El álgebra es la rama de la matemática que estudia estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.
HISTORIA
El álgebra (una de las ramas más importantes de las matemáticas) tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el Teorema de Pitágoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofanto. Arquímedes se basó en la matemática para componer su tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofanto de Alejandría fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento; como principales trabajos tenemos el análisis diofántico y la obra Aritmética, que recopila todo el conocimiento del álgebra existente hasta entonces.
Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los grupos matemáticos y sus extensiones, y parte de la geometría, la rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas elipse, parábola, hipérbola, círculo, ahora incluidas en el álgebra bilineal.
El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de la matemática como la lógica (álgebra de Boole), el análisis matemático y la topología (álgebra topológica).
Las etapas del desarrollo del álgebra simbólica vagamente son:
Álgebra retórica, que fue desarrollada por los babilónicos siguió dominante hasta el siglo XVI
Álgebra constructiva geométrica, que fue acentuada por los matemáticos griegos indios y clásicos de Vedic;
Álgebra sincopada, según lo desarrollado por Diofanto y el manuscrito de Bakhshali; y
Álgebra simbólica, que se considera su culminación con el trabajo de Leibniz.
Línea de tiempo de los aportes más importantes al álgebra:
Alrededor de 1800 adC: La tablilla de Strassburg de la Antigua Babilonia busca la solución de una ecuación elíptica cuadrática.
Alrededor de 1600 adC: La tablilla Plimpton 322 da una tabla de ternas pitagóricas en escritura cuneiforme babilónica.
Alrededor de 800 adC: El matemático hindú Baudhayana, en su Baudhayana Shulba Sutras, descubre ternas pitagóricas en forma algebraica, encuentra las soluciones geométricas de ecuaciones lineares y de ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 = c y ax2 + bx = c, y encuentra dos sistemas de soluciones integrales positivas a un sistema de ecuaciones diofánticas simultáneas.
Alrededor de 600 adC: El matemático hindú Apastamba, en su Apastamba Shulba Sutras, soluciona la ecuación linear general y utiliza las ecuaciones diofánticas simultáneas con hasta cinco incógnitas.
Alrededor de 300 adC: En el libro II de sus elementos, Euclides da una construcción geométrica con las herramientas euclidianas para la solución de la ecuación cuadrática para las raíces reales positivas. La construcción es debido a la escuela pitagórica de la geometría.
Alrededor de 300 adC: Se busca una construcción geométrica para la solución del cúbico (doblando el problema del cubo). Es bien sabido ahora que el cúbico general no tiene ninguna tal solución usando las herramientas euclidianas.
Alrededor de 100 adC: Las ecuaciones algebraicas se tratan en el suanshu chino de Jiuzhang del libro de las matemáticas (los nueve capítulos en el arte matemático), que contiene las soluciones de las ecuaciones lineares solucionadas usando el método de la regla falsa, las soluciones geométricas de ecuaciones cuadráticas, y las soluciones de las matrices equivalentes al método moderno, para solucionar los sistemas de ecuaciones lineares simultáneas.
Alrededor de 100 adC: El manuscrito de Bakhshali escrito en la India antigua utiliza una forma de notación algebraica usando las letras del alfabeto y otras muestras, y contiene ecuaciones cúbicas y de grado cuarto, las soluciones algebraicas de ecuaciones lineales con hasta cinco incógnitas, la fórmula algebraica general para la ecuación cuadrática, y las soluciones de ecuaciones cuadráticas indeterminadas y de ecuaciones simultáneas.
Alrededor de 150: Héroe egipcio del matemático de Hellenized de Alexandría, ecuaciones algebraicas de los convites en tres volúmenes de matemáticas.
Alrededor de 200: El matemático babilónico Diofanto, que vivió en Egipto y a menudo se considera el "padre del álgebra", escribe su famosa Aritmética, un trabajo que ofrece las soluciones de ecuaciones algebraicas y la teoría de números.
499: El matemático indio Aryabhata, en su tratado Aryabhatiya, obtiene soluciones del número entero a las ecuaciones lineares por un método equivalente el moderno, describe la solución integral general de la ecuación linear indeterminada y da las soluciones integrales de ecuaciones lineares indeterminadas simultáneas.
Alrededor de 625: El matemático chino Wang Xiaotong encuentra las soluciones numéricas de ecuaciones cúbicas.
628: El matemático indio Brahmagupta, en sus esputos Siddhanta de Brahma del tratado, inventa el método del chakravala de solucionar ecuaciones cuadráticas indeterminadas, incluyendo la ecuación de Pell, y da las reglas para solucionar ecuaciones lineares y cuadráticas.
820: El álgebra de la palabra se deriva de las operaciones descritas en el tratado escrito por el wa-l-Muqabala titulado al-Ḵwārizmī persa del al-Jabr del al-Kitab de Mūsā del ibn de Muḥammad del matemático (significado "el libro compendioso en el cálculo Completion y balanceando" en la solución sistemática de ecuaciones lineares y cuadráticas. El al-Khwarizmi se considera a menudo como el "padre del álgebra", mucho que de trabajos sobre la reducción fue incluido en el libro y agregado a muchos métodos que ahora tenemos en álgebra.
Alrededor de 850: El al-Mahani persa del matemático concibió la idea de reducir problemas geométricos tales como duplicar el cubo a los problemas en álgebra.
Alrededor de 850: El matemático indio Mahavira soluciona varias ecuaciones cuadráticas, cúbicas, de grado cuatro, de grado quinto y de órdenes superiores, así como ecuaciones cuadráticas, cúbicas y de orden superior indeterminadas.
Alrededor de 990: El matemático persa Abu Bakr Al-Karaji, en su tratado al-Fakhri, desarrolla más profundamente el álgebra, extendiendo la metodología de al-Khwarizmi para incorporar potencias integrales y raíces integrales de cantidades desconocidas. Sustituye operaciones geométricas del álgebra por operaciones aritméticas modernas y define los monomios x, x2, x3, ... y 1/x, 1/x2, 1/x3, ... y da las reglas para los productos de cualesquiera dos de éstos.
Alrededor de 1050: El matemático chino Jia Xian encuentra las soluciones numéricas de ecuaciones polinómicas.
1072: El matemático persa Omar Khayyam desarrolla la geometría algebraica y, en el Tratado sobre la demostración de problemas del Álgebra, da una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con las soluciones geométricas generales encontradas mediante la intersección de secciones cónicas.
1114: El matemático indio Bhaskara, en su Bijaganita (álgebra), reconoce que un número positivo tiene una raíz cuadrada positiva y negativa, y soluciona varias ecuaciones polinómicas cúbicas, de cuarto orden y de órdenes superiores, así como la ecuación indeterminada cuadrática general.
1202: Se introduce el álgebra en Europa, en gran parte a través del trabajo de Leonardo Fibonacci de Pisa en su trabajo Liber Abaci.
Alrededor de 1300: El matemático chino Zhu Shijie se ocupa de álgebra polinómica, soluciona ecuaciones cuadráticas, ecuaciones simultáneas y ecuaciones con hasta cuatro incógnitas, y soluciona numéricamente algunas ecuaciones polinómicas de cuarto grado, quinto grado y órdenes superiores.
Alrededor de 1400: El matemático indio Madhava de Sangamagramma encuentra los métodos iterativos para la solución aproximada de ecuaciones no lineares.
1535: Nicolo Fontana Tartaglia y otros los matemáticos en Italia solucionó independientemente la ecuación cúbica general.
1545: Girolamo Cardano publica el Ars Magna: que da la solución de Fontana a la ecuación general de grado cuatro.
1572: Rafael Bombelli reconoce las raíces complejas del cúbico y mejora la notación actual.
1591: Francois Viete desarrolla la notación simbólica mejorada para las varias energías de una incógnita y utiliza las vocales para las incógnitas y las consonantes para las constantes adentro en isagoge del analyticam del artem.
1631: Thomas Harriot en una publicación del posthumus utiliza la notación exponencial y es el primer para utilizar símbolos para indicar "menos que" y "mayor que".
1682: Gottfried Wilhelm Leibniz desarrolla su noción de la manipulación simbólica con las reglas formales que él llama los generalis del characteristica.
Década de 1680: El matemático japonés Kowa Seki, en su método para solucionar problemas, descubre el determinante, y los números de Bernoulli.
1750: Gabriel Cramer, en su introducción del tratado al análisis de curvas algebraicas, indica la regla de Cramer y estudia curvas, matrices y determinantes algebraicos.
1824: Niels Henrik Abel demostró que la ecuación de quinto grado general no admite una solución cerrada, es decir, no es posible encontrar una fórmula que resulta tal ecuación, como sí es posible para órdenes inferiores.
1832: La teoría de Galois es desarrollada por Évariste Galois en su trabajo sobre álgebra abstracta.

BIBLIOGRAFIA DE DESCARTES
Infancia
Descartes nació el 31 de marzo en el año de 1596 en La Haye (Touraine, cerca de Poitiers, Francia) en el seno de una familia de abogados, comerciantes y médicos. Fue el tercer hijo del jurista Joaquín Descartes y de Jeanne Brochard. Aunque René pensaba que su madre murió al nacer él, lo cierto es que murió un año después, durante el parto de un hermano que tampoco sobrevivió. Tras la muerte de su madre, él y sus hermanos fueron educados por su abuela, pues su padre, consejero del Parlamento de Bretaña, debía ausentarse por largas temporadas. Fue alumno del Collège Royal de La Flèche, de los jesuitas, entre 1604 y 1612.
Educación


Registro de Graduación de Descartes en elCollège Royal Henry-Le-Grand, La Flèche, 1616.
La educación en La Flèche le proporcionó, durante los cinco primeros años, una sólida introducción a la cultura clásica, habiendo aprendido latín y griego en la lectura de autores como Cicerón, Horacio y Virgilio, por un lado, y Homero, Píndaro y Platón, por el otro. El resto de la enseñanza estaba allí muy basada en textos filosóficos de Aristóteles (Organon, Metafísica, Ética a Nicómaco), acompañados por comentarios de jesuitas (Suárez, Fonseca, Toledo, quizá Vitoria) y otros autores españoles (Cayetano). Conviene destacar que Aristóteles era entonces el autor de referencia para el estudio, tanto de la física, como de la biología. El plan de estudios incluía también una introducción a las matemáticas (Clavius), tanto puras como aplicadas: astronomía, música, arquitectura. Siguiendo una extendida práctica medieval y clásica, en esta escuela los estudiantes se ejercitaban constantemente en la discusión (disputatio).
La Universidad
A su regreso del Colegio a los 18 años, René Descartes ingresó en la Universidad de Poitiers para estudiar Derecho y posiblemente, algo de medicina. Para 1616 Descartes cuenta con los grados de Bachiller y Licenciado.
Etapa Investigadora
En 1619, en Breda, conoció a Isaac Beeckman, quien intentaba desarrollar una teoría física corpuscularista, muy basada en conceptos matemáticos. El contacto con Beeckman estimuló en gran medida el interés de Descartes por las matemáticas y la física. Pese a los constantes viajes que realizó en esta época, Descartes no dejó de formarse y en 1620 conoció en Ulm al entonces famoso maestro calculista alemán J. Faulhaber. Él mismo refiere que inspirado por una serie de sueños, en esta época vislumbró la posibilidad de desarrollar una "ciencia maravillosa". El hecho es que, probablemente estimulado por estos contactos, Descartes descubre el teorema denominado de Euler sobre los poliedros.
A pesar de discurrir sobre los temas anteriores, Descartes no publica entonces ninguno de estos resultados. Durante su estancia más larga en París, Descartes reafirma relaciones que había establecido a partir de 1622 con otros intelectuales, como Marin Mersenne y Guez de Balzac, así como con un círculo conocido como "los libertinos". En esta época sus amigos propagan su reputación, hasta el punto de que su casa se convirtió entonces en un punto de reunión para quienes gustaban intercambiar ideas y discutir; con todo ello su vida parece haber sido algo agitada, pues en 1628 libra un duelo, tras el cual comentó que “no he hallado una mujer cuya belleza pueda compararse a la de la verdad”. El año siguiente, con la intención de dedicarse por completo al estudio, se traslada definitivamente a los Países Bajos, donde llevaría una vida modesta y tranquila, aunque cambiando de residencia constantemente para mantener oculto su paradero. Descartes permanece allí hasta 1649, viajando sin embargo en una ocasión a Dinamarca y en tres a Francia.
La preferencia de Descartes por Holanda parece haber sido bastante acertada, pues mientras en Francia muchas cosas podrían distraerlo y había escasa tolerancia, las ciudades holandesas estaban en paz, florecían gracias al comercio y grupos de burgueses potenciaban las ciencias fundándose la academia de Ámsterdam en 1632. Entre tanto, el centro de Europa se desgarraba en la Guerra de los Treinta Años, que terminaría en 1648.

Fallecimiento

Descartes en la Corte de la reina Cristina de Suecia (Detalle), Pierre Louis Dumesnil. Museo nacional de Versailles.
En septiembre de 1649 la Reina Cristina de Suecia le llamó a Estocolmo. Allí murió de una neumonía el 11 de febrero de 1650. Descartes aceptó la invitación de la reina Cristina para trabajar en su corte como filósofo residente y tutor de la propia soberana. La encomienda, que en principio parecía grata, pues la alumna era inteligente y aplicada, resultó fatal para René al verse obligado a iniciar las lecciones a las cinco de la mañana; siendo un hombre habituado a dormir diez horas diarias y a meditar y leer en la cama no soportó la prueba; el frío polar del invierno de Estocolmo y las desveladas cobraron su vida a los cuatro meses de su llegada a Suecia, con 53 años de edad.
Actualmente se pone en duda si la causa de su muerte fue la neumonía. En 1980, el historiador y médico alemán Eike Pies halló en la Universidad de Leyden una carta secreta del médico de la corte que atendió a Descartes, el holandés Johan Van Wullen, en la que describía al detalle la agonía. Curiosamente, los síntomas presentados –náuseas, vómitos, escalofríos– no eran propios de una neumonía. Tras consultar a varios patólogos, Pies concluyó en su libro "El homicidio de Descartes, documentos, indicios, pruebas", que la muerte se debía a envenenamiento por arsénico. La carta secreta fue enviada a un antepasado del escritor, el holandés Willem Pies.
En el año de 1676 se exhumaron los restos de Descartes; puestos en un ataúd de cobre se trasladaron a París para sepultarlos en la iglesia de Ste. Geneviève-du-Mont; removidos nuevamente durante el transcurso de la Revolución Francesa, los restos fueron colocados en el Panthéon, la basílica dedicada a los pensadores y escritores de la nación francesa; nuevamente, en 1819, los restos de René Descartes cambiaron de sitio de reposo siendo llevados esta vez a la iglesia de St. Germain-des-Prés donde actualmente se hallan.
rEFERENCIAS
Wikipedia
Encarta
Libro de l conocimiento matematico Vol.2