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superficies y curvas de nivel (formulas y graficos)

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para los que estudian matematicas y recien empiezan:

una curva es: una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola y la hipérbola.
en fin, una curva es una linea que hace firuletes en un espacio vectorial.
superficies y curvas de nivel (formulas y graficos)

superfcie: es un conjunto en 3d, una esfera, un paraboloide hiperbolico,paraboloide, un elipsoide , etc....
matematicas


LAS CURVAS Y SUPERFICIES NO SON FUNCIONES,SON CONJUNTOS. QUE SE PUEDEN VER COMO "CORTES" DE LOS GRAFICOS QUE DESCRIBEN LAS FUNCIONES. A CADA CORTE DE LA FUNCION SE LO LLAMA NIVEL.

para entender mejor:
estamos hablando de funciones del tipo F: |R^n --> |R

el codominio son los reales, y el dominio un espacio vectorial.

¿el grafico de F es el dominio mas la imagen, no? osea un generico (dom(F),img(F))
osea si hablamos de F: |R^3-->|R
el grafico es un subconjunto de |R^4 porque es la suma de las dimensiones del dominio+ el codominio.
osea el generico seria asi : grafico(F)= (x,y,z,F(x,y,z))
pero eso es algo en 4 dimensiones y no se puede dibujar!

por eso se recurre a los "cortes" llamados superficies o curvas de nivel, que hacen que baje una dimension, osea solo veria el dominio en un punto del codominio.

osea la superficie de nivel en k serian los puntos (x,y,z) perteneciente a |R^3 talque F(x,y,z)=k
donde k es un valor del codominio.

generico de la superficie de nivel = (x,y,z,F(x,y,z)=k)

una curva de nivel es exactamente lo mismo pero en funciones de F: |R^2-->|R
osea curva de nivel= (x,y,F(x,y)=k)


PARA TODOS LOS CASOS X,Y,Z SON VARIABLES
a,b,c SON CONSTANTES


curvas de nivel mas usadas o conocidas:

circunferencia con centro en (h,j) y radio r:

(x-h)^2+(y-j)^2=r^2


graficos

elipse con centro en (h,j) y semiejes a y b:
((x-h)^2)/a^2+((y-j)^2)/b^2=1
esfera

hiperbola:
(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1 o (y^2)/a^2-(x^2)/b^2=1

superficies

superficies de nivel:

paraboloide:

f(x,y)=x^2+y^2 si despejo z me queda 0=x^2+y^2-z

Nivel

paraboloide hiperbolico, o silla de montar:
f(x,y)=x^2-y^2 despejo z entonces me queda 0=x^2+y^2-z
curvas

hiperboloide de una hoja de revolucion:
1=x^2+y^2-z^2

elipse


hiperboloides de 2 hojas:
-1=x^2+y^2-z^2
circunferencia

esfera:
radio^2=x^2+y^2+z^2


paraboloide

elipsoide:
1= (x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 +(z^2)/c^2

elipsoide


notar que en la esfera o en a circunferencia, la formula es la misma que en la elipse o elipsoide pero a=b=c
y es el radio=a=b=c


otra cosa cuando restas a x,y,z valores estas corriendo el centro , osea (x-h),(y-j),(z-k) seria centro en (h,j,k)

para graficar estas cosas online se hace con este programa:

tan solo tenes que escribir la formula y te lo grafica
http://www.wolframalpha.com/



hice el post con mucho amor, ojala le sirva a alguien

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5 comentarios - superficies y curvas de nivel (formulas y graficos)

@Usagui-Umek +1
me servira al siguiente semestre a favoritos .... gracias por el aporte
@nico_tombino +1
muy útil estoy con esto en el comienzo de Análisis Matemático 2 !
+10