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Aquiles y la Tortuga - Solución Matemática a la paradoja

Aquiles y la tortuga

Aquiles y la tortuga es, quizás, la más conocidas de las paradojas de Zenón. El filósofo argumentaba que, en una hipotética carrera entre Aquiles (el guerrero que mató a Héctor) y una tortuga, si esta tenía última una ventaja inicial, el humano siempre perdería. Zenón “demostraba” que, a pesar de que el guerrero corre mucho más rápido que la tortuga, nunca podría alcanzarla. Imaginemos que la distancia a cubrir en la carrera son cien metros, y que la tortuga tiene cincuenta metros de ventaja. Al darse la orden de salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia (cincuenta metros) que los separaba inicialmente. Pero, al llegar allí, descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, mucho más lentamente, diez o veinte centímetros. Lejos de desanimarse, el guerrero sigue corriendo. Pero, al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. Zenón sostiene que esta situación se repite indefinidamente, y que Aquiles jamás logrará alcanzar a la tortuga, que finalmente ganará la carrera.

Es bastante obvio que esto no es así, y es muy fácil comprobar en la práctica que dicho razonamiento es erróneo. Sin embargo, no es tan fácil encontrar donde está el fallo, y hubo que esperar hasta mediados del siglo XVII para que el matemático escocés James Gregory demostrara matemáticamente que una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son infinitos, pero cada vez más y más pequeños. La suma de todos estos tiempos, a pesar de su infinito número, da como resultado un lapso de tiempo finito, que es el momento en que Aquiles alcanzará a la tortuga.

Analisis y solución matemática

El razonamiento en este caso viene a decir que si Aquiles le da a la tortuga algo de ventaja, en una carrera, nunca podrá alcanzarla, y que siempre tendrá que empezar por llegar al sitio de donde la tortuga acaba de partir, y por tanto siempre estará ésta por delante.

Para fijar ideas, supongamos que Aquiles le da a la tortuga 100 metros de ventaja, y que las velocidades de Aquiles y la tortuga son de 10 metros por segundo y 1 metro por segundo respectivamente.

Por lo tanto Aquiles tarda 10 segundos en recorrer los primeros 100 metros. Mientras tanto, la tortuga se ha adelantado otros 10 metros.

Aquiles tarda un segundo en recorrer esa distancia, y mientras tanto la tortuga a avanzado 1 metro más.

Aquiles recorre esa distancia en un 1/10 segundo, pero la tortuga estará todavía 1/10 metro por delante y así sucesivamente.

Por lo tanto el número de segundos que transcurren hasta que Aquiles alcanza la tortuga, es la suma de la serie infinita.


10+1+1/10+1/100+1/1000+⋯


Los que recuerden las formulas de las progresiones geométricas, no tardarán más que un momento en ver que ésta suma no es infinita sino 11 1/9 segundos.




Es claro que en la experiencia real Aquiles si alcanzaría a la tortuga en un cierto periodo de tiempo...

En el texto original de Zenón de Elea relató que Aquiles recorrería la mitad de la mitad y de pues la mitad de la mitad y así infinitamente. Este texto fue sujetado durante cinco siglos, hasta que decidieron los filósofos y pensadores de la época después de un estudio muy prolongado que la paradoja estaba mal redactada, porque lo que dijo Zenón de Elea, la mitad de la mitad y después la mitad de la mitad así infinitamente, era porque Zenón de Elea no entendía bien el concepto de infinito, y tergiversaron el texto y en consecuencia de ello nadie comprendía porque gana la tortuga con argumentos lógicos.




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4 comentarios - Aquiles y la Tortuga - Solución Matemática a la paradoja

@PresidenteRoca +2
Muy bueno, yo pensaba que esta parábola se refutaba con los conceptos de límite y diferencial, pero la demostración de la que hablas está mas breve e interesante.
@gavilancito1607
para los que no se acuerdan de la fórmula; la serie dada es geométrica de razón r=1/10 y término inicial a=10.

Aquiles y la Tortuga - Solución Matemática a la paradoja


Como la razón r=1/10 está en el intervalo (-1,1), entonces converge al valor S=a/(1-r), o sea:

aquiles y la tortuga
@mmana -2
eso se aplica a la finiquitud del universo tambien me parece, nada es infinito en definitiva
@fuentepi
por favor dime que no dijiste eso