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Vectores con manzanas y otras frutas [1/4]

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¡Hola! Esta vez tengo para ustedes un intento de minicurso sobre... ¡vectores!

¿Tienes examen mañana?¿No sabes que hacer en una cita con tu chica?¿Tienes ganas de iniciarte en el oscuro mundo de las matemáticas? -(Asentir con la cabeza) - ¡Pues este es tu post!

Ya sea para un examen (de preferencia sobre vectores), mantener entretenida a tu mujer o entrarle a una secta incomprendida, ¡aquí obtendrás los conocimientos necesarios para lograrlo!


Vectores con manzanas y otras frutas [1/4]

vectores


Todos estamos familiarizados con operar con escalares (los números reales). En la escuela, desde que somos niños, nos dicen que 1 + 1 = 2 y nosotros lo aprendemos tal cual en un principio, sin profundizar demasiado. De igual forma aprendemos a multiplicar, dividir, etc. y poco a poco le vamos encontrando aplicaciones. No es sino hasta un nivel mas avanzado (quizá la universidad) en donde empezamos a entender el análisis de tal operación y llegar, entonces, a la absoluta demostración, con todo y elegante lenguaje matemático el porque 1 + 1 es 2 y no otro numero. Sin embargo, sin necesidad de llegar al análisis matemático, el conocimiento común de tales reglas y el elemental entendimiento de estas, nos hace la vida mas fácil.

Mi propósito con esta serie de post que iré haciendo sobre vectores es que se vuelva un conocimiento común en la gente que me haga el favor de leerme. Quizá no sea un tema indispensable para un ciudadano común, pues no lo necesitas en el banco, por ejemplo, pero debo decir que, entendiendo los conceptos, aquella gente tendrá una herramienta que seguro alguna vez le hará algún proyecto mas sencillo, y si no, al menos tendrá en su repertorio de matemáticas una bella pieza mas; le sera mas útil a estudiantes, definitivamente.

Estos post están hechos idealmente para gente que sabe ya lo mas elemental de álgebra, trigonometría y geometría. Pero aun si no tienes tales conocimientos, le entenderás a la mayoría (si no es que a todos) los conceptos que intentare explicar.

La gente que ya sepa sobre álgebra lineal, tal vez se aburra con esto, así que solo pido respeto para el resto de nosotros.



algebra lineal


matematicas

Empecemos...

¿Que es un vector?

Les daré dos interpretaciones sobre qué es un vector. En este primer post les diré el punto de vista analítico.


Primero recordemos:

De niños nos enseñaron a hacer sumas entre un par de números "normalitos":


basico



Ahora, si necesitábamos hacer dos sumas, se veia algo asi:


producto punto


y si requeríamos hacer diez sumas, se veía algo así:


suma de vectores



Tedioso, ¿no? y tanto desorden puede facilitar cometer errores en caso de que las operaciones tenga relación entre si. Por fortuna para nosotros, los matemáticos de a deveras inventaron una herramienta que sirve para trabajar mas fácil estas situaciones y otras parecidas (que mencionare a lo largo de la serie de post): Álgebra lineal.


En esta rama de las matemáticas existe un concepto muy útil: el vector


Por ahora definiremos un vector simplemente como un arreglo de números en perfecto orden, ya sea en forma de renglón o columna, los cuales pueden ser operados de diversas formas siguiendo algunas reglas. Para este minicurso usare únicamente vectores renglón.


Un vector se ve así:


Vectores con manzanas y otras frutas [1/4]


o así:


vectores


Sin embargo, esto sigue siendo mucho por escribir, asi que para ahorrarnos el cansansio, metemos todo eso en una sola letra:


algebra lineal


o


matematicas



Así, solo basta escribir basico para saber que es "un algo" con varios numeritos implícitos. Nótese el gorro en forma de flecha que esta sobre la letra: solo es una forma (muy común) de escribir que se trata de un vector. Algunos libros usan negritas o letras raras; al final de cuentas es lo mismo.

Ahora la pregunta es: ¿Como sumo esos dos vectores? es decir, como hago:


producto punto



La respuesta, después de la siguiente pausa...

suma de vectores



Para entender mejor qué son y como se usan los vectores, seguiremos un ejemplo sencillo:


Imagina que tienes un par de negocios de venta de frutas, uno en cada extremo de la ciudad. Pero apenas estas empezando, así que por el momento solo vendes manzanas, naranjas, fresas y sandias. Una de tus sucursales se llama "equis" (mala mercadotecnia) y la otra "ye".

Vectores con manzanas y otras frutas [1/4]

Ahora, tus empleados, al final del día, te reportan las ventas que hicieron. Te las dan en forma de lista y solamente se trata del numero vendido de cada fruta.

vectores

Tu trabajo como buen administrador es calcular cuantas de cada fruta se vendieron en total... y no tengo que decirte cómo (espero)... tu lista quedaría así:

algebra lineal

¿Ves el truco? -(niega con la cabeza)- pues es porque no lo hay. Simplemente hiciste lo que aprendiste cuando eras niño.

Ahora, se te ocurrió una idea. Ya no quieres todo ese lío de palabras, sino únicamente los números de la siguiente forma:

matematicas

O sea, solo quieres el numero de frutas vendidas exactamente en ese orden, siempre. (¿ya ves que son vectores?)

Entonces conviertes las tres listas a esa nueva forma, y te quedan así:


basico

¿Mejor? Así, con solo escribir entre paréntesis unos cuantos números, y usando tu clave, ya sabes de que se trata. Esta es nuestra primera interpretación de un vector


producto punto


Bien, hasta aqui entendimos con manzanas y naranjas lo que es un vector, ahora vamos a ver como se usan.

SUMA DE VECTORES

¿Recuerdas cuanto vendió equis y cuanto vendió ye? Entonces, si sumo esas ventas, obtengo la venta total. O sea:

suma de vectores

Y este resultado coincide con mi resultado de mi lista que hice como buen administrador. Traduciéndolo, dice que en total vendiste 4 manzanas, 8 naranjas, 8 fresas y 12 sandias.

Debes darte cuenta cómo realizamos la operación. Sumamos "componente a componente" es decir, manzanas con manzanas, naranjas con naranjas, etc...

Vectores con manzanas y otras frutas [1/4]

vectores


RESTA DE VECTORES

Primero analicemos lo siguiente: Si yo sé cuanto vendí en total y cuanto vendió una de mis tiendas ¿Puedo saber cuanto vendió la otra? ¡Claro que sí, campeón!:

algebra lineal

Y la operación se hace siguiendo la misma regla que en la suma (componente a componente), solo que ahora restamos... - dah... -

matematicas

¡Y sí! ¡Nos da el resultado esperado!

basico


MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN NUMERO "NORMALITO" (ESCALAR)

Esta es una nueva operación con vectores, y con "nueva" no me refiero a que la inventaron recientemente, sino a que es nueva para nosotros, que solo veníamos analizando adiciones y sustracciones.

¿Te diste cuenta, al principio de todo este enredo, que la tienda "ye" vendió el triple de cada fruta que la tienda "equis"?, o sea:

producto punto

suma de vectores Cuando tenemos un numero "normalito" multiplicando a todo un vector, entonces ese numero deberá multiplicar a cada componente.

Vectores con manzanas y otras frutas [1/4]


UN TIPO DE MULTIPLICACIÓN ENTRE DOS VECTORES (PRODUCTO PUNTO)

Esta es la ultima operación que aprenderemos hoy. Para ello añadiremos drama a nuestro ejemplo original: Ahora queremos la ganancia total D=

Primero hagamoslo con listas, así como nos enseñaron de niños:

vectores

Una lista tiene el numero de frutas vendidas totales, y la otra el precio de cada fruta.

Piensa, ¿Cuanto ganaste en total? Y la respuesta es fácil de obtener: $156

¿Te das cuenta que nuestra respuesta a esa pregunta es un numero escalar (normalito)?

Eso hace un producto punto entre dos vectores, da un numero escalar como resultado.

Definimos al producto punto como la suma de los productos entre cada componente de dos vectores.

Para que entiendas mejor, mira como se responde la pregunta usando vectores:

Primero debemos tener un vector "t" para el total de ventas y otro vector "p" para el precio de cada fruta, usando en ambos la misma correspondencia entre componentes:

algebra lineal

Ahora, veras que lo que te voy a decir es cierto: La GANANCIA TOTAL, que llamaremos G, la obtendremos haciendo el producto punto entre el vector t y el vector p, o sea:

matematicas

¿Lo ves? ... ya se que vas a decir: "la empresa va a quebrar". Lo que no sabias es que el precio esta en dolares xD

Así se escribe un producto punto: ¡con un miserable punto! y obedeciendo la regla para calcularlo, el resultado es siempre un numero escalar. Después veremos otra interpretación esto.

basico


Les regalo un resumen de todo lo dicho -y algunos datos mas que no requieren gran explicación-:

producto punto

suma de vectores


Ahora hacemos, a manera de ejercicio, Vectores con manzanas y otras frutas [1/4] con los vectores que nombre muy al inicio...



vectores



Y ya... FIN


algebra lineal





matematicas

PARTE [2/4]



basico Comenta.

Comentarios Destacados

@tommy_vercetty +6
Me parece excelente tu articulo, tu método de enseñanza me parece excelente, , todos los maestros deberian enseñar asi !!

8 comentarios - Vectores con manzanas y otras frutas [1/4]

@tommy_vercetty +6
Me parece excelente tu articulo, tu método de enseñanza me parece excelente, , todos los maestros deberian enseñar asi !!
@beoben2 +1
Justo mañana tengo examen de física
Lastima que no es de vectores :/

+10 y Favoritos
@zxx1 +1
Muchas gracias aprendi algo ahora si jeje
@frankdrums +1
Muy bueno!! asi si me gustan las matematicas!!!
@GETH2358 +1
Si hubieras hecho esta post hace un año no hubiera tenido que recursar ésta materia.
@jbo7 +1
muy bien explicado
@Azartth +1
+10, ¡Más posts de estos por favor, lince matemático!