, no puedes partir a

las personas jeje, y lo obvio es dividir entre 3, entonces se formaran 2 grupos con tres integrantes cada uno; Nada mas que un

ejemplo para hacerse la idea..

La expresión ab + bx + ay +xy

Cumple con los requisitos, tiene como mínimo 4 términos, incluso podría tener 6, 8, 9, etc. Cualquier cantidad, siempre que se puedan

formar grupos con igual cantidad de términos cada uno.

¿Qué término tiene algo en común con otro? el monomio ab y bx, tienen en común su parte literal b, igualmente los otros

monomios ay y xy, se asemejan por el coeficiente literal y . También puedes agruparlos de otra forma, el ab con el ay, que se

asemejan por la a , y los demás, bx y xy, que tienen en común la x... Puedes optar por cualquiera de las formas de agrupación.

Al definir cual término agrupar con otro, representamos los grupos de términos entre paréntesis:

(ab+bx)+(ay+xy)

Extraemos del primer grupo el común: b (a+x)

Ahora con el segundo grupo: y (a+x)

Para finalizar unificamos las dos expresiones obtenidas:
b (a+x) + y (a+x) Como podrás recordar, aquí se presenta el caso anterior, el factor comun polinomio.

(a + x) (b + y) Ten en cuenta que el factor comun por agrupacion nos lleva si o si al factor comun polinomio. Lo que los diferencia, es el hecho de agrupar términos al comenzar.


Cuarto Caso= DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS



PROPIEDADES=

1) Debe tener solo 2 términos (binomio)
2) Debe ser una diferencia (una restaaa )
3) Los dos términos deben ser cuadrados perfectos. (Raíz cuadrada exacta).

Este caso implica formar dos factores con los mismos términos, con la diferencia de que un factor es la suma y el otro es una resta.

Dado el binomio 169z^2 - 121a^2 . Es una diferencia, sus términos son cuadrados perfectos: La raíz cuadrada de 169z^2 es 13z , y la de 121a^2 es 11a.

Para el primer factor: Escribimos la raíz del primer término más la raíz del segundo. (13z + 11a)

Para el segundo factor: La misma raíz de 169z^2 menos la raíz de 121a^2 (13z - 11a)
Y esto finaliza así:

(13z + 11a) (13z - 11a)

Es muy sencillo, debes prestar mucha atención antes de pasar la pluma sobre el papel en un examen importante jeje...o sino ya fuiste..

La diferencia de cuadrados perfectos, puede darnos otro caso en el cual no es precisamente un binomio simple como de la forma

( a +b), llega a tener más de un término. Aquí va una=
(m+a)^2 - (m - a)^2

Como podrás captar al verlo, tenemos dos binomios elevados al cuadrado. Al elevarse al cuadrado ya podemos decir que la raíz es exacta y es la BASE DE LA POTENCIA, o sea (m+a) la primera raíz y (m - a) la segunda.

También se cumple la otra propiedad, es una diferencia, una diferencia de "binomios cuadrados perfectos". La razón por la cual

consideramos esto como una diferencia de cuadrados, es porque, estos binomios se agrupan en dos grupos, van entre paréntesis, y

siendo así pasan a ser un término como cualquier otro. Por ello tenemos dos términos, un binomio que es la la diferencia entre otros

Dos binomios.

Terminemoslo..

Escribimos un corchete para diferenciar con el paréntesis

[(m+a) + (m -a)] . [(m+a) - (m -a)]

Les Explicoo...
El 1er factor:

[(m+a) + (m -a)]

Relaciona que la raíz (m+a) fuera raíz a
y que (m -a) fuera raíz b. Sería = (a + b) . Nada más es cuestión de considerar el polinomio como un monomio. Para evitarnos múltiples fallas.

El 2do factor:

[(m+a) - (m -a)] A este lo representa (a -b). Lo mismo que lo anterior, solo cambiamos el signo + por el - (menos).


Antes de acabar con la diferencia de cuadrados, agrego que no solo puede tratarse de una raíz cuadrada simple como a^2 - b^2, también podrá tratarse de términos elevados a la cuarta, a la sexta, a la octava, etc.

Es decir que si tengo 2x^2 y lo multiplico por si mismo= 2x^2 * 2x^2 resulta 4x^4. Cual es la raíz de 4x^4?? pues 2x^2.

Otro ej= 5x^3 * 5x^3 = 25x^6....Cual es su raíz?? Lo hacemos por separado...la de 25 es 5, y la de x^6...es x^3...
porque x^3 * x^3 = x^6....(OBSERVACION= cuando en un producto las bases son iguales, sus exponentes se suman eeh )



Quinto Caso= TRINOMIO CUADRADO PERFECTO


PROPIEDADES:

1) Como su nombre lo dice, se trata de trinomio, y por lo tanto deberá tener 3 términos.
2) El primer término y el tercero y último, deben ser cuadrados perfectos.
3) El segundo término también llamado término mediador, debe ser igual a el DOBLE PRODUCTO DE LA RAÍZ DEL 1ER TERMINO POR LA RAÍZ DEL TERCER TERMINO.
4) Todos los signos deben ser positivos, me refiero a los términos de los extremos,,, el término mediador si puede ser negativo.

Dado el trinomio=
4x^2 + 25y^2 - 20 xy Al intentar hallar las raíces el único término que tiene raíz cuadrada perfecta es 4x^2, y no 20xy. Recuerda

que en una de las propiedades de este trinomio especifica que los términos de los extremos deben ser todos positivos, y -20xy NO LO ES. Antes de factorizar cualquier expresión algebráica, deberás ordenar y organizar los términos para conocer de que caso se trata. Cuando tengas más experiencia en esto, al observar la expresión, ya te darás cuenta de la necesidad de ordenarlo.

Pues vamos al ejercicio pendiente:

4x^2 - 20xy + 25y^2 Ahora si se cumplen las propiedades, una vez ordenado.
La raíz de 4x^2= 2x
La raíz de 25y^2= 5y

El término mediador 20xy debe ser igual al DOBLE PRODUCTO DE LA PRIMERA RAIZ POR LA SEGUNDA...reiteroo para que no se te olvide je je.....
entonces el 2 . 2x . 5y = 20xy... UNa vez verificado esto, decimos que se trata de un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

PARA FINALIZAR : escribimos dentro del paréntesis la primera raíz seguido del signo del término mediador, a continuación la raiz del tercer término. Cerramos el paréntesis, y lo elevamos al cuadrado.

Veaa usted:
(2x - 5y)^2

Una situación especial:

Cuando en los términos aparecen a su vez POLINOMIOS.
a^2 + 2a . (a+b) + (a+b)^2 El tercer término es un polinomio, pero es un cuadrado perfecto. También lo es a^2.

Verificamos si responde a la propiedad del doble producto:
la raíz de a^2= a
la raíz de (a+b)^2= (a+b)

EL TÉRMINO MEDIADOR ES IGUAL A= 2 . a . (a+b) = 2a .(a+b) ..Coincide con los cálculos.


Sexto caso= TRINOMIO DE LA FORMA X^2 + BX + C

PROPIEDADES:

1) El primer término debe llevar la variable (incógnita o parte literal) al cuadrado, y tener coeficiente 1 y positivo. (Ej: x^2)
2) El segundo podrá tener coeficiente entero sea positivo o negativo, y llevara la variable (parte literal) con exponente uno (Ej: 5x)
3) El último término debe ser término independiente, es decir no llevara ninguna variable . (Ej: 6)
5) Por supuesto, debe tener tres términos.

En nuestro ejemplo : x^2 + 5x + 6 coincide con EL MODELO GENERAL X^2 + BX + C. En este caso, a igual que la diferencia de

cuadrados se pretende formar dos productos.

Comencemos con el último término, el 6...cuales son los dos numeros que multiplicados nos da 6??.....y que sumados nos da

5??....Esta es la parte que nos detiene un ratito para pensar, algo que a la mayoria le fastidia, pero con paciencia encuentras esos dos

numeros jejeje....puedes probar con la calculadora una y otra vez si se trata de numeros grandes.

Bueno, esos dos numeros son el 2 y el 3...multiplicados dan 6 y sumados; 5.


Para el primer factor: Escribimos dentro de un paréntesis la variable, en este caso es la X CON EXPONENTE UNO...OJOOO. Seguido del

signo del segundo término, posteriormente el numero 2. Así: (x + 6)

Para el segundo factor: Lo mismo con el paréntesis, solamente que para este el signo será el producto entre EL SIGNO DEL SEGUNDO

POR EL SIGNO DEL ULTIMO. O sea + por + es igual a +. Y despues escribimos el segundo numero que es el 3.

(x + 3)

Finalmente... (x+2) (x+3)

otro trinomio...

x^2 + 5x - 36

Dos números que multiplicados den 36 y sumados 5.?? El 9 y el 4

Procedemos..

(x + (el signo del 2do termino, despues el 9) -->(x + 9) Porque lo ponemos primero al 9 y no al 4??? Veras,,,el 2do signo, el de 5x es

positivo, y multiplicado este por el signo del último término que es negativo tenemos + por - es igual a - (menos)....Asi quee.para el

segundo factor usamos el signo - . Para que lo comprendas mejor: (x + 9) (x - 4)....La teoría dice que sumados estos números

deben ser igual a 5 ..y es cierto 9 - 4 = 5.....Por ello DEBES TENER CUIDADO CUANDO TIENES SIGNOS CONTRARIOS A LA HORA

DE COLOCAR LOS NUMEROS....


Séptimo Caso= TRINOMIO DE LA FORMA AX^2 + BX + C

PROPIEDADES:

1) Es parecido al anterior, reúne sus mismas propiedades, solamente la diferencia es que el coeficiente de x^2 debe ser diferente a uno, la A representa un número cualquiera lo que llamamos en matemáticas una CONSTANTE, por eso es de la forma ax^2 + bx + c

2a^2 + 7a +3

Lo primero que se hace es tomar el coeficiente numérico o sea el valor de la constante de x^2, en mi ejemplo la variable x se representa por a , debes acostumbrarte a usar las distintas letras del alfabeto, la representacion de la variable no se limita a la x. Podra ser cualquier letra, como he mencionado al principio.

El coeficiente de 2a^2 es 2 . Lo que hacemos con este numero es multiplicarlo por cada uno de los tres términos...Les enseñoo-->

1er térm= 2a^2 * 2 = (2a)^2 Como el 2 y a estan elevados al cuadrado, lo encerramos entre paréntesis, y usamos un solo exponente 2 , que nos afirma que ambos estan elevados al cuadrado.

2do térm= 7a * 2 = 7 . (2a) Aquí no se efectúa ninguna operación, solamente SE ORDENA, SE ANTEPONE EL COEFICIENTE DE 7a

3er Térm= 3* 2= 6 Aquí si se efectúa una operación.

Con esto queda: (2a)^2 + 7 .(2a) + 6 .....Y posteriormente dividimos este trinomio entre 2, que es el coeficiente de a^2


(2a)^2 + 7 .(2a) + 6
__________________ = Ahora resolvamos el numerador como si fuera un trinomio de la forma x^2 + bx +c
2


(2a + 6) (2a + 1) ( Los dos numeros que multiplicados dan 6 y sumados 7)


(2a + 6) (2a + 1)
______________= Observemos atentamente si no existe otro caso de factorización pendiente....
2

Un factor común simple en (2a + 6) = 2 (a +3)

2 (a + 3) (2a + 1)
______________ =
2

Se simplifica el 2 del numerador y el del denominador.....QUEDANDO NADA MAS ASI= (a + 3) (2a +1)


Veamos otro trinomio= 6t^2 + 11t - 10

multiplicamos la constante de t^2 por cada uno de los 3 términos...6t^2 * 6 = (6t)^2

11t * 6 = 11 . (6t) Se antepone el coeficiente de t

10*6 = 60

(6t)^2 + 11.(6t) - 60

Dividimos entre 6

(6t)^2 + 11.(6t) - 60 (6t + 15) (6t - 4) (6t - 4) (6t + 15) 2 (3t - 2) (6t + 15)
___________________ --> ______________ --> _______________ --> ________________ = Simplifica el 2 y el 6
6 6 6 6


(3t - 2) (6t + 15) 3 (2t + 5) (3t - 2)
_______________= otro factor común = _______________ = Simplifica ambos 3 ...y deja de ser una fracción...
3 3

(2t + 5) (3t - 2)........y ESO ES TODO........



ANTES APRENDE QUE:
LA RAÍZ DE UNA FRACCIÓN SE DISTRIBUYE POR SEPARADO PARA EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR=


Ej.: 169 / 625 ----> √169 / √625 ---> √169 = 13 ---> √625 = 25 sera---> 13 / 25

TODO BINOMIO ELEVADO AL CUADRADO ES UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO....PARA RECONSTRUIR LA EXPRESIÓN ORIGINAL HACES...

(5a + 2b)^2 --->el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del 1er termino = 25a^2..........seguido del signo correspondiente en este caso +..posteriormente el doble producto entre el 1er y segundo termino = 2 . 5a . 2b = 20ab.....mas el cuadrado del 2do termino---> 4b^2..........se tiene ---> 25a^2 + 20ab + 4b^2........Es cuestion de operar A LA INVERSA PARA OBTENER UNA U OTRA EXPRESIÓN....


A TODA PAREJA DE BINOMIOS, EN EL CUAL LA UNICA DIFERENCIA ES EL SIGNO DEL MEDIO, HABLAMOS DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS:

Ej.: (8 + 7p) (8 - 7p) = AL OBSERVARLO CONSTRUIMOS DE INMEDIATO --> 64 - 49p^2 ---> (se eleva al cuadrado el 8 y el 7p.)


TODA CANTIDAD SUB RADICAL (RADICANDO) QUE ESTE ELEVADO AL CUADRADO, SIENDO UNA RAIZ CUADRADA, EL SIGNO RADICAL DESAPARECE...

√5^2 = QUEDANDO NADA MAS QUE EL 5....SI TE DAS CUENTA...5^2= 25 Y LA RAIZ CUADRADA DE 25 ES 5.......ESTA ES UN FORMA PRACTICA DE HALLAR RAICES MEDIANTE LA DESCOMPOSICION DE NUMEROS EN SUS FACTORES PRIMOS---> 5 * 5 = 5^2


......OK...ESPERO QUE LES HAYA SERVIDO DE ALGO.......ESTO NO ES TODO....HABRA MAS POST EN LOS CUALES HARE ESPECIFICACIONES Y EXPLICACIONES MAS PROFUNDAS.....Y ABARCANDO MAS TEMAS DE INTERES

8 comentarios - Factorización_Casos_Como entenderlo mejor =)

@Gonza0012
eehhjj!!! justo lo que nunca entendí! ja! Gracias! con más tiempo lo leo!
@DreadElevado
JAJAJ LO ENTENDI TODO, ni que te hubieras querido crear un mail amigo.... ese titulo mato.
@daniel8472
si deberían haber mas post así seguí así si podes agrega algo sobre ecuaciones
@ch1ch0
Papa arregla un par de cosas y te keda joia el post
ahh.. el primer caso se llama: factor comun
el 2 se llama: factor comun x grupos
3: trinomio al cuadrado
4:cuatrinomio al cubo
5: diferencia de cuadrados
6:suma o resta de potencias de igual exponente
7: teorema de GAUSS
arregla eso papa
@3X_JAVIER
GRACIASSSSSSSSSSSSSSSSS AMIGO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
AORA SI LE CAYARE LA BOCA A MI PROFE !!!!!
SI TUVIERA PUNTOS TE DARIA DE TODOS LOS K TUVIERA
PERO AORA SOLO MUCHAS GRACIAS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!