Geometría Fractal!!!

Geometría Fractal!!!
"La geometría surgió para el hombre como una necesidad, con el objetivo de medir la tierra.
Posteriormente olvidó, como tantas otras ciencias, sus orígenes. Hizo uso desde un principo de la intuición y el razonamiento y progresó durante siglos incursionando otras ciencias.
Investigó además la medida y la forma del Universo, pero siempre pensando en un Universo estable y ordenado, aprehensible mediante la intuición, previsible y racional.
En nuestro siglo la idea del Universo fue cambiando: la Geometría Clásica no es capáz de dar respuesta a un universo en el que tiene cabida el caos, el azar, en el que se combina lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande: las partículas elementales y el cosmos.
Aparecieron otras Geometrías (u otras ramas de la Geometría), que reconvirtieron a esta ciencia en el estudio de las ciencias de la realidad y en el arte, entre el orden y el caos.
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Música Fractal


Música y matemática siempre tuvieron una cercana relación. Desde Pitágoras se sabe que la armonía de tono está íntimamente vinculada a la frecuencia numeral. Otra aplicación de los fractales aparentemente irrelevante es la música fractal. Ciertas músicas, incluyendo las de Bach, Beethoven y las de Mozart, cumplen con las propiedades fractales.

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Una simple pieza de la música de Beethoven, la "Primera Escossaien" muestra líneas con un análisis formal; son un total de 32 unidades o compases que se dividen en 2 secciones de 16 unidades cada una: A (1 a 16), B (17 a 32), y a la vez se dividen en 2 períodos: A (1y2) y B (3y4), que se fraccionan en 2 partes: (a y a') compuestas por 4 unidades (1,2,3,4) agrupadas cada una de a 2 (1y2) que serán definidas y diferenciadas con letras y números.
Presenta esta melodía un balance simétrico de 2 partes. Cada sucesiva subdivisión de 32 unidades es una unidad binaria y una réplica más pequeña de la unidad más larga que la contiene.
Sus divisiones forman motivos y pequeñas unidades de estructuras binarias autosimilares.
"Períodos" y "Secciones" son construcciones de pequeñas unidades acumuladas dentro de un gran grupo binario (A y B). La forma binaria es, probablemente la más corriente en la música encontrándose distintas variedades de esta forma. Incluso la forma ternaria (ABA) está constituida sobre motivos binarios y también las forma sonata.
Cada sección (A y B) son construcciones con unidades binarias. Desde entonces sinfonías y conciertos usan formas sonatas teniendo el mismo tipo de estructura jerárquica.
La forma de "Escossaien" de Beethoven no es una excepción entre las composiciones musicales, muchas composiciones son estructuradas de manera similar con unidades de 4 y de 2 compases.

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Otro ejemplo es el Scherzo, construido sobre un compás de 3 tiempos, tiene un motivo claramente identificable: 2 corcheas y una negra ( ) como acorde desplegado en forma descendente.
El principal motivo consiste en 2/8 (dos corcheas) agregadas en conjunto en 1/4 (una negra) como acorde.
Este motivo ternario (porque está compuesto por 2 corcheas y una negra(2+1=3)), es repetido en todas las partes del Scherzo. El Scherzo tiene formas ternarias y binarias en varias escalas.
Estas combinaciones son abundantes en toda la literatura musical.
Las formas fractales fueron generadas al usar una simple fórmula repetitiva y una "semilla" o "motivo". Esta semilla es la forma básica usada para generar un fractal.
Todas las partes de un árbol pueden ser hechas por una línea geométrica básica y una simple regla de transformación.

Música generada por software:

En los últimos años, estalló un nuevo campo de ciencias: caos, fractales y autosimilitud, dentro de las cuáles se desarrolló una nueva forma de edición musical generada por diferentes programas:

MUSINUM: es un programa gratuito de sonificación que convierte números dentro de la generativa música Fractal. Este suma los dígitos en números binarios y cada una de las sumas es una "nota".

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FRACTALES EN LA NATURALEZA:


Las formas de la naturaleza son fractales y múltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales.Esto quiere decir que una nube o una costa pueden definirse por un modelo matemático fractal que se aproxime satisfactoriamente al objeto real. Esta aproximación se realiza en toda una franja de escalas , limitadas por valores mínimos y máximos.

EJEMPLOS DE MODELOS FRACTALES:

-LORENZ turbulencias atmosféricas y corrientes marinas.
-HENON oscilaciones sufridas por cuerpos celestes que hacen que su trayectoria no sea completamente elíptica.
-CURVAS DE KOCH ALEATORIA fronteras de un país, trazado de una costa, trazado de un río.
-FRACTALES tipo ARBOL sistema arteriales y venosos.
ELEMENTOS DE LA NATURALEZA QUE PUEDEN ESTUDIARSE MEDIANTE UN MODELO FRACTAL:

CUERPO HUMANO abundan las estructuras fractales:
-Redes nerviosas.

-Redes de vasos sanguíneos.

-Conductos biliares.

-Sistemas de tubos pulmonares y bronquios

ELEMENTOS DE LA NATURALEZA:
-Montañas

-Coníferas

-Sauces

LA DIMENSIÓN FRACTAL

La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc.) ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos clásicos. El concepto de longitud no está claramente definido. La longitud de la línea fractal depende de la longitud de instrumento, o de la unidad de medida que tomemos, la noción de longitud en estos casos, carece de sentido. Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal, que sea una generalización de la dimensión euclídea. Sabemos que en geometría clásica un segmento tiene dimensión uno, un círculo tiene dimensión dos, y una esfera tiene dimensión tres. Para que sea coherente con lo dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que dos (no llena toda la porción de plano). En general lo que sucede es que la longitud de la curva fractal es superior a la del segmento de recta que lo genera, y por lo tanto, en general la dimensión fractal será un número comprendido entre uno y dos. La dimensión Hausdorff H(X) de un objeto fractal X mide el número de conjunto de longitud L que hacen falta para cubrir X por L.

¿PUEDE EXISTIR UNA DIMENSIÓN FRACCIONAL?


Para calcular la dimensión de un fractal se usan los conceptos de límite, logaritmo, escalas y medidas. En el cálculo de la dimensión de fractales muy complejos como el conjunto Mandelbrot se usan computadoras, pero para fractales más simples se usan formulas matemáticas, una muy común es la de Hausdorff-Besicovitch. Ejemplo: el cálculo de la dimensión del triángulo de Sierpinski, utilizando un método llamado similitud por duplicación.

Si tomamos un segmento de longitud 1 y lo duplicamos tendremos 2 segmentos iguales al original

ramas de la geometria


Si duplicamos los lados de un cuadrado de lado 1 tendremos 4 cuadrados iguales al original

Geometría Fractal!!!


Tomamos ahora un cubo de largo, alto y ancho 1 y duplicamos todas sus medidas, tendremos ahora 8 cubos iguales al original.

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Disponemos estos datos en una tabla:

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Un segundo ejemplo podría ser la curva de Koch. Cada paso en la génesis de la curva aumenta un tercio su longitud en forma indefinida. Cada curva es 4/3 de la anterior:

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ramas de la geometria

Así por ejemplo en el caso de la curva poligonal de nivel 10, la longitud es 1.(4/3)^(10-1):

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COMPRESION DE IMAGENES



Resumen:

Utilizando como punto de partida el método esbozado por Barsnley en , se elaboró una variante factible para la compresión no reversible de imágenes en tonos de gris, utilizando la Geometría Fractal y el Teorema del Collage. Las técnicas peculiares empleadas permitieron reducir los costos en tiempo con concesiones mínimas en la calidad de la imagen resultante. Los resultados obtenidos son comparables con los expuestos en trabajos similares como .

Introducción:

En el almacenamiento y manipulación en general de imágenes digitales, los métodos de compresión juegan un importante papel al hacer posible que éstas sean almacenadas en menor espacio sin provocar una notable degradación de la información que contienen. Uno de los más novedosos esquemas de compresión conocidos, tiene su basamento en la Geometría Fractal y en la Teoría de los Sistemas Dinámicos.

En las imágenes o figuras fractales es posible apreciar la existencia de similaridad entre porciones de las mismas y la figura en sí, esto quiere decir que dichas figuras aparecen formadas por copias de si mismas. O sea, si le es efectuada a la figura cierta transformación de escalamiento, traslación, rotación o una combinación de éstas, se obtiene como resultado una nueva figura que es semejante a determinada porción de la imagen original.

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Figura 1.Imágenes fractales. Triángulo de Sierpinski. Hoja de Helecho.

La propiedad anterior de este tipo de imágenes, conocida como self similarity o autoescalamiento, posibilita que las mismas sean almacenadas como una colección de transformaciones, a partir de las cuales son generadas cada una de sus porciones. De este modo se reduce en gran medida el espacio necesario para su almacenamiento, ya que las transformaciones a usar tienen solamente seis coeficientes, y con un reducido número de ellas es posible generar imágenes bastante complicadas.

Las colecciones de transformaciones definen sistemas de la forma:

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Utilizando estos sistemas es muy simple generar las imágenes. Para esto se parte de un punto inicial cualquiera (x,y) y se toma aleatoriamente una de las funciones del sistema, la cual es evaluada en el punto (x,y) para obtener un nuevo punto(x1,y1), este punto debe ser dibujado en el plano. Este proceso se repite tomando al punto (x1,y1) como nuevo punto de partida y así sucesivamente hasta que se alcance el nivel de detalle deseado o que en el proceso iterativo, el sistema alcance su punto fijo o invariante. Los primeros puntos que se van obteniendo no deben ser dibujados, en espera de que el sistema se estabilice. De esta sencilla forma, pueden obtenerse figuras tan complicadas como la hoja de helecho de la figura 1.

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Figura 2.Transformaciones para generar la hoja de helecho.

Las colecciones de transformaciones constituyen un modelo matemático llamado Sistema de Funciones Iteradas, y la única condición que debe cumplir cada Wi es ser contractiva. A partir de este echo, se puede asegurar que el sistema W también es contractivo, lo que permite hacer uso del Teorema del Punto Fijo de Banach para asegurar que siempre será posible obtener, a partir de W, una imagen y que ésta siempre será la misma (el atractor del sistema).

Además, un importante resultado de la Teoría de los Sistemas Dinámicos, conocido como Teorema del Collage, garantiza que se pueda obtener una imagen final arbitrariamente cercana a la que se desea.

Las ventajas en cuanto a requerimiento de espacio en disco que se obtienen al almacenar imágenes fractales como una colección de transformaciones, hacen que se intente generalizar esta idea, de manera que pueda ser aplicada a cualquier tipo de imagen, por ejemplo la imagen de una casa, un paisaje o un rostro humano.


Ampliando el Modelo


El hecho de que estas imágenes tengan color (tonos de gris), adiciona una dimensión al problema de encontrar las transformaciones adecuadas, ya que no basta saber dónde pintar. Es necesario además determinar el color que corresponde. Ahora hay que tener en cuenta la variación que va a sufrir la tonalidad de gris de cada punto involucrado en una copia, por lo que las transformaciones a usar tendrán la forma siguiente:

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(determinantes)


donde g y h van a controlar el cambio de contraste y brillo que ha de sufrir el color en la copia.

En imágenes arbitrarias no se encuentra el tipo de similitud tan evidente que se apreciaba en los fractales de la figura 1. Sin embargo es posible encontrar en ellas diferentes porciones que son similares entre sí, y que van a permitir, en analogía con el caso anterior, describirlas como copias de partes de sí misma.

Por ejemplo, sean R y D porciones cuadradas en la imagen. Entonces la expresión:

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permite describir la distancia existente entre la cualquier copia de la región D y la región R. Donde di y ri son los valores de color para cada punto de las regiones D y R respectivamente.

Puede ocurrir, y no es extraño que así sea, que para determinada porción R, no se encuentre una porción D, con la misma orientación de R que brinde un buen grado de parecido. Sin embargo pueden existir porciones con diferente orientación que sí lo tengan. Un ejemplo de esto se muestra en la siguiente figura:

Geometría Fractal!!!
Figura 3.Correspondencia considerando rotaciones.


Descripción del Método

Codificar una imagen significa encontrar una colección de transformaciones W tal que el punto fijo || de W esté lo suficientemente cercano de la imagen en cuestión.

Para esto debe segmentarse la imagen en porciones que la cubran totalmente y que no se superpongan entre sí. A estas regiones se les denomina rangos y en este caso son cuadradas. A cada una de ellas se le asocia otro cuadro en la imagen, que será aquel que más se le parezca según lo visto anteriormente, al que se le denomina dominio. Con estas asociaciones quedan establecidas las transformaciones que harán posible generar la imagen posteriormente. La relación de tamaño entre rangos y dominios es de 1 a 2, o sea, si los rangos son de lado q los dominios serán de lado2q.

Mientras mayor sea el tamaño de los rangos, mejores radios de compresión se lograrán, pues menor será la cantidad de rangos y por lo tanto menor será también la cantidad de transformaciones a almacenar. Sin embargo, mientras mayor sea un rango, más difícil será encontrarle un dominio realmente parecido y la degradación de la información contenida en la imagen será mucho mayor. Por tanto, el tamaño de los rangos debe ser seleccionado de acuerdo a las características de la imagen sobre la zona en que va a ser situado, de forma que se logren buenos radios de compresión y se minimice la pérdida de información.

Los tamaños de rangos usados son de 4x4, 8x8 y 16x16 pixels. Estos últimos al ser los mayores son situados (en caso de que sea posible) sobre las regiones de la imagen en las que menor cantidad de detalles exista, por ejemplo zonas uniformes en la tonalidad de color, para de esta forma garantizar menores pérdidas. El resto de la imagen es cubierta provisionalmente, con rangos de 8x8 pixels, y luego aquellos para los que no se logre una buena relación rango-dominio con ese tamaño, son divididos en cuatro nuevos rangos de 4x4 pixels.


Optimización de la Búsqueda

Un aspecto importante en el proceso de compresión es que el tiempo necesario para encontrar porciones similares no debe ser muy alto. Para lograr esto, las búsquedas se realizan de acuerdo a las particularidades de cada rango. Por ejemplo, a los rangos que cubren zonas de la imagen con bajo nivel de detalle se les trata de asociar dominios que tengan sus mismas características, limitándose así las zonas a tener en cuenta, y con ello el tiempo.

Además, es de esperar que se mantengan localmente las características de la imagen, por lo que para el resto de los rangos la búsqueda se realiza en una vecindad de sus posiciones, lográndose en la mayoría de los casos asociaciones adecuadas, y en muy poco tiempo debido al reducido tamaño del área de donde se seleccionan los dominios.

En los casos que esto no se logre, los rangos pendientes se clasifican en dos grupos: los que son atravesados por contornos de la imagen y los que no, para de esta forma limitar el espacio de búsqueda de sus dominios a aquellas zonas con sus mismas características. Por ejemplo, en la figura 4 se aprecia que para el rango R es más conveniente el dominio D que el D', y lo contrario ocurre con R'.

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Figura 4.Correspondencia considerando bordes.

Por último, se ha determinado empíricamente, que para casi todos los rangos, el dominio hallado se encuentra en una vecindad del mismo. Por este motivo se introdujo una restricción del espacio de búsqueda a una vecindad de radio 25 pixeles del rango. Este paso acelera enormemente el proceso y las pérdidas por degradación se reducen a valores aceptables.


Conclusiones

Se ha obtenido un método utilizable para la compresión de imágenes en grises. La eficiencia del algoritmo debe ser mejorada aún, sin embargo los tiempos obtenidos son soportables. Comparando con otras referencias hemos obtenido menores radios de compresión, pero mejor calidad en las imágenes resultantes, por lo que continuaremos con el desarrollo de esta metodología. Los pasos siguientes deben dirigirse a acelerar aun más el proceso y a la introducción del color.

Con los resultados expuestos se construyó una aplicación de prueba que permitió evaluar el método satisfactoriamente en la práctica."


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Gracias por leer, comenta, puntea y me harias un gran favor al recomendarlo, por que como ya te debiste de haber dado cuenta aun no tengo muchos seguidores.

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5 comentarios - Geometría Fractal!!!

@elcotess +4
...y así sucesivamente.

Tengo entendido que este es el primer fractal que se conoce.

Geometria
@Cram99z10
Es un gran ejemplo, pero no se si sea el primero.
@elcotess +1
@Cram99z10

Si , lo es , chau,


Weeeeeeeee jajjajaja
@garciarena +2
Ya los conocía, me encantan... ingenieria por aca
@cheche385
algun ejemplo de fractales usando letras???