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El arte y la geometría

Es mi primer post espero hacerlo bien...... Va con la mejor onda.

Al aprender arte o matemática por separado llega un momento en que es inevitable notar la increible relación entre ellas. Mi post quiere mostararles algo de este tipo de contacto entre la matemática y el Arte.

Vamos primero con los Fractales. Son basicamente figuras que se caracterizan por presentar una autosemejanza infinita. Que quiero decir? Que cada parte pequeña o parcial se parece al todo, y la complejidad de los detalles es, al menos en teoria, infinita.

La gran Wikipedia nos dice:
"Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

* Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
* Posee detalle a cualquier escala de observación.
* Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente)."

Los fractales tienen propiedades sumamente interesantes, aparte de la autosemejanza. Para ser figuras tan bellas es extraño que se produzcan por algoritmos recursivos sencillos (ello es llevar a cabo un paso muchas veces, en teoría infinitos). Veamos un ejemplo: La carpeta de Sierpinsky.
Su construccion es sencilla. Tomemos un cuadrado. Dividamoslo en nueve cuadrados iguales y eliminemos el cuadrado central. Quedan ocho cuadrados rodenado al "agujero central". Ahora tomamos cada ciuadrado que quedo y apliquemos el mismo procedimiento.
El procedimiento es mas o menos así:

El arte y la geometría

Finalmente la carpeta queda así:

Escher
Que propiedades tiene la carpeta?

Con ayuda del análisis matemático se demuestra que el area de la carpeta es CERO! Ello es si la carpeta la hicieramos en papel o tela no pesaría nada! Pero la suma de las longitudes de todos los lados es INFINITA!

Si hacemos esto con un cubo, tendremos la esponja de Menger:

fractal

La esponja tiene volumen nulo y la suma de las areas laterales es infinita.....

Otros fractales muy conocidos son:

El triángulo de Sierpinsky

klein

La curva o copo de Koch

julia

El Conjunto de Mandelbrot, padre de los fractales

Mandelbrot

Y los conjuntos de Julia

Figura imposible

Estos últimos dos se genran con computadora con recursiones de funciones de variable compleja (se acuerdan del munero i?, bueno con ese!)

Aca les dejo unos videos para que puedan ver la característica de la autosemejanza infinita:


link: http://www.youtube.com/watch?v=Afosk6o6NmE&


link: http://www.youtube.com/watch?v=foxD6ZQlnlU&

Veamos ahora otra idea interesante, las superficies no orientables. Bien todos tenemos la idea de que todo ha de tener un derecho y un reves, una parte interna y otra externa.... LAs superficies no orientables NO! No se les puede distinguir afuera de adentro.... Por eso se llaman no orientables.

La clásica es la Cinta de Möbius.

sierpinsky

De Wikipedia tenemos:

"La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:
* Tiene sólo una cara:

Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la "aparentemente" cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.
* Tiene sólo un borde:

Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida habiendo recorrido "ambos bordes", por tanto, sólo tiene un borde.
* Esta superficie no es orientable:

Una persona que se desliza «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.
* Otras propiedades:

Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, a diferencia de una cinta normal, no se obtienen dos bandas, sino una banda más larga pero con dos vueltas. Si a ésta banda se la vuelve a cortar a lo largo, se obtienen otras dos bandas entrelazadas pero con vueltas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas."

Prueben hacerla con papel y van aver que las propiedades son ciertas!

Mas sofisticadas sería la Botella de Klein

möbius

" En topología, una botella de Klein es una superficie no orientable cerrada que no tiene interior ni exterior. Una banda de Möbius es una superficie con borde, una botella de Klein no tiene borde. Tampoco lo tiene una esfera, aunque ésta sí es orientable.

La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático alemán Felix Klein. El nombre original del objeto no fue el de botella de Klein (en alemán Kleins Flasche), sino el de superficie de Klein (en alemán Kleins Fläche). El traductor de la primera referencia al objeto del alemán al inglés confundió las palabras. Como la apariencia de la representación tridimensional recuerda a una botella, casi nadie se dio cuenta del error."

Otra cosa interesante! Seccionando una botella de Klein en dos mitades a lo largo de su plano de simetría resultan dos bandas de Möbius, cada una imagen especular de la otra. Una de ellas es la imagen de la derecha. Recuerde que la intersección de la imagen no está realmente allí. De hecho, también es posible cortar la botella de Klein en una única banda de Möbius.

Por último queria compartir con ustedes taringueros, el arte de Maurits Cornelis Escher. Este artista holandes trabajo en arte de figuras imposibles (al nivel de construccion practica), teselados (Un teselado o teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos: 1. que no queden huecos 2. que no se superpongan las figuras) y mundos imaginarios.

Las figuras imposibles son dibujos de construcciones que no pueden llevarso a cabo en la realidad y no presentan una coherencia espacial dimensional.... Es decir nunca dejaran el papel!
Miren de que se trata!

no orientable

teselado

mundo imposible

El arte y la geometría

Escher

fractal

Los mundos imposibles...que decir mas que este genio no se dejo limitar por las trivialidades de la coherencia dimensional!

klein



julia


Mandelbrot


Figura imposible


sierpinsky



Naturalmente Don Escher conoció la cinta de Möbius:

möbius


Por último los teselados. La idea es sencilla. Tomamos una matris de triángulos, cuadrados, hexágonos.... Cortamoa partes de cada figura y las ponemos en otro de los lados. Repetimos. A pesar de ser una técnia sencilla los resultados son magníficos. Veamos algunos....

no orientable


teselado


mundo imposible

El arte y la geometría


Escher


fractalklein


juliaMandelbrot


Figura imposiblesierpinsky
möbius


no orientable



Bueno gente eso es todo!

Espero lo haya hecho bien, ojala les guste.

Comenten y si quieren dejen puntos!

teselado

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13 comentarios - El arte y la geometría

PYRP_PI
EXELENTE
A FAVORITOS
J_J_Z
esta muy bueno esto man , espero q no sea repost ... despues te dejo unos puntines
Ckaro99
ya habia visto los imposibles en la facu... lo agrego a favoritos por las dudas algun dia me sirven
Soldadodemarfil
Muy bueno el post Sol Negro!!! jaja que raro vos con esa foto como avatar!
norse_monster
Una maravilla como se fusiona el arte y la matemática...