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Fractales

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Fractales

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

La definición de fractal en los años 1970, dio unidad a una serie de ejemplos, algunos de los cuales se remontaban a un siglo atrás. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
Es autosimilar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.
Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño. Ejemplos de autosimilaridad:
Fractales naturales, son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencían de los fractales matemáticos porque los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimiliralidad se extiende sólo a un rango de escalas (por ejemplo a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica).
Conjunto de Mandelbrot, es un fractal autosimilar, generado por el conjunto de puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no lineal.
Paisajes fractales, este tipo de fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.
Fractales de pinturas.-Se utilizan para realizar el proceso de decalcomania.
Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
No basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras3 o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.



Fractales en la Naturaleza:

Mandelbrot comienza la introducción de su libro “Geometría fractal en la naturaleza” (1982) de la siguiente forma: “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, los litorales no son circulares, y los ladridos no son suaves, lo mismo que los relámpagos no viajan en línea recta.” (Mandelbrot, The fractal geometry of nature, 1982).

Las características de las formas fractales vienen dadas por su propio proceso de creación y las podemos encontrar en diferentes aspectos de la naturaleza, como por ejemplo, en el terreno y en la geología. En 1967 Mandelbrot publicó un artículo en la revista Science titulado “¿Cuánto mide la costa de Inglaterra? Auto-similitud estadística y dimensión fraccioaria” (Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension, 1967). En este artículo explica la “paradoja de la costa”. Esta se basa en que la longitud de la costa de Inglaterra varía dependiendo de la longitud de la escala que se utilice para medirla. Esto se debe a que la línea de la costa es un tipo de fractal generado por la erosión y la composición de la roca. Esto crea multitud de entrantes, salientes que forman en su conjunto curvas con propiedades fractales.

A su vez, las montañas también tienen geometría fractal, esta vez ocasionada por la erosión de la lluvia, el viento, la fractura de las rocas por los cambios de temperatura y las presiones y movimientos sísmicos que crean la cordillera rocosa en la que se ubica la montaña. Estos paisajes pueden incluso parametrizarse y generarse de forma virtual con programas informáticos de imagen digital, utilizando la autosimilitud y algoritmos recursivos.

Las desembocaduras de algunos ríos también presentan este tipo de geometría, originada por la ramificación de los diferentes caudales. En estos casos, como puede suceder también en las ramificaciones de los árboles o los rayos, no existe una autosimilitud exacta, sino una cuasi-similitud o una autosimilitud estadística.

La causa de que estos fenómenos tan distintos en principio tengan todos propiedades fractales se debe a que comparten el mismo proceso de formación, denominado agregación con difusión limitada o crecimiento fractal (Sander, 1987). Este tipo de crecimiento define la forma en la que se crean los perfiles de las costas, la propagación de los rayos o el crecimiento de los vasos sanguíneos de nuestro cuerpo (Ary L. Goldberger, 1990).

Desde el epicentro natural de la geometría sagrada, patrones fractales se desdoblan como parte de un discurso que evoca la omnipresencia de un dios estético.


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A lo largo de la historia humana, dentro de diversas culturas alrededor del mundo, una de las principales características atribuidas a la divinidad es la estética. Con la geometría, el ritmo y la cromática como tres de los recursos predilectos de este discurso divino, la naturaleza alcanza la más espectacular y al mismo tiempo la más discreta manifestación divina como una hiperestética paradoja.

Un fractal es un patrón geométrico que se autorreplica, infinitamente, a escalas menores, para producir formas y superficies irregulares que escapan de los dominios de la geometría clásica. Al igual que en la naturaleza holográfica, cada porción de un fractal, por más pequeña que ésta sea, proyecta la figura completa a una escala más pequeña.

El brillante matemático francés Benoit Mandelbrot, que descubrió la matemática fractal en la década de los setenta, afirma que un fractal no puede ser tratado, desde un punto de vista matemático, como un objeto que se manifiesta dentro de un número especifico de dimensiones. La naturaleza de estas “entidades” radica principalmente en dos variables: la irregularidad al nivel de la forma y el patrón a nivel del ritmo. Mientras que su característica intrínseca es el desdoblamiento autosemejante.

Desde un punto de vista un tanto más poético, el fractal podría representarse imaginando un escenario en el que el alma de la geometría se contempla así misma frente a un espejo y, tras percibirse como un dios creador, consuma su conciencia frente a una algorítmica y omnipresente vacuidad.
Y a pesar de que los fractales se han convertido en uno de los recursos más populares en la generación de gráficos por computadora (CGI), la versión más pura y refinada de estas figuras, como suele suceder en muchos otros rubros cuando se trata de estética, habita en la siempre perfecta naturaleza (Dios, quienquiera que sea, tiene buen gusto):


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En las cataratas ocurre un fenómeno en el que la irregularidad producida por el terreno, en combinación con la gravedad, genera patrones fractales durante la caída del agua.

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El Río Yukon, en Alaska, se fragmenta en miles de canales de distribución en su trayecto hacia el Mar de Bering, formando una arteria fractal que puede apreciarse desde las alturas cenitales.

Geometria

Muchas plantas siguen simples fórmulas recursivas en los patrones dibujados por las venas de sus hojas y en la generación de sus ramas

Fractales

Los trazos generados por el paso del Río Colorado a lo largo de millones de años ha dotado al Gran Cañón con un sublime diseño fractal.

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Uno de los íconos de la cultura pop fractal, el brocolí Romanesco, manifiesta un exquisito diseño fractal representando el espiral dorado, la proporción áurea pitagórica contenida también en los números de Fibonacci: una estructura fractalizada en la que cada porción nace de la anterior y gesta la siguiente, originada por el factor π.

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Esta imagen satelital nos muestra un grupo de los llamados “vórtex de nubes”, patrones sublimes formados por la perfección de un azar caprichoso: presión atmosférica, viento, densidad y humedad.

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Los helechos son uno de los ejemplos más comunes de secuencias autoreplicantes, en las cuales el patrón que develan puede ser matemáticamente generado y reproducido en cualquier magnificación o reducción de su escala.

Geometria

Como si se tratara de las arterias de un violento pero lumínico dios, los relámpagos acceden espontáneamente a un algorítmico fractal en cuestión de instantes para luego disolverse.

Fractales

El agua cristalizada forma patrones repetitivos que hanoriginado las primeras curvas fractalizadas de las que se tiene noticia. Estos patrones inspiraron la hipótesis de cómo el poder de nuestra conciencia influye en la materia con experimentos como el del Dr. Emoto.

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La hipnótica hermosura que envuelve al pavo real en su plumaje también manifiesta una naturaleza fractal que ayuda a los machos de esta especie a seducir a las hembras a través de la perfección estética de un discurso que oscila entre lo onírico y lo algorítmico.

Fractales en los seres vivos:

Entre los seres vivos también podemos encontrar ejemplos sorprendentes de geometría fractal. Uno de los más llamativos es el Brocoli Romescu, que presenta una geometría fractal con una autosimilitud prácticamente perfecta. También el brócoli común presenta ramificación fractal, aunque la autosimilitud en este caso no sea tan exacta.

Uno de los ejemplos más clásicos de geometría fractal en la naturaleza proviene de una de las primeras plantas de nuestro planeta: los helechos. Estos presentan una autosimilitud casi perfecta entre sus ramificaciones. La razón de la aparición de este tipo de formas fractales en los organismos vivos se debe, al igual que en el caso de las costas y las montañas, a que se utiliza un método de creación simple y repetitivo para generar formas complejas.

Las ramificaciones son uno de los diseños biológicos más abundantes debido a su sencillez y su eficiencia a la hora de cubrir una superficie o volumen, una de las propiedades que las ramificaciones comparten con el resto de las fractales al ser una “curva monstruo” de iteraciones limitadas. El código genético de la planta le da la misma orden a una rama principal que a una secundaria: crece y bifúrcate creando una réplica de ti misma en cada ramificación. De esta forma, podemos encontrar ramificaciones con formas fractales tanto en helechos como en árboles, en las hojas de los mismos e incluso en nuestro propio sistema nervioso, cardiovascular o en los alveolos de nuestros pulmones.


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Geometria

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En el caso de las plantas, este diseño les permite maximizar la superficie y de esta forma captar la mayor luz, CO2 y oxígeno posible. En el caso del sistema nervioso o las venas y arterias de nuestro cuerpo, nos permite cubrir y alimentar el máximo número de células y asegura que la presión sanguínea por cm2 en cada una de las ramificaciones es la misma al existir auto-similitud y por su proceso de formación fractal, al igual que la forma fractal de nuestros bronquios y alveolos pulmonares nos permite maximizar el intercambio de CO2 y oxígeno en cada inspiración. Para hacernos una idea del nivel de bifurcaciones y el gran aprovechamiento del espacio que se consigue dentro de los pulmones con este diseño fractal basta saber que la dimensión fractal de la superficie del interior de los pulmones, medida a partir de vaciados de pulmones humanos y otras especies, es de 2,7, cuando un plano euclídeo tradicional tiene dimensión 2.

Pero no sólo las formas de nuestros cuerpos son fractales, sino que si estudiamos las funciones corporales también encontraremos patrones fractales en ellas, e incluso esta característica fractal puede ser signo de salud en contraposición a patrones cíclicos periódicos (Ary L. Goldberger, 1990). Desde hace mucho tiempo la medicina tradicional ha considerado que un ritmo cardiaco regular era signo de salud y cuando un cuerpo envejecía los ritmos caóticos y erráticos aparecían como signo de enfermedad. Sin embargo, estudios recientes han demostrado que el ritmo cardiaco a lo largo del tiempo presenta una forma fractal y que en principio parece caótica, y por el contrario, los patrones repetitivos y periódicos son signo de enfermedad. Esto se debe a que un corazón sano es capaz de cambiar su ritmo cardiaco para compensar las necesidades del organismo, transmitidas por los sistemas simpático y parasimpático, creando estas oscilaciones caóticas. Un corazón enfermo no es capaz de adaptarse y cubrir las necesidades del organismo, y presenta una pauta regular, que termina por degenerar los tejidos y produciendo un fallo en el sistema.

También se han asociado las estructuras fractales de los sistemas fisiológicos tanto de distribución (sistema sanguíneo, linfático), como de recolección (digestivo, pulmonar) y de procesamiento de la información (neuronas y sistema nervioso) con la resistencia a lesiones y fallos parciales, debido a su auto-similaridad y a la redundancia de estructuras (Ary L. Goldberger, 1990). Esto hace que puedan seguir funcionando en caso de sufrir enfermedades, traumas o el deterioro causado por el estrés y el envejecimiento, permitiendo que las zonas sanas puedan suplir las funciones de las dañadas.
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Musica Fractal:

La música clásica contiene formas fractales en su interior. La música clásica de Beethoven es un ejemplo muy representativo.
Pero también existe poesía fractal e incluso formas de escritura fractal que ponen de manifiesto la relación que existe entre la realidad y las matemáticas
Beethoven, junto con Bach y Mozart pasaron a la historia como grandes compositores de obras clásicas de increíble majestuosidad y belleza. Pero lo que reveló hace años el estudio de los fractales es que también están integrados en obras clásicas.

El método que siguieron estos compositores, ya sea de manera intencionada o no, para integrar fractales y matemáticas era mediante una analogía entre una dimensión fractal y el número y la disposición de las diferentes notas de una obra o pieza.

A continuación hay un completo análisis de la pieza “Primera Escossaien” de Beethoven donde se demuestra que existe una estructura fractal interna en la obra.


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Como la imagen muestra la pieza esta formada por un total de 32 unidades o compases que se dividen en 2 secciones de 16 unidades cada una. A: de la 1 a la 16; B: de la 17 a la 32. A su vez se dividen en 2 períodos. Periodo A: 1 y 2; periodo B: 3 y 4, que se fraccionan en 2 partes: a y a' compuestas por 4 unidades (1, 2, 3, 4) agrupadas cada una de a 2 (1 y 2). En conjunto pues la obra se divide en 32 --> 16 --> 8 --> 4 --> 2, una sucesión binaria que goza de autosimilitud propia de una estructura fractal.
Pero la unión música-fractal no queda ahí. Actualmente algunos sintetizadores son usados para crear música techno con bases fractales. También hay autores que están experimentando con este tipo de música que promete. Richard F. Voss – físico estadounidense – conjetura que existe una filiación entre la manera en que nuestro sistema sensorial envía la información al sistema nervioso y las dimensiones fractales de manera que la música con estructura fractal es grata al oído humano.











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3 comentarios - Fractales

@Krixus81
muy buena informacion pero el texto esta un poco chillante solo hay que mejorar eso