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Vectores con manzanas y otras frutas [3/4]

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Vectores con manzanas y otras frutas [3/4]

vector


¡Hola! Hoy traigo la tercera parte de este minicurso sobre vectores. Ojalá les sirva de algo.


vectores

Por si no te queda claro qué sabes hacer hasta ahora con esta serie de post, te dejo un breve pero útil resumen:

Sabemos como se ven los vectores usando números y geométricamente:

algebra lineal

Sabemos obtener sus normas:

producto puntoproducto cruz

Sabemos sumarlos entre si y que significa geometricamente:

calculadora
Vectores con manzanas y otras frutas [3/4]


Sabemos también qué pasa con la resta:

vector
vectores

Sabemos dos formas de calcular el producto punto:

algebra lineal

Y sabemos multiplicar un vector por un numero escalar, y lo que significa gráficamente:

producto punto

producto cruz

calculadora

Nuestras herramientas de álgebra lineal ya casi están completas, solo faltan dos cosas: Producto cruz y combinación lineal; empezaremos por el segundo.

Combinación lineal.

Aunque tenga un nombre pomposo, es algo muy sencillo. Para entender este concepto pondré un ejemplo simple:

Ya eres un gran empresario de frutas. Importas mercancías de todo el mundo. Recientemente recibes un cargamento de tres frutas y tu trabajo es hacer un inventario. Te llegan tres cajas cerradas y lo único que sabes es que el proveedor te mando manzanas, naranjas y peras. Tú, como buen usuario de matemáticas avanzadas decides usar vectores para tener buen orden. Decides que por cada caja que abras harás un vector con la siguiente "clave":


(manzanas, naranjas, peras)

justo en ese orden para después sumarlos, como ya sabes y así tener el inventario completo. Entonces abres la primera caja y ¡sorpresa! solo hay manzanas. Pero eres una persona de firme convicción y no das marcha atrás, haces tu vector de la primera caja y te queda asi:

Vectores con manzanas y otras frutas [3/4]

Es decir, la caja tenia tal numero de manzanas, nada de naranjas y nada de peras.
Al abrir la siguiente caja te das cuenta de que solo trae naranjas. ¡Y al abrir la siguiente caja ves que solo trae peras! ¡Tienes un proveedor muy problemático! En fin, terminas tus otros dos vectores y te quedan así:

vector

Ya tienes tres vectores. Tu plan original era sumarlos para tener el inventario así que lo haces, ya sabes, por componentes:

vectores

¡Felicidades! Acabas de presenciar una situación de combinación lineal. Te explico...

Nuestros primeros tres vectores tienen una característica especial entre si: son independientes. ¿Cómo es eso? O sea, de acuerdo a tu clave para construir vectores, no hay forma alguna obtener esos vectores a partir de otros. ¿Te acuerdas que de niño te enseñaron los números primos? Bien, así como los números primos son la base para construir todos los demás números, los vectores independientes son las bases para crear el resto de vectores que pueden caber en determinados espacios. En el momento en el que tu construyes un nuevo vector a partir de vectores independientes, estas haciendo la famosa combinación lineal. En este caso, tu sumaste tres vectores independientes y obtuviste uno nuevo llamado "inventario".

Hagamos otra combinación lineal con nuestros vectores independientes:

algebra lineal

¿Lo ves? Obtuvimos un "nuevoVector" a partir de nuestros vectores independientes. De manera similar podemos crear infinidad de vectores nuevos.

Lo importante aquí es que entiendas que la combinación lineal solo puede existir gracias a los vectores independientes. Hay formas de calcular vectores independientes, pero en este curso no lo necesitamos.

¿Entonces para que todo este lió? Resulta que una de las aplicaciones mas fuertes sobre vectores requieren de esta idea. Estoy hablando de trabajar cantidades en espacios conocidos por nosotros, ya sea un plano de dos dimensiones o nuestro espacio donde vivimos de tres dimensiones. Estas aplicaciones suelen representarse con una notación aparentemente nueva con respecto a vectores, sin embargo, no es más que lo que acabamos de hacer pero con letras en vez de frutas.

producto punto

Antes de continuar déjame presentarte a tres vectores muy famosos e importantes en matemáticas y varias ciencias mas: Los vectores canónicos

Los vectores canónicos son aquellos que se mueven paralelos a alguno de los ejes de referencia y tienen norma exactamente igual a 1 . A estos vectores también se les dice vectores unitarios. Te muestro los tres mas usuales y como se ven gráficamente:

producto cruz


calculadora


Vectores con manzanas y otras frutas [3/4]


¡Sí!¡Adivinaste! Estos vectores son independientes y son tan especiales que tienen su propio gorrito "^". A partir de estos tres, puedes construir el resto de vectores posibles en dos y tres dimensiones. Para demostrarlo, usemos el vector "a" del inicio de este post y comprobemos que no es otra cosa más que una combinación lineal de algunos de estos vectores independientes.

vector

Lo que hice fue lo que aprendimos en los dos post anteriores pero en reversa. Si empiezas desde la ultima linea y haces las operaciones entenderás el procedimiento.

Nota como nuestro vector original lo podemos construir a partir de nuestros vectores canónicos, usando algunas multiplicaciones y sumando entre sí. Esto es la combinación lineal.

Ahora, todo esto tiene un fin. ¿Te das cuenta que podemos sustituir nuestros vectores canónicos por sus letras con gorrito, en el ultimo resultado? Nos quedaría así:

vectores

Y esta es otra forma de escribir vectores. Fijate que solo tenemos vectores canónicos "i" y "j", esto significa que, aunque usamos tres componentes originalmente, en realidad siempre estuvimos en un espacio de dos dimensiones.

algebra lineal

Trabajemos por el momento solamente con dos dimensiones. En este caso nuestros vectores canónicos solo necesitan dos componentes, y nos quedan así:

producto punto

Ahora digamos que tenemos un vector "c" escrito en la nueva forma que acabamos de aprender:

producto cruz

Y queremos pasarlo a la forma "común" que ya conocíamos:

calculadora

Ahora es fácil ver que para pasar de una forma a otra solamente hace que poner los números que haya involucrado, respetando el "orden de las dimensiones":

Vectores con manzanas y otras frutas [3/4]

Un ejemplo de tres dimensiones quedaria asi:

vector

¿De que sirve esta notación?

Su uso es común en cálculos de cantidades físicas, es decir, lo que sucede en la naturaleza. En el próximo post veremos algunas aplicaciones de estas, pero de momento les adelanto un poco.

Imagina que en una mesa esta una naranja moviéndose sobre ella con cierta rapidez "V". Bien, aqui se puede ver la poderosa utilidad de los vectores. Para que puedas imaginarte exactamente como yo quiero este ejemplo, te falta un dato, pues jamas mencioné si la naranja se mueve hacia un lado o hacia otro.

vectores

Entonces lo correcto seria decir: Imagina una naranja moviéndose sobre una mesa en dirección "i" con cierta rapidez "V". Ahora si logré trasmitir mi concepto completo, pues ahora puedes estar seguro de que se trata de una naranja moviéndose hacia la derecha, de acuerdo a nuestras referencias acordadas (derecha positivo, izquierda negativo). Puedo escribir mi vector de tal movimiento de la siguiente manera:

algebra lineal

producto punto

Ahora digamos que de pronto la naranja empieza a ser abducida por un ovni y se mueve hacia arriba a la misma rapidez que antes. Entonces nuestro vector nos queda así:

producto cruz

calculadora

Vectores con manzanas y otras frutas [3/4]

Producto Cruz

Ya sabemos hacer dos tipos de productos: vector por escalar, que me hace el vector mas grande (o mas chico); y vector punto vector, que nos da un escalar. El tercer tipo de producto es el vector cruz vector, que da como resultado otro vector.

La idea es esta: El producto cruz de dos vectores nos arroja un nuevo vector. Este nuevo vector tiene la característica de ser perpendicular a mis dos vectores originales. Usemos peras y manzanas... y una mesa:

vector

Cómo ven, las dos frutas se encuentran sobre la mesa. De una esquina nacen dos flechas (vectores) que llegan hasta la posición de las frutas. Podríamos interpretar que esos dos vectores pertenecen a un espacio de dos dimensiones.

Ahora bien, si nosotros hacemos un producto cruz entre esos dos vectores obtendremos un nuevo vector que sera perpendicular a ambos vectores a la vez:

vectores

Para que eso suceda, el nuevo vector deberá "salirse del plano" , o sea, apuntara hacia arriba, afuera de la mesa en un espacio de tres dimensiones.

Sencillo ¿no? Para calcularlo solamente debemos seguir la siguiente regla:

algebra lineal

Hagamos nuestros vectores a y b del inicio de este post para ver como se aplica la regla:

producto punto

o lo que es lo mismo:

producto cruz


Por ultimo calculemos la norma del nuevo vector:

calculadora

Bien, ya solo debes saber que hay otra forma de obtener la norma de un vector que se obtiene mediante un producto cruz, y es muy parecido a algo que vimos el post pasado:

Vectores con manzanas y otras frutas [3/4]

Ya sabes, a usar la calculadora

vector


vectores

y el resultado es...

algebra lineal


FIN DE LA TERCERA PARTE


producto punto

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Fuentes de Información - Vectores con manzanas y otras frutas [3/4]

El contenido del post es de mi autoría, y/o, es un recopilación de distintas fuentes.

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4 comentarios - Vectores con manzanas y otras frutas [3/4]

@ozzylink +1
Venia por unos vectores (diseño gráfico) de manzanas y otras frutas, pero bien te dejo +10
@mladiciones +1
jajaja Gracias! Puedo darte los svg de mis ilustraciones
@ozzylink +1
@mladiciones claro cuando quieras.