Todos conocemos la famosa formula:



Por supuesto, ésta es una fórmula bien conocida. A todos nos dijeron, hace mucho tiempo, que es verdadera; pero la única manera de probarla es por integración.

Algunos ya sabrán como se encuentra su formula, pero no esta de mas esta información





Por sencillez, se colocara el circulo con su centro en el origen, de modo que su ecuación sea:



Si resolvemos esta ecuación para y, obtendremos:



Debido a que el circulo es simetrico con respecto a los dos ejes, el area total A es cuatro veces el área en el primer cuadrante (véase la siguiente figura).



La parte del círculo en el primer cuadrante se expresa con la función:



y por consiguiente:



Para simplificar la integral, me gustaría hacer una sustitución que convierta en el cuadrado de algo. En este caso, resulta útil la identidad trigonométrica:

En efecto, puesto que



sustituimos:



Como



restringimos Ɵ de suerte que



tenemos que



y...



Ahora hay que integrar:



lo haré pon medio de la identidad trigonométrica:



Ahora como consecuencia:




Por lo tanto, hemos probado la famosa formula: