¿De donde salio la formula del circulo π·r²?

¿De donde salio la formula del circulo π·r²?

matematicascalculoarea

circulo


Todos conocemos la famosa formula:

integral

Por supuesto, ésta es una fórmula bien conocida. A todos nos dijeron, hace mucho tiempo, que es verdadera; pero la única manera de probarla es por integración.

Algunos ya sabrán como se encuentra su formula, pero no esta de mas esta información

¿De donde salio la formula del circulo π·r²?

matematicas

Por sencillez, se colocara el circulo con su centro en el origen, de modo que su ecuación sea:

calculo

Si resolvemos esta ecuación para y, obtendremos:

area

Debido a que el circulo es simetrico con respecto a los dos ejes, el area total A es cuatro veces el área en el primer cuadrante (véase la siguiente figura).

circulo

La parte del círculo en el primer cuadrante se expresa con la función:

integral ¿De donde salio la formula del circulo π·r²?

y por consiguiente:

matematicas

Para simplificar la integral, me gustaría hacer una sustitución que convierta calculo en el cuadrado de algo. En este caso, resulta útil la identidad trigonométrica: area

En efecto, puesto que

circulo

sustituimos:

integral

Como

¿De donde salio la formula del circulo π·r²?

restringimos Ɵ de suerte que

matematicas

tenemos que

calculo

y...

area

Ahora hay que integrar:

circulo

lo haré pon medio de la identidad trigonométrica:

integral

Ahora como consecuencia:

¿De donde salio la formula del circulo π·r²?


Por lo tanto, hemos probado la famosa formula:

matematicas

calculo

area

circulo

integral

Comentarios Destacados

@melist +10
¡Ya sabía!

El saber no ocupa lugar.

Buen aporte.

29 comentarios - ¿De donde salio la formula del circulo π·r²?

@melist +10
¡Ya sabía!

El saber no ocupa lugar.

Buen aporte.
@migue_143 +2
CreveX dijo:Sabía.


Yo no tenía idea, jaja. Ahora más o menos lo se, tengo que verlo bien para terminar de entenderlo.
@KoalaRamone +1
Álgebra, álgebra everywhere.

Hoy tuve que rendir un parcial de esto u.u y encima me lo haces acordar
@wi3122 +4
A mi me lo explicaron primero de la forma laaaaaaarga, laaaaarga y después me mostraron la fórmula pelotuda esa, como putié a ese viejo... no tenés idea...
@First_Big_Bang
Cielos. Entendí nomás hasta el plano carteciano que diste, creo que se debe a que no dediqué mucho tiempo y aun no veo contenido tan avanzado.
@tomypecora +1
Como
matematicas
restringimos Ɵ de suerte que
calculo

¿Por que "Pi" aparece acá? De un momento a otro. ¿Así como si nada? De donde salió "Pi" ??
@luisfelic +2
Excelente! Esto es inteligencia colectiva
@Teresito -1
tomypecora dijo:
Como
area
restringimos Ɵ de suerte que
circulo

¿Por que "Pi" aparece acá? De un momento a otro. ¿Así como si nada? De donde salió "Pi" ??



el numero dorado.... una pista : O
@KoalaRamone +1
tomypecora dijo:
Como
integral
restringimos Ɵ de suerte que
¿De donde salio la formula del circulo π·r²?

¿Por que "Pi" aparece acá? De un momento a otro. ¿Así como si nada? De donde salió "Pi" ??


Porque la función se restringe al primer cuadrante y x puede tomar valores entre 0 y 90°, creo que es algo así
@rollito
yo voy al baño a descargar toda mi 3.1416 X 2
@Nadamo
todavía tengo que aprender todo de la Integral Definida... pero muy bueno!
gracias!
@antraxcion -1
de k karajo hablan . jajaja
@Juantopol +1
Tambien se puede deducir usando el metodo de poligonos inscriptos en una circunferencia y limites xD
@migue_143 +3
tomypecora dijo:
Como
matematicas
restringimos Ɵ de suerte que
calculo

¿Por que "Pi" aparece acá? De un momento a otro. ¿Así como si nada? De donde salió "Pi" ??


En realidad me parece que la segunda parte va con la letra "Theta" y no "x" ya que se hizo el cambio de variables.

0 < Theta < pi/2

Eso es para que sea en el primer cuadrante, o sea el radio vector "r" barre un ángulo de pi/2 es el área sombreada.
@DemUchiha +1
KoalaRamone dijo:
tomypecora dijo:
Como
integral
restringimos Ɵ de suerte que
¿De donde salio la formula del circulo π·r²?

¿Por que "Pi" aparece acá? De un momento a otro. ¿Así como si nada? De donde salió "Pi" ??


Porque la función se restringe al primer cuadrante y x puede tomar valores entre 0 y 90°, creo que es algo así

Exactamente, y como "Pi" también toma como valor un "Radián" que son 180°, entonces se limita a 180°/2=Pi/2=90°
@Skillz0ne +1
el circulo no existe, solo la linea recta
@bocamaiden
tomypecora dijo:
Como
calculo
restringimos Ɵ de suerte que
area

¿Por que "Pi" aparece acá? De un momento a otro. ¿Así como si nada? De donde salió "Pi" ??

aparece pi porque esta en radianes
@nnaass
Y que tiene que ver la formula con la primer foto?, con esta formula se puede decodificar un mensaje secreto que fue dejado en la tierra en forma de circulo en el maizal dejada por los extraterrestres de Zeta Reticuli???
@nnaass +2
Aldecarydeoz dijo:
nnaass dijo:Y que tiene que ver la formula con la primer foto?, con esta formula se puede decodificar un mensaje secreto que fue dejado en la tierra en forma de circulo en el maizal dejada por los extraterrestres de Zeta Reticuli???

Es simplemente ilustrativa...

circulo
@doncoso +1
Gracias de expliarlo tan claro despues de 10 años de haberlo necesitado
@First_Big_Bang
Aldecarydeoz dijo:
migue_143 dijo:
tomypecora dijo:
Como
integral
restringimos Ɵ de suerte que
¿De donde salio la formula del circulo π·r²?

¿Por que "Pi" aparece acá? De un momento a otro. ¿Así como si nada? De donde salió "Pi" ??


En realidad me parece que la segunda parte va con la letra "Theta" y no "x" ya que se hizo el cambio de variables.

0 < Theta < pi/2

Eso es para que sea en el primer cuadrante, o sea el radio vector "r" barre un ángulo de pi/2 es el área sombreada.

Buena observación, haré el ajuste mas tarde

Esto pasa cuando alguien no sabe nada. Cuando vemos un error no lo notamos, necesitamos ejercicio matemático segundario para entender esto en el más mínimo detalle, cosa que no ha ocurrido en mi caso. Reconozco que ha sido por mi culpa.
@First_Big_Bang
wi3122 dijo:A mi me lo explicaron primero de la forma laaaaaaarga, laaaaarga y después me mostraron la fórmula pelotuda esa, como putié a ese viejo... no tenés idea...

Aunque no lo creas, tiene sentido. Ya que así la idea se sobre-entiende y no podría serte más fácil, ya que no es necesario memorizar cuando comprendes algo hasta el pie de la letra.