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Teoría de Juegos: El modelo Halcón Paloma

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En este juego existen Halcones y Palomas. Todos ellos compiten por una serie de recursos de valor v (por ejemplo, espacio para los nidos). Los Halcones siempre Pelean, y las Palomas siempre se Retiran. Por lo tanto:

- Si una Paloma y un Halcón se encuentran, la Paloma se Retirará, y el Halcón se quedará con el recurso.

- Si dos Palomas se encuentran, no Pelean. Simplemente la primera que llegó se queda con el recurso y listo.

- Si dos Halcones se encuentran, siempre Pelean entre sí. El que gane se quedará el recurso y el que pierda se irá sin nada y además pagará un coste c (por ejemplo, en forma de heridas). Nótese que c es mayor que v.

Teoría de Juegos: El modelo Halcón Paloma

Así que tenemos la siguiente matriz de pagos:

.............................................................Jugador 1...............Jugador 1
...........................................................Paloma (Retira).....Halcón (Pelea)
Jugador 2 Paloma (Retira)..............v/2, v/2..........................v,0
Jugador 2 Halcón (Pelea)..................0,v......................(v-c)/2, (v-c)/2

Por si acaso no ves clara esa matriz, vamos a explicarla.

Los casos Halcón-Paloma y Paloma-Halcón son fáciles: el Halcón gana v y la Paloma se va sin nada.

El caso Paloma-Paloma es un pelín (solo un pelín) más complicado. Unas veces será una Paloma la que llegue antes y otras veces será otra. En media, la mitad de las veces. Así que por eso el pago de Paloma-Paloma es v/2 para cada uno.

Por lo mismo, el caso Halcón-Halcón es (v-c)/2: unas veces ganará uno y otras, otro. En media, ganará la mitad de las veces. Cuando gane la Pelea, obtendrá v; mientras que cuando la pierda, obtendrá -c. En media (v-c)/2. Nótese que como c es mayor que v, este valor es negativo.

Por lo tanto, podemos entender este juego de dos formas:

Existen dos especies distintas, los Halcones y las Palomas, que aplican la estrategia pura que hemos visto arriba: los Halcones siempre Pelean y las Palomas siempre se Retiran.
Existe una única especie (por ejemplo, Humanos), que a veces Pelea como Halcón y a veces se Retira como Paloma. Es decir, una estrategia mixta.

¿Está claro que ambas analogías son matemáticamente el mismo juego? Bien, porque para hacer el razonamiento vamos a tener que ir cambiando de una analogía a la otra con soltura. Aviso de que vamos a ver unas poquitas fórmulas sencillas, pero si no te gustan, sáltatelas y ve al texto con las conclusiones. Simplemente, en ese caso tendrás que fiarte de mí.

Como el juego es simétrico, podemos llamar p a la proporción de Palomas tanto en filas como en columnas (o dicho de otro modo, la probabilidad de elegir Paloma si ambos jugadores de la misma especie usan una estrategia mixta; como hemos dicho, es lo mismo) y con cuatro cuentas deducimos que la esperanza del pago sigue la fórmula:

El máximo se produce cuando p=1. Es decir, cuando todos son Palomas. Bien, ese es el resultado social que hemos ido buscando durante gran parte de la serie.

¿Asunto resuelto?

Pues no, no mucho.

Ese resultado es el máximo social. Todos los jugadores se retiran amablemente como Palomas cuando tienen un conflicto, de modo que al final, en media, todos ganan. Pero, ¿qué ocurre si de pronto aparece un invasor o un mutante agresivo de tipo Halcón?


Estrategia evolutivamente estable

Estrategia evolutivamente estable: una estrategia es evolutivamente estable cuando todos los invasores o mutantes que aparecen con otra estrategia son eventualmente exterminados según transcurren las generaciones.

Los términos mutante e invasor se suelen usar indistintamente, pues para la bondad de la estrategia es indiferente si los individuos con esa nueva estrategia vienen de fuera (invasores) o surgen por la reproducción de la población inicial (mutantes).

¿Qué ocurre si hay muchas Palomas y aparecen unos pocos Halcones? Los pocos Halcones que haya raramente se encontrarán entre sí, y sí con las Palomas… situación en que ellos ganan mucho. Por lo tanto los Halcones sobrevivirán más, se reproducirán más y crecerán en número, reduciéndose a la vez el número de Palomas.

Es decir, nuestra estrategia de todo Palomas no es evolutivamente estable.

¿Hasta cuándo? ¿Puede seguir creciendo la proporción de Halcones hasta constituirse en la única especie de la población? O dicho de otro modo: ¿existe un punto de equilibrio?

Veamos lo que ocurre si hay muchos Halcones y pocas Palomas. Los Halcones se encontrarán muy a menudo y Pelearán, obteniendo un pago negativo, por lo que sobrevivirán poco, se reproducirán menos y decrecerán en número, aumentando a la vez la proporción de Palomas.

Es decir, existe una realimentación negativa: si hay demasiadas Palomas, tienden a decrecer; y si hay demasiados Halcones, tienden a decrecer.

¿Dónde está el punto de equilibrio? Para ello debemos calcular las esperanzas, en función de la proporción de Palomas p, tanto para los Halcones como para las Palomas. Cuando la esperanza de los Halcones sea mayor que la de las Palomas, aumentará su proporción; mientras que cuando la esperanza de los Halcones sea menor, disminuirá su proporción.

Si el coste c de Pelear es muy alto (por ejemplo 1.000.000, frente a un valor v de 2), el castigo por Pelear es tan alto que apenas habrá Halcones. Mientras que si el castigo es muy pequeño (por ejemplo c=3 cuando v=2), el ser agresivo compensa y puede haber muchos Halcones.

2 comentarios - Teoría de Juegos: El modelo Halcón Paloma

@drickmx
Esto explica por que en mi pais hay tantos crimenes