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Infinito menos infinito: ¿Cuánto es?

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Curioseando por la Web encontre un artículo interesante que me gustaría compartir con todos los taringueros. Acá les dejo el Link, pueden ver un monton mas de historias, paradojas matemáticas, problemas y resoluciones de dudas comunes.
Link: http://www.epsilones.com/paginas/a-mapa.html


El Artículo dice lo siguiente:

De acuerdo a definiciones que he podido obtener, infinito no es un número mensurable. Por lo tanto, dado que no hay forma de conocer las cantidades que estoy restando, en mi opinion, infinito menos infinito es INFINITO.

Varios difieren con opiniones sobre que el resultado es cero o se encuentra en un entorno cercano a cero.

Antes de poder decir cuál es el resultado de una operación, hay que preguntarse qué significa exactamente. ¿Qué significa restar dos infinitos? Para intentar hacernos una idea, vamos a aproximarnos a la cuestión desde dos puntos de vista distintos: uno analítico y otro conjuntista.

Aproximación análitica

Infinito puede ser el resultado de un paso al límite. Podemos ver que pasa cuando restamos dos sucesiones de límite infinito.

Sean las sucesiones siguientes:

an = n;
bn = n2;
cn = n + x, donde x es un número real cualquiera.

Tomando límites se tiene:

lim an = lim bn = lim cn = ∞

Ahora, si restamos las funciones y tomamos límites, tenemos:

lim (bn - an) = lim (n2 - n) = ∞
lim (cn - an) = lim (n + x - n) = lim x = x

Conclusión provisional: al restar dos sucesiones de límite infinito, la sucesión resultante puede tener por límite cualquier cosa.

Aproximación conjuntista

Infinito también puede ser el cardinal de un conjunto, es decir, la cantidad de elementos que tiene. La idea ahora es coger un conjunto de cardinal infinito, quitarle subconjuntos de cardinal también infinito, y ver cuál es el cardinal del conjunto resultante. No es muy distinto de lo que hacemos cuando para explicarle a un niño cuánto es tres menos dos le decimos : “si tengo tres manzanas y me como una, ¿cuántas manzanas me quedan?”.

Sean los siguientes conjuntos:

N = {1, 2, 3, 4 ...}, es decir, el conjunto de los números naturales (sin el cero, por comodidad).
P = {2, 4, 6, 8 ...}, es decir, el conjunto de los números pares.
I = {1, 3, 5, 7 ...}, es decir, el conjunto de los números impares.
A1 = N - {1}, es decir, el conjunto de los naturales excepto el 1.
A2 = N - {1, 2}, es decir, el conjunto de los naturales excepto el 1 y el 2.
...
An = N - {1, 2, ..., n}, es decir, el conjunto de los naturales excepto el 1, el 2, el 3, ... y el n.

Entenderemos por A - B el conjunto resultante de quitarle al conjunto a los elementos del conjunto B. Veamos algunos casos:

1. N - N = Ø

Si al conjunto de los números naturales le quitamos todos los números naturales, ¿qué nos queda? Pues nada. Al conjunto que no tiene elementos en matemáticas se le llama conjunto vacío y se le representa con el símbolo Ø. Su cardinal, por supuesto, es cero.

Según lo dicho, ∞ - ∞ = 0.

2. N - P = I

Está claro: si a los naturales le quitamos los pares quedan los impares.

Entonces: ∞ - ∞ = ∞.

3. N - A1 = {1}

Al conjunto de los naturales le hemos quitado todos los naturales excepto el 1.

Entonces: ∞ - ∞ = 1.

4. N - An = {1, 2, ..., n}

Al conjunto de los naturales le hemos quitado todos los naturales excepto el 1, el 2, el 3, ... el n.

Entonces: ∞ - ∞ = n.

Conclusión: si a un conjunto con una cantidad infinita de elementos le quitamos una cantidad infinita de elementos, el conjunto resultante puede tener... cualquier cantidad de elementos, incluso ninguno.

Conclusión provisional

Ninguna de las dos aproximaciones nos da una idea de cómo podemos definir la resta de infinitos para que tenga sentido. Yo no conozco ninguna, pero eso no quiere decir nada, claro.


Saludoss y espero q les interese. Comenten

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11 comentarios - Infinito menos infinito: ¿Cuánto es?

carlox_666
Indeterminación.. Aun se desconoce. Sin embargo, al analizar problemas sobre límites existen un par de artificios para evitar indeterminaciones. Si luego de aplicarlos no podemos deshacernos de la indeterminación infinito menos infinito, se concluye que el límite no existe lol
Luiso69f
para entender la operacion hay que comprender que tanto infinito como menos infinito no son numeros.. a lo que se lo conoce como "indeterminacion" no es mas que la prueba misma de que toda la teoria matemática esta equivocada..
OswaldoxD -2
Luiso estas loco chamo, la matematica es exacta, infinito menos iinfinito es infinito... ademas despues de realizar una indeterminacion de ese tipo queda una del modo infinito entre infinito y por ende se aplica la teoria matematica de ese tipo de indeterminaciones u.u
CachoMastropiero +1
Luiso69f tiene razón (a mi entender por lo menos). Eso de infinito es una convención, no es un número real... Como muy bien está demostrado en el post, no se puede decir "infinito menos infinito es tal cosa". De hecho, hay diferentes tipos de infinitos (o diferentes "tamaños", si prefieren); busquen algo sobre Cantor, si no lo creen. (Parece que ni él mismo lo podía creer, al principio...)
comandec
es facil de entender infinito "no numero" solo es un simbolo que indica q aquel puede ser tan grande como uno quiera, se llama indeterminacion porq simplemente no se lo puede escojer es necesariamente tan grande q no se puede decir tal numero es infinito, y ahora queda a la idea resten 2 numeros lo suficientemente grandes como para ser infinitos y lo suficientemente indeterminados como para no saber cual es la respuesta a eso se refiere con una resta de "infinitos" y eso se estudia en una rama del calculo q se llama calculo de limites, les aconsejo q antes de abrir un post de este tipo estudien algo de matematica no es tan dificil abrir un libro y leer "oo way eso es infinito" analisis matematico 1,2 de eduardo espinoza ramos a que entiendan mas o menos la magnitud a la q lleva un post asi!! ahora si el infinito no es un numero simplemente es un simbolo q indica q ese numero es muy muy grande y no se puede decir a ciencia cierta que tan grande es.

nota: el punto de la teoria de conjuntos es distinto segun tengo entendido el conjunto de los reales genera un espacio vectorial y entonces los naturales como son un sub conjunto de los reales tambien lo son, viendolo de ese modo es distinto el problema porq se estan "RESTANDO CONJUNTOS" no numeros!!!

cita: estudio fisica pura en la escuela politecnica nacional de ecuador

luis69f debes ser mas especifico la teoria matematica del post?? o en general??? yo creo q del post...
Luiso69f
comandec dijo:es facil de entender infinito "no numero" solo es un simbolo que indica q aquel puede ser tan grande como uno quiera, se llama indeterminacion porq simplemente no se lo puede escojer es necesariamente tan grande q no se puede decir tal numero es infinito, y ahora queda a la idea resten 2 numeros lo suficientemente grandes como para ser infinitos y lo suficientemente indeterminados como para no saber cual es la respuesta a eso se refiere con una resta de "infinitos" y eso se estudia en una rama del calculo q se llama calculo de limites, les aconsejo q antes de abrir un post de este tipo estudien algo de matematica no es tan dificil abrir un libro y leer "oo way eso es infinito" analisis matematico 1,2 de eduardo espinoza ramos a que entiendan mas o menos la magnitud a la q lleva un post asi!! ahora si el infinito no es un numero simplemente es un simbolo q indica q ese numero es muy muy grande y no se puede decir a ciencia cierta que tan grande es.

nota: el punto de la teoria de conjuntos es distinto segun tengo entendido el conjunto de los reales genera un espacio vectorial y entonces los naturales como son un sub conjunto de los reales tambien lo son, viendolo de ese modo es distinto el problema porq se estan "RESTANDO CONJUNTOS" no numeros!!!

cita: estudio fisica pura en la escuela politecnica nacional de ecuador

luis69f debes ser mas especifico la teoria matematica del post?? o en general??? yo creo q del post...


mis teorias afirman que tanto el tiempo como la matematica son inexistentes.. mas adelante voy a hacer un post acerca de mi teoria pero cuando suba de rango un par de veces..
thefantasticfour
que opa. infinito no es un numero ni cantidad mensurable ni nada, se usa en matematicas para decir que una variable crece sin parar y nada mas