Aritmetica

Aritmética.

Aritmetica

Aritmética, literalmente, arte de contar. La palabra deriva del griego arithmētikē, que combina dos palabras: arithmos, que significa ‘número’, y technē, que se refiere a un arte o habilidad.
La aritmética es la rama de las matemáticas que se ocupa de los números y de las formas de combinarlos. Se trata de un estudio eminente práctico que se aplica a relaciones entre conjuntos de objetos y cantidades y, en ese sentido, se distingue el estudio matemático abstracto de los números.
Existen cuatro operaciones aritméticas, llamadas respectivamente la adición, la sustracción, la multiplicación, y la división.

Adición.
Es la operación más básica de las cuatro, y consiste en incrementar un número en una cantidad igual a otro número, como en 2+3=5. El resultado de la operación (en este caso, 5) se llama suma. El término suma se utiliza para indicar tanto la expresión 2+3 como el resultado de la adición. Los números sumados (2 y 3) se llaman sumandos.
Sustracción.
Es la operación contraria a la adición, la reducción de un número en una cantidad igual a otro, como en 5-3=2. El resultado de la sustracción (en este caso, 2) se llama diferencia; el numero sustraído (3) es el sustraendo y el numero del que se sustrae (5) es el minuendo.se dice la sustracción es la operación inversa de la adición (esto es 2+3=5-3=2). Análogamente, la adición es la inversa de la sustracción. Una importante diferencia entre la adición y la sustracción es que el resultado de sumar dos números naturales siempre es otro numero natural(o entero positivo), mientras que la sustracción de dos números naturales no siempre da como resultado un numero natural: la diferencia 2-5 es un numero negativo (-3). La sustracción puede considerarse como un caso particular de la adición en el que el número sumado siempre es negativo; por ejemplo, 5-3=5+ (-3). Análogamente, la sustracción de un número negativo es equivalente a la adición del mismo número considerado positivo; por ejemplo, 5-(-3)=5+3. La sustracción extiende el sistema numérico de los enteros positivos a los enteros positivos y negativos.

Multiplicación.
Se puede considerar como una adición reiterada: 9×5 es lo mismo que 9+9+9+9+9(cinco nueves). El resultado de la multiplicación se conoce como producto (por ejemplo, en 9×5=45, el producto es 45). El numero que es multiplicado (en este caso, 9) es el multiplicando y el que multiplica (5) el multiplicador. En realidad lo mismo que en la adición, el orden de los términos no influye en el resultado (5×9=9×5), por lo que ambos pueden considerarse como multiplicadores.
División.
Lo mismo que en la sustracción es la inversa de la adición, la división es la inversa de la multiplicación. La inversa de 12÷4= es 4×3=12. El resultado de la división es llamado cociente; en este caso, 3 de dividir 12 entre 4. El número dividido (12) es el dividendo y el que divide (4) el divisor. La división puede considerarse como un a sustracción reiterada. En el ejemplo citado, al 12 se le resta el 4 exactamente tres veces. No obstante, todas las divisiones son exactas. En 13÷4, después de restar tres veces queda un resto igual a 1. El resto puede expresarse como fracción; por ejemplo, 13÷4=3+ (1÷4)=3 1/4.la división, como la sustracción, también amplia el sistema de los números; los nuevos numero incluidos en este caso son las fracciones.
Los numeros naturales.
Los números naturales se usan para contar o numerar y expresar números.
El número cero se puede considerar como un número natural pues, en el proceso de representación de cantidades, se usa para expresar la ausencia de objetos o magnitudes numéricas.
En lo números naturales existen las siguientes propiedades:
1. Tener un primer numero, el 1.
2. Cada numero natural tiene un sucesor(o siguiente) que se forma sumándole 1(la unidad).
3. Dos numero naturales distintos no pueden tener el mismo sucesor
4. A excepción del 1, todo número natural tiene un antecesor.
Los números naturales se pueden representar en una línea recta.
La recta numérica ayuda a determinar la magnitud de un número natural y conocer si un número mayor o menor que otro. Un numero natural es mayor que otro cuando esta ubicado en la recta numérica a la derecha.

Numeros negativos.
El cálculo de la sustracción aritmética no es difícil siempre que el sustraendo sea menor que el minuendo. Sin embargo, si el sustraendo es mayor que el minuendo, la única manera de encontrar un resultado para la resta es la introducción del concepto de números negativos.
La idea de los números negativos se comprende más fácilmente si primero se toman los números más familiares de la aritmética, los enteros positivos, y se colocan en una línea recta en orden creciente hacia el sentido positivo. Los números negativos se representan de la misma manera empezando desde 0 y creciendo en sentido contrario. La recta numérica que se muestra a continuación representa los números positivos y negativos:

Estimacion de resultados.
Antes de resolver un problema en el que se requiera hacer operaciones es conveniente hacer una apreciación del o de los resultados a los que se debe llegar a fin detener mayor control. Esa apreciación es al estimación de resultados, y consiste en hacer un calculo rápido (mental o escrito) y aproximado del resultado del problema.
El cálculo mental puede ayudarte en la estimación de resultados. A continuación se presentan algunos de los procesos que mas se usan para calcular mentalmente.
Redondeo de números. Consiste en sustituir las cantidades que intervienen en una operación por otras aproximadas a ellas, de preferencia que terminen en ceros.

Multiplos y diviores.
Múltiplos de un número.
Múltiplos de un número natural son los números que resultan de multiplicarlo por los números naturales.
Algunos múltiplos de 5 son 5, 10, 15, y 20 por que resultan de multiplicarlo a 5 por 1, 2, 3, y 4 respectivamente.
Los primeros múltiplos de 5, 8, 2 y de 4 son:
m(5)=5,10,15,20,25,30,35,40,45,50……
m(8)=8,16,24,32,40,48,56,64,72,80…..
m(2)=2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40…..
m(4)=4,8,12,16,20,24,28,32,36,40
En estas series de múltiplos de5, 8, 2 y de 4 tienen un múltiplo en común.
El múltiplo en que tienen en común es 40.

Divisores de un número.

Divisores de u numero natural son los números naturales entre los que puedes dividir el numero dado y obtener un entero.
Los divisores de 20 son: 1, 2, 4, 5,10 y 20
Los divisores de 36 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,18 y 36
Al observar estas listas puedes notar que los números 1, 2,4 son divisores comunes de 20 y 36.
El mayor divisor común a un conjunto dado de números es su máximo común divisor (M.C.D.). Por ejemplo, dados 9, 15 y 27, el M.C.D. es 3, que se encuentra fácilmente examinando la descomposición en factores de cada uno de los números: 9 = 32, 15 = 3 • 5, 27 = 33; el único factor que aparece en los tres números es 3.

Criterios de divisibilidad.
Estos criterios sirven para saber cuando un número natural es divisible entre otros, sin recurrir hacer la división. “Ser divisible” significa que , al hacer la división, obtienes un numero natural. 413
1. Divisibilidad entre 2
Un número es divisible por 2 si lo es su última cifra. Por ejemplo , 56 y 42 son divisibles por 2; pero no lo son 43 y 51.

2. Divisibilidad entre 3
Un número es divisible por 3 si lo es la suma de sus cifras. Por ejemplo ,732 es divisible por 3 porque 7+3+2=12 y 1+2=3; 584 no es divisibles por 3 porque 5+8+4=17 y 1+7=8.

3. Divisibilidad entre 4
Un número es divisible por 4 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras. Por ejemplo, 364 es divisible por 4 por que 64 lo es, 634 no es divisible porque 34 no lo es.

4. Divisibilidad entre 5
Un número es divisible por 5 si su última cifra es 5 ó 0. Por ejemplo, 15 y 70 son divisibles por 5, 51 y 28 no son divisibles por 5.

5. Divisibilidad entre 6
Un número es divisible por 6 si lo es a la vez por 2 y por 3. En general, un número es divisible por otro de la forma a×b si es divisible por a y por b , siendo a y b enteros. Por ejemplo, un número es divisible por12 si es divisible por 3 y por 4 (ya que 4×3=12).

6. Divisibilidad entre 8
Un número es divisible por 8 si lo es el número formado por sus tres últimas cifras. Por ejemplo, 7512 es divisible por 8 porque 512 lo es (512×8= 64); 4716 no es divisible por 8 porque 716 no lo es.

7. Divisibilidad entre 9
Un número es divisible por 9 si lo es la suma de sus cifras. Por ejemplo, 558 es divisible por 9, ya que 5+5+8=18, que es divisible por 9; 719 no es divisible por 9 por que 7+1+9=17.

8. Divisibilidad entre 10
Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0. Por ejemplo, 170 es divisible por 10, pero no lo es 705.

9. Divisibilidad entre 11
Un número es divisible por 11 si la suma de las cifras de lugar impar difiere en un múltiplo de 11 de la suma de las cifras de lugar par. Por ejemplo, 5819 es divisible por 11 por que 5+1=6, 8+9=17 y 17-6=11. La regla también se aplica si las sumas son iguales. Por ejemplo, 26796 es divisible por 11 porque 2+7+6=15 y 6+9=15.
10. Divisibilidad entre 25
Un número es divisible por 25 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras. Por ejemplo, 625, es divisible por 25 pero 810 no lo es.
11. Divisibilidad entre 125
Un número es divisible por 125 si lo es el número formado por sus tres últimas cifras. Por ejemplo, 7375 es divisible por 125 pero no 5825.

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