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Eliminación de Gauss

Introducción

Recordamos que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (x1, x2, x3,..), es decir,

Eliminación de Gauss

se puede representar de forma matricial como

matematicas

donde

eliminacion de gauss

es decir,

  • A es una matriz de dimensión m x n formada por los coeficientes de las incógnitas,
  • x es el vector columna (matriz de dimensión m x 1) formado por las incógnitas
  • b es el vector de columna de términos independientes (los números de la parte derecha de la igualdad).

Llamamos matriz ampliada (y la denotamos por A*) a la matriz formada por la matriz A a la izquierda y la matriz b a la derecha, separadas por una línea, es decir:

eliminacion de gauss jordan

Ejemplo:

eliminacion de gauss jordan ejem

Importante: a la hora de escribir las matrices tenemos que tener en cuenta que las incógnitas de cada una de las ecuaciones deben estar alineadas con respecto a las otras ecuaciones del sistema.

Método Eliminación de Gauss

A estas alturas ya sabemos que un sistema de ecuaciones lineales puede tener una única solución, infinitas soluciones o ninguna.
Existen métodos como la Regla de Cramer que nos permite obtener la solución del sistema si esta es única, pero no en los otros casos.

El método de eliminación de Gauss lo podemos aplicar siempre y nos proporciona una matriz ampliada a partir de la cual podremos deducir la existencia y tipo de soluciones (Teorema de Rouché Frobenius).

El método consiste en realizar operaciones elementales fila (o columna) a la matriz ampliada del sistema para obtener una matriz equivalente en forma escalonada reducida.


Operaciones que podemos realizar sobre la matriz ampliada:

  • intercambiar el orden de las filas. Por ejemplo, cambiar la fila 1 por la fila 2 (y la 2 por la 1).
  • multiplicar toda una fila por un número distinto de cero
  • sumarle (o restarle) a una fila otra de las filas. Por ejemplo, a la fila 1 le sumamos la fila 2 multiplicada por 3.

Tenemos que realizar operaciones de este tipo para conseguir que la matriz tenga la forma:

  • si existe alguna fila formada únicamente por ceros, tiene que estar entre las últimas (la última si sólo hay una formada por ceros).
  • es aconsejable que el primer elemento distinto de cero de cada fila sea el número 1 (esto lo podemos conseguir dividiendo la fila por algún número). A este 1 se le denomina uno principal de dicha fila.
  • los unos principales de cada fila tienen que estar más a la izquierda que los unos principales de las filas inferiores.
  • debajo de cada uno principal sólo puede haber ceros.

Importante: si la matriz tiene una única solución, la matriz ampliada en forma escalonada reducida tiene la matriz identidad en la izquierda.

Ejemplo 1

Sea el sistema

ejercicios resueltos sistemas de

su matriz ampliada es

ejercicios de eliminacion de gau

Aplicamos Eliminación de Gauss:

Multiplicamos la primera fila por 1/5 y la segunda por 1/3

ejercicios resueltos de matrices

Sumamos a la segunda fila la primera

ejemplos de eliminacion de gauss

Multiplicamos la segunda fila por 5/7

Eliminación de Gauss

Sumamos a la primera fila la segunda fila multiplicada por -2/5

matematicas

Si escribimos ahora el sistema que representa la matriz ampliada, obtenemos directamente las soluciones del sistema:

eliminacion de gauss

Más ejemplos: Resolución de Sistemas de Ecuaciones mediante Eliminación de Gauss y Rouché-Frobenius. Sistemas compatibles e incompatibles.

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