SECCIONES CONICAS.


Cuando un plano corta a un cono circular recto de dos mantos, la sección que resulta de dicho corte determina ciertas curvas llamadas CONICAS.

-Si el plano que corta no pasa por el vértice del cono, la sección que resulta es una elipse (o una circunferencia), una parábola o una hipérbola y reciben el nombre de cónicas regulares.

Conicas (Geometria)


-si el plano que corta pasa por el vértice del cono, la sección resultante puede consistir en un punto, dos rectas que cortan, dos rectas que coinciden o una curva imaginaria y reciben el nombre de cónicas degeneradas.

matematicas



ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO (En Dos Variables)


Una ecuación algebraica de la forma Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 se llama Ecuación General de Segundo Grado donde los coeficientes A, B y C no sean simultáneamente cero. Esta ecuación toma generalmente como la definición analítica de CONICA.


CRITERIOS PARA IDENTIFICAR A LA CONICA QUE REPRESENTA UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO


a) Si en la ecuación general de segundo grado, el coeficiente B = 0 la ecuación resultante Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 representa un lugar geométrico que siempre es una cónica (si no degenerada):

- Si A=0 o C=0 será una parábola.

-Si A y C tienen el mismo signo será una elipse

-Si A=C será una circunferencia

-Si A y C son de signos contrarios será una hipérbola

-D y E indican que el centro de la cónica (cuando lo hay), esta fuera del origen de coordenadas, si D00 el centro esta sobre el eje y, si E=0 esta sobre el ese x.

-F (termino independiente) indica que la cónica no pasa por el origen, si F=0 si pasa por el origen

-Los ejes de esta cónica será paralélelos a los ejes coordenados x, y.


b) En la ecuación general de segundo grado Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, los coeficientes de los términos de segundo grado A, B y C nos permite identificar que tipo de cónica se tiene (también en el caso degenerado) procediendo a analizar el discriminante (o variables) B^2 – 4AC como sigue:

-Si B^2 – 4AC = 0, se trata de una parábola (o como caso degenerado de un par de rectas paralelas o coincidentes).

-Si B^2 – 4AC < 0, se trata de una elipse (o como caso degenerado un punto).

-Si B^2 – 4AC > 0, se trata de una hipérbola (o como caso degenerado un par de rectas que se cortan).

-De la misma manera que en el inciso a), los coeficientes D y E indican que el centro de la curva (si lo hay) esta fuera del origen, si D = 0 el centro esta sobre el eje y, si E = 0 estará sobre el eje x.

-El termino independiente F indica que la curva no pasa por el origen, si F = 0 la curva si pasa por el origen.

-Los ejes de estas cónicas son oblicuos respecto al eje x, y.


EJEMPLOS:


Determinar la cónica que representa cada ecuación:

1.- 3x^2 + 5y^2 +4 x - 15y + 9 = 0
Solución:

Como en la ecuación dada no se tiene el término en (xy), osera que B=0, se aplica el criterio del inciso a):

-Como A=3 y C=5 (son del mismo signo), la cónica es una ELIPSE.

-Sus ejes son paralelos a los ejes coordenados x, y.

-Los coeficientes D=4 y E=-15 indican que el centro de la elipse se localiza fuera del origen de coordenadas x, y.

-El termino independiente F=9 indica que la elipse no pasa por el origen.


2. - 21x^2 – 13 y^2 - 7x – 8y + 123 = 0
Solution:

-Como B=0, A=21 y C=13 (son de signos contrarios) la cónica representa una HIPERBOLA.

-Sus ejes son paralelos a los ejes coordenados x, y.

-Como D=-7 y E=-8 indican que la hipérbola no pasa por el origen.


3.- 3x^2 + 3y^2 – 21x -14y – 114 = 0
Solución:

-Como B=0, A=C=2 (son iguales), la cónica representa una CIRCUNFERENCIA.

- D=-21 y E=-14 indica que el centro de la circunferencia se localiza fuera del origen de coordenadas x, y.

-El termino independiente F=-114 indica que la circunferencia no pasa por el origen.


4.- 2y^2 – x – 12 y + 7 = 0
Solución:

-Como B=0, A=0 y C=2 esto indica que la cónica es una PARABOLA.

-Su eje es paralelo al ese de las x.

-Como D=-1 y E=-12, el vértice de la parábola se localiza fuera del origen de coordenadas x, y.

- El termino independiente F=7 indica que la parábola no pasa por el origen.


5.- 2x^2 – xy + y^2 –x +3y -2 = 0
Solución:

-Como la ecuación dada si contiene el término (xy), o sea que B=-1, se aplica el criterio del inciso b):

-Analizando el discriminante B^2 – 4AC = (-1) ^2 – 4(2) (1) =-7 como es negativo, esto indica que la cónica es una ELIPSE.

-Los ejes de la elipse están rotados a un Angulo α respecto de los ejes coordenados x, y.

-Los coeficientes D=-1 y E=3 indican que el centro de la elipse se localiza fuera del origen de coordenadas.

-El termino independiente F=-2 indica que la elipse no pasa por el origen.


6.- 4x^2 + 3xy – 4y^2 – 12x – 18y + 4 = 0
Solución:

-Como B=3, B^2 – 4AC = (3) ^2 – 4(4) (-4)=73 como es positivo, la cónica es una HIPERBOLA.

-Sus ejes están rotados a un Angulo α respecto de los ejes x, y.

-Los términos D=-12 y E=-18 indican que el centro de la hipérbola se localiza fuera del origen de coordenadas.

-El termino independiente F=4 indica que la hipérbola no pasa por el origen.


7.- x^2 – 2xy + y^2 +4x-y = 0
Solución:

-Como B=-2, B^2 – 4AC = (-2) ^2 – 4(1) (1)= 0, esto indica que la cónica es una PARABOLA.

-EL eje de la parábola tiene una rotación de un ángulo α respecto a los ejes x, y.

- Una parábola no tiene centro y como el termino independiente F=0, la parábola pasa por el origen de coordenadas x, y.



EXCENTRICIDAD


Otra forma que se puede emplear para identificar el tipo de cónica que se tiene es aplicando el concepto de excentricidad, el cual podemos definir como “El lugar geométrico de un punto P(x, y) que se mueve de manera que la relación de la distancia de P a un punto fijo F llamado foco y la distancia del mismo punto P a una recta fija l llamada directriz, es una constante no negativa “e” llamada EXCENTRICIDAD de la cónica”.

puntos


Si tomamos al eje “y” como directriz y al foco sobre el eje “x” como se muestra en la figura, aplicamos la definición anterior: PF / PA =e
Expresándola analíticamente, haciendo operaciones y simplificando, se tiene:

Geometria


Se conoce a la ecuación (1) como la ecuación general de las cónicas en función de la excentricidad en donde:

-Si e=0, la ecuación resulta x^2 + y^2 -2px + p^2 = 0 que representa una CIRCUNFERENCIA.

- Si e=1, la ecuación resulta y^2 – 2px + p^2 = 0 que representa una PARABOLA.

- si e<1, e^2 <1, (1 – e^2)>0 y haciendo q=1- e^2 la ecuación resulta qx^2 y y^2 – 2px +p^2 = 0 que representa una ELIPSE.

- si e>1, e^2 >1, (1 – e^2) <0 y haciendo –q=1 – e^2 la ecuación resulta –qx^2 + y^2 – 2px + p^2 = 0 que representa una HIPERBOLA.



EJEMPLOS:


circulo


elipse


recta

Conicas (Geometria)




TRASLACION Y ROTACION DE EJES



Algunas veces la ecuación de una cónica se puede escribir de una manera mas simple mediante una traslación y/o una rotación de ejes, que por ciertas razones sea mas conveniente para el problema que se esté resolviendo, donde un punto P arbitrario tenga diferentes coordenadas en diferentes sistemas coordenados.

-Con una traslación de los ejes originales, se consigue que el centro de una curva se ubique en el origen de nuevos ejes.

-Una rotación se aplica cuando la curva es oblicua respecto a los ejes originales, logrando que sea paralela respecto a los nuevos ejes, (generalmente una ecuación de segundo grado en dos variables con términos en (xy) es oblicua).

-Algunas veces es necesario con las cónicas, efectuar una traslación de ejes y también una rotación para presentar mas simplificada su ecuación dependiendo del problema que se resuelve.


TRASLACION:

El proceso de traslación de un par de ejes a otro par de ejes y también una transformación de coordenadas en donde tanto los ejes originales como los nuevos son paralelos y sin alterar la unidad de medida. La siguiente figura nos proporciona ayuda para encontrar las formulas de transformación:

matematicas

-Las coordenadas del nuevo origen referidas al sistema original son O’ (h, k)-

-P(x, y) en el sistema original, P’ (x’, y’) en el nuevo sistema.

De la figura fácilmente se observa que:

x=x’ + h

y=y’ + k

Estas son las formulas de transformación, donde al sustituir x’ + h en x, y’ + k en y en la ecuación de una curva que se este referida a los ejes originales x, y; esto da por resultado una ecuación de la misma curva referida a los nuevos ejes x’, y’; trasladados.

EJEMPLOS :

puntos

Geometria

circulo

elipse

recta


ROTACION:
Algunas veces también surge la necesidad de cambiar el sistema original rotándolo a un ángulo α para obtener un nuevo sistema, que pueda permitir escribir una ecuación en una forma mas simple, en donde un punto arbitrario P tenga diferentes coordenadas en los diferentes sistemas coordenados. Con la siguiente figura nos apoyaremos para mostrar como podemos lograr una rotación de ejes:

Conicas (Geometria)


Si x = rcosθ y θ=θ’ + α, entonces x = rcos(θ’ + α) y por trigonometría se tiene que:

X= r(cos θ’ cos α - sen θ’ sen α) = rcos θ’cos α - rsen θ’sen α

donde x’=rcos θ’ y y’= rsen θ’

entonces:

x=x’ rcos α – y’ rsen α …….(1)

Si y= rsen θ y θ= θ’ + α entonces y=rsen(θ’ +α) y por trigonometría:

y=r(cos θ’sen α + sen θ’cos α)

=rcos θ’sen α + rsen θ’cos α

Y = x’sen α + y’cos α …….(2)

Al sustituir las expresiones (1) y (2) en la ecuación general de segundo grado Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 y después de hacer operaciones y simplificaciones se obtiene la ecuación:

A’x’^2 + B’x’y’ + C’y’^2 + D’x’ + E’y’ + F’ = 0

En donde:

A’=A cos^2 α + Bsen α + Csen^2 α

B’=B cos (2α) – (A – C) sen (2α)

C’=Asen^2 α - Bsen α cos α + Ccos^2 α

D’= Dcos α + E sen α

E’ = Ecos α - Dsen α

F’=F



Como parte fundamental de la simplificación de la ecuación general es desaparecer el término “Bxy”, esto se logra si el coeficiente B’=B cos(2α) – (A – C)sen(2α)^es igual a cero, o sea que:

B’=B cos(2α) – (A – C)sen(2α) = 0 ..(i) en donde

B cos (2α) = (A – C) sen (2α)

B/ (A – C) = Sen (2 α) / cos (2 α)

Se obtiene la expresión Tan(2 α) = B/(A – C) ; donde A diferente de C, que permite conocer el ángulo de rotación α de los ejes x, y.

Si en la expresión (i) A=C se obtiene Bcos (2 α)=0, la cual tendrá solución cuando α=45° ya que cos(90)=0

EJEMPLOS:

matematicas

puntos

Geometria

circulo

elipse












Gracias por visitar mi post!!

Espero y les sirva!!..