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conversiones sistemas numericos #1 metodos conceptos basicos

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Vídeo 1. Introducción y métodos básicos para conversiones entre sistemas numéricos.


En este vídeo se explicara el concepto de sistemas numéricos, la tabla de sistemas numéricos la cual utilizaremos durante todos los tutoriales sobre conversiones entre sistemas numéricos, se explicaran los métodos por división y potenciación para realizar las conversiones entre los distintos sistemas.



link: https://www.youtube.com/watch?v=jdp91beSm5g

Ducumento


Existes muchos sistemas numéricos, de los cuales en este curso solo estudiaremos cuatro, el que todos conocemos el decimal; sistema binario, hexadecimal y el sitema octal, estos últimos tres son utilizados en informática. Empezaremos con varios conceptos valiosos para el entendimiento del curso para empezar a ilustrar como se hacen las conversiones básicas entre estos sistemas.
Los sistemas que estudiaremos son:

- Sistema Binario(base 2)
- Sistema Octal(base 8)
- Sistema Decimal(base 10)
- Sistema Hexadecimal(base 16)

Antes de explicar los sistemas destacaremos la importancia de conocerlos desde el punto de vista de un ingeniero de sistemas o electrónico:

Los sistemas numéricos binario y hexadecimal que son las bases con las que trabaja el ordenador, aunque en realidad el ordenador sólo trabaja en base 2 o binario, la base 16 o sistema hexadecimal se utiliza de cara al programador para compactar el número resultante de utilizar la base 2 o sistemas binario, que sería muy largo y engorroso para utilizar constantemente en los programas, la base 8 o sistema octal se utiliza con el mismo fin, sin embargo comprime menor cantidad de números binarios que el sistema hexadecimal por lo que es poco utilizado, el carácter de compresión de cifras binarias las veremos en detalle en el tercer video de esta serie tutorial.

1. Sistemas posicionales:

Los sistemas numéricos que vamos a ver son sistemas posicionales. Un sistema posicional es aquel en el que un número viene dado por una cadena de dígitos, estando afectado cada uno de estos dígitos por un factor de escala que depende de la posición que ocupa el dígito dentro de la cadena dada.

Por ejemplo en el sistema numérico decimal, el dígito 9, valdrá 9 si está al final de la cadena, en la posición reservada para las unidades; valdrá 90 si el dígito se encuentra en la posición reservada para las decenas (2ª posición de derecha a izquierda); valdrá 900 si el dígito se encuentra en la posición reservada para las centenas; etc. A esto es a lo que se le llama posicional, dependiendo de la posición que ocupe un dígito dentro de la cadena numérica, tendrá un valor o tendrá otro. Así por ejemplo, el número 8346 se podría descomponer como sigue: 8346 = (8 * 10^3) + (3 * 10^2) + (4 * 10^1) + (6 * 10^0).
El factor de escala del que hablábamos, son las diferentes potencias de 10 que multiplican a un dígito dependiendo de su posición dentro de la cadena numérica.

3.1. Base Decimal (Base 10).

Es la base a la que estamos acostumbrados desde siempre, la base numérica más utilizada.
En esta base 10, contamos con 10 dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9. Mediante estos 10 dígitos podemos expresar cualquier número que deseemos.

3.2. Sistema Binario (Base 2)

En esta base sólo contamos con 2 dígitos: 0 y 1. Al igual que la base decimal tiene su razón de ser, la base 2 o binaria tampoco ha surgido debido a un mero convencionalismo, sino que se basa en algo concreto: Electricidad.

Toda la información que se manipula dentro de un ordenador se hace de acuerdo a señales eléctricas. Es lo único que entiende el ordenador. Mediante una señal eléctrica alta, se representa el valor 1; mediante una señal eléctrica baja se representa el 0.

. (1) : Tensión eléctrica alta.
. (0) : Tensión eléctrica baja.

Para representar cadenas numéricas, se emplean cadenas de señales eléctricas. Así por ejemplo, para representar el número 10001101 (base 2), el ordenador utilizaría la cadena de señales eléctricas: Tensión alta, Tensión baja, Tensión baja, Tensión baja, Tensión alta, Tensión alta, Tensión baja, Tensión alta.
Como este sistema también es posicional se puede repetir el ejempo del sistema decimal solo que las potencias serian de 2 en vez de 10.
El número 10100101 se puede traducir a base 10 como:
10100101 = (1*2^7)+(0*2^6)+(1*2^5)+(0*2^4)+(0*2^3)+(1*2^2)+(0*2^1)+(1*2^0).
O lo que es lo mismo: 10100101 (base 2) = 128+0+32+0+0+4+0+1 (base 10) = 165 (base 10)

3.3. Base hexadecimal (Base 16).
La base hexadecimal surgió para compactar la información binaria.
Se utiliza un dígito hexadecimal para representar una cadena de 4 dígitos binarios. Teniendo en cuenta que con 4 dígitos binarios podemos representar 16 números diferentes: 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010, etc...
En la base 16, que tenemos 16 dígitos diferentes, no podemos valernos sólo de los dígitos de la base decimal, ya que sólo hay 10 diferentes, y necesitamos 16.
La solución es utilizar letras para representar los 6 dígitos que nos faltan. Tenemos entonces que los dígitos hexadecimales son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E y F.
El número AF34h se puede traducir a base 10 como:
AF34 (base 16) = (10*16^3)+(15*16^2)+(3*16^1)+(4*16^0) (base 10).
O lo que es lo mismo: AF34 = (10*4096)+(15*256)+(3*16)+4 = 40960+3840+48+4 = 44852

3.4. Sistema Octal (Base 8)

Al igual que la base hexadecimal, se utiliza para compactar información binaria, pero en este caso, la compactación es menor, de tal manera que casi no se usa. Mientras que en la base hexadecimal con un sólo dígito se puede representar una cadena de 4 dígitos binarios, en la base octal un dígito sólo puede representar 3 dígitos binarios. Los dígitos posibles para la base octal, evidentemente, son los que van del 0 al 7.



4. Tabla de sistemas numéricos.

Esta tabla será de gran ayuda en el proceso de conversión entre sistemas, asi como para la compresión y descompresión de números binarios, la cuan debemos tener muy en cuenta para el seguimiento de este curso, especialmente para el tercer y cuarto video.

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En ella se describe la equivalencia de cada número en cada sistema. En la primera columna veremos los números decimales, en la segunda los números binarios, en la tercera los hexadecimales y en la ultima los octales.
De decimal a otros sistemas numéricos.

Un número decimal se puede convertir a cualquier otro sistema dividendo este numero por su base y tomando en sentido inverso los residuos de dicha división, como lo veremos a continuación.

Por ejemplo el número 18732 en base decimal, que es 492C en base hexadecimal, y 100100100101100 en base 2.

Veamos cómo se llega de uno de esos números a otro, al cambiar de base.

* Cambio de base 2 a base 10. 100100100101100b =

Partimos desde la derecha y damos un valor de potencia de la base (2^n) según la posición que ocupa el numero desde la potencia 0 y aumentándola una cada vez que nos movemos hacia la izquierda, esta potencia se multiplica con el numero binario al que se le asigna la base potenciada, los resultados de estas operaciones se suman y el resultado es el equivalente decimal del numero binario.

Se recomenda no hacer la operación cuando en el numero binario que se opera es 0 debido a que el resultado será 0 lo que no alterara el resultado, sin embargo si se toma en cuenta al aplicar el concepto de posición a la hora de asignar la potencia de la base.
Por ejemplo:

Vamos a hacer el cambio de base 2 base 10 del numero binario 100100100101100
Asignaremos una potencia de la base (2) a cada uno de los dígitos de derecha a izquierda, empezando desde 2^0, como este numero tiene 15 números eso quiere decir que al numero mas a la izquierda se le asignara la partencia 2^14, luego se multiplica el digito decimal a su potencia asignada y se suman los resultados como veremos a continuación:

(1*2^14)+(1*2^11)+(1*2^8)+(1*2^5)+(1*2^3)+(1*2^2)= = 16384+2048+256+32+8+4 = 18732 (base 10).

Se omitieron las operaciones de los ceros.

* Cambio de base 10 a base 2.

binario

Partiendo del último resto de las sucesivas divisiones, y hasta llegar al primero, obtenemos: 100100100101100b que sale de la agrupación de los residuos de la división sucesiva tomando del último al primero, que es el equivalente en base 2 del número 18732 en base 10.

* Cambio de base 16 a base 10.

Se utiliza el mismo principio de conversión solo que la potencia que se asigna esta vez es de la base 16 (16^n), salvo ese detalle el proceso es el mismo como lo veremos a continuación.

conversiones

492Ch = (4*16^3)+(9*16^2)+(2*16^1)+(12*16^0)= = (4*4096)+(9*256)+(2*16)+(12) = = 16384+2304+32+12 = 18732 en base 10.

* Cambio de base 10 a base 16.

Partiendo del último resto de las sucesivas divisiones, y hasta llegar al primero, obtenemos: 492C, que es el equivalente en base 16 del número 18732 en base 10.

En cuanto a la conversiones con la base 8 o sistema octal omitiremos el procedimiento, debido a que se utiliza el mismo principio para este sistema en cuanto la conversión de este a decimal y desde decimal al sistema hexadecimal.

Por supuesto, para automatizar el proceso de cambio de bases, existen calculadoras especiales, que permiten trabajar con diferentes bases, permiten representar en cada una de esas bases, realizar operaciones lógicas con los números, etc.

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