Ecuaciones Diferenciales para principiantes

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En vista del cierre de MU, cambié a otro servidor el enlace de descarga del libro Cálculo diferencial e integral de Granville


Ecuaciones Diferenciales


Esta materia es una de las más odiadas en muchas carreras. Ya que a mi me tocaron maestros de mierd* que no sabían nada y no se les entendía ni madres, tuve que investigar mucho para para aprender esto y poder pasar la materia. El objetivo de este post es explicar los principales métodos para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de forma fácil y entendible. Con sólo anotar algunas fórmulas, formas y conceptos, las ecuaciones se volverán más claras y su respuesta será más accesible. Empecemos.

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene derivadas, punto. Las ecuaciones diferenciales ordinarias contienen derivadas de funciones que dependen de una sola variable independiente. Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresión en términos de integrales, puedan o no resolverse las mismas.

Clasificación

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias se dividen en lineales y no-lineales. Son lineales si todos sus términos son lineales respecto a la variable dependiente y sus derivadas. De lo contrario, no es lineal. Recordemos que para que un término sea lineal, debe estar expresado de forma que al graficarlo nos quede una línea recta. Osea que y², y³, e^y, log(y) NO son lineales. Así mismo, las EDO se dividen en homogénea y no homogénea. Es homogénea si no contiene términos que dependen únicamente de su variable independiente. Ejemplos.

Ecuaciones Diferenciales para principiantes

Ecuaciones Diferenciales de 1er orden


Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Osea que, en geometría analítica, tendrían la forma de las ecuaciones de primer grado. Éstas son las ecuaciones diferenciales más sencillas y no se necesitan muchos cálculos. Existen básicamente 7 formas en que se presentan estas ecuaciones de primer orden, en las cuales no se hace más que aplicar álgebra y cálculo elemental.

1. ECUACIÓN DIFERENCIAL SEPARABLE

y' = F(x, y). General

Esta forma es la más fácil de las Ecuaciones Diferenciales. Lo único que tenemos que hacer es acomodarla de tal forma que en un lado de la igualdad nos quede dx y del otro dy con sus respectivas variables. Es separable si el segundo miembro de la diferencial la podemos expresar como el producto de 2 funciones. Una que dependa solo de la variable dependiente y otra que contenga sólo la variable independiente. O sea: y'= f(x)*g(x)

Ejemplo.

matematicas


Ya que en este caso nos quedó la variable dependiente despejada, le llamamos a esta solución explícita. La solución debe quedar en lo posible de esta forma, aunque se dan casos donde la variable dependiente no puede quedar despejada; a dicha solución la llamaremos implícita. Algunos maestros tienen la puta costumbre de comprobar el resultado, derivando la solución y reemplazarla en la ecuación original para cerciorarnos de que se cumple. Aquí no pongo algún ejemplo porque es muy fácil, pero tengamos en cuenta que se llega a complicar en ecuaciones diferenciales de orden superior.

2. ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL

y' + P(x)y = g(x) -no es separable

a) Método de factor integrante

Entonces lo único que vas a hacer es utilizara esta formulita:
Nietzsche

Ejemplo:

calculo


b) Método de variación de parámetros

Cuando encontremos una ecuación que tenga la forma y' + p(x)y = g(x); g(x) = 0 aplicamos esta otra fórmula:

laplace

Ejemplo:
newton


Nótese que esta ecuación se pudo resolver también por el método de factor integrante, obteniendo el mismo resultado.

3. ECUACIÓN EXÁCTA

M(x,y)+N(x,y)y' = 0

Es exácta cuando My = Nx. La solución de esta ecuación tiene la forma Φ(x,y)=c, tal que Φx=M y Φy=N. Esta es la definición clásica para resolver este tipo de ecuación, pero como no se le entiende un carajo veamos un ejemplo.

euler

-Ecuación exácta con factor integrante

Si M(x,y)+N(x,y)y' = 0 no es exácta, puede que u*[M(x,y)+N(x,y)y'] = u*0 sea exácta. Para esto se debe cumplir que (uM)y=(uM)x
Lo que haremos será utilizar una de las siguientes 2 fórmulas de factor integrante, dependiendo de la variable que queramos utilizar.

integral

Ejemplo:

Numb3rs


4. ECUACIÓN DE BERNOULLI

y'+p(x)y = q(x)y^n.

En esta ecuación lo que haremos será sustituir v=y^1-n, y multiplicar la derivada de v a todos los términos de la ecuación original para que nos quede una ecuación lineal.

Ejemplo.

derivada


5. ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

y' = F(x,y)

Si el segundo miembro de la ecuación se puede expresar como y/x, se realiza la sustitución v= y/x → y =v x → dy/dx = v + x dv/dx, la cual transforma la ecuación homogénea en separable. Ejemplo.

fourier


6. ECUACIÓN DIFERENCIAL CON COEFICIENTES LINEALES.

(a1x + b1y + c1)dx + (a2x + b2y + c2)dy = 0

Esta es una de las forma más perras de las Ecuaciones Diferenciales, ya que tienes que hacer muchas cosas para llegar a la mentada solución. Pero con repasar muy bien el procedimiento y asegurarte de no cagarla en los detalles, podrás resolver este tipo de ecuaciones diferenciales.

1) Primero te tienes que asegurar de 2 cosas: que a1, a2, b1. b2, c1. c2 pertenecen a los números reales y que se cumpla la siguiente desigualdad a1*b2 ≠ a2*b1
2) Acomodas la ecuación tal que te quede de forma homogénea.
3) Sustituyes dy/dx = dv/du
4) Sustituyes x = u+h; y = v+k; donde u,v son variables, h,k son constantes.
5) Formas un sistema de ecuaciones con h + k + constante del numerador y el denominador. Si los valores encontrados en h, k satisfacen la igualdad a 0, entonces hemos llegado a una ecuación homogénea.

Aquí lo vemos más claro. En realidad no es tan complicado:

Ecuaciones Diferenciales para principiantes


7. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA FORMA y' = G(ax+ by) (no recuerdo el nombre)

Si el segundo miembro de la ecuación y' = F(x, y) se puede expresar en función de ax + by, o sea y' = G(ax+ by), entonces se realiza la sustitución z = ax + by, la cual convierte la Ecuación Diferencial en separable.

matematicas


-Ecuaciones Diferenciales lineales en series de potencia

Las Ecuaciones Diferenciales pueden ser resueltas mediante series de potencia. La solución debe estar alrededor de un punto ordinario y no singular, esto se verifica observando el coeficiente de la derivada de mayor orden. Supongamos que tenemos la siguiente Ecuación Diferencial:

P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y = 0

Entonces:
-xo es un punto ordinario ↔ P(xo) ≠ 0
-xo es un punto singular ↔ P(xo) = 0

Para resolver Ecuaciones Diferenciales en series de potencia, utilizamos la serie de Taylor:

Nietzsche
calculo

Lo que haremos será lo siguiente:
- Con el punto ordinario que nos han dado, suponemos la solución en series de potencia.
- Derivamos la solución y la reemplazamos en la ecuación diferencial
- Hacemos los cálculos pertinentes para que la ecuación diferencial nos quede en términos de una sola sumatoria.
- Obtenemos la fórmula de recurrencia
- Evaluamos n veces la fórmula para obtener los valores constantes.
- Expandimos la Ecuación Diferencial en series de potencia y la evaluamos "n" veces, sustituyendo los valores constantes.
- Y ya.

Ejemplo.

laplace

Cuando expresamos la Ecuación Diferencial en términos de series de potencia, se considera resuelta, pero como aquí coincide con el número e, lo ponemos pa' ahorrarnos espacio; aunque es importante aclarar que no todas estas soluciones en sumatorias convergen hacia una función en particular.
Así mismo, habrá situaciones donde la ecuación no se podrá expresar como una sumatoria, sino que tendremos que poner término a término en la ecuación. Esto no tiene especial importancia en las Ecuaciones Diferenciales lineales, pero se complica en las Ecuaciones Diferenciales de orden superior que veremos después.

¿y para qué carajos me sirve esto?
Es un tema importante porque las Ecuaciones Diferenciales nunca son tan fáciles, ya que muchas simplemente no pueden resolverse de forma explícita en términos de combinaciones finitas de simples familias de funciones.


Traté de explicarlo todo de la forma más sencilla posible. Para complementarlo con más ejercicios y repasar cálculo diferencial e integral, les dejo el libro de cálculo de Granville; imprescindible para todos los estudiantes de matemáticas, física, química, ingenierías, economía, etc. A mi parecer es el mejor libro de cálculo básico-intermedio ya que está muy bien explicado y viene lleno de ejemplos y ejercicios.

newton


euler.com/?xp9nxxv6wvo28s9

Próximamente:

-Ecuaciones Diferenciales ordinarias de 2do orden y orden superior
-Transformada de Laplace y Series de Fourier
-Econometría para principiantes

Fuentes de Información - Ecuaciones Diferenciales para principiantes

El contenido del post es de mi autoría, y/o, es un recopilación de distintas fuentes.

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Comentarios Destacados

@darkmind14 Hace más de 2 años +43
muy buen post, muy completo, pero la verdad...
integral
@Jocelyne_Bella Hace más de 2 años +25
antes ver ist post

Numb3rs


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derivada

28 comentarios - Ecuaciones Diferenciales para principiantes

@Eze_luis Hace más de 2 años +4
muy bueno
@Jocelyne_Bella Hace más de 2 años +25
antes ver ist post

Numb3rs


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derivada
@inglipencio_rais Hace más de 2 años -20
fourier
@jksanmartin Hace más de 2 años +1
Gracias capo, a favs y +10
@djdac3 Hace más de 2 años +1
Muy buen post a fav y mañana +10
@5hikamarU Hace más de 2 años +16
esto es para principiantes? xD entonces soy una mierda
@Sarsara18 Hace más de 3 meses
sabes que yo también tenía problemas con matemáticas, específicamente lo más difícil para mí fue entender lo del calculo de diferenciales e integrales así que me decidí a hacer un curso en línea que me recomendó mi primo por que el ya lo había hecho y está muy bueno, ahora entiendo más fácilmente las matemáticas con su novedoso método, por eso me atrevo a recomendárselos de verdad a mi me ha servido, aquí les dejo el link www.esthalon.com/educacion01.htm .
@bulldocerxxx Hace más de 2 años +1
me lo van a enseñar en enero, a favoritos, para mas calma
@darkmind14 Hace más de 2 años +43
muy buen post, muy completo, pero la verdad...
integral
@cristritri Hace más de 2 años -5
no entendi nada odio matematicas
@shaguiCBA Hace más de 2 años +1
antes de aprender esto tenes que saber derivar e integrar
@lgrv_94 Hace más de 2 años
Me lo llevo a favs ahora que entre a cálculo lo aplico.
@Dr-Core Hace más de 2 años +3
Jocelyne_Bella dijo:antes ver ist post

Ecuaciones Diferenciales para principiantes


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matematicas

si lo hubieras escrito bien , hubieras salido mejor
@NEW_YORK Hace más de 2 años
justo todo lo que adeudo del secundario jajaja
@nico_tombino Hace más de 2 años +1
GRACIAS! ACTUALMENTE ESTOY ESTUDIANDOLAS !
@paolakorn Hace más de 2 años +2
pues a mi si me gusto, ademas de estos metodos, tambien meenseñaron a resolver las ecuaciones diferenciales usando la transformada de laplace, fourier y tambien con la ecuacion de schrodnger. Great post.

+10
@xyonxn Hace más de 2 años
Muy bueno, me servirá mas adelante! + 10.
@nico_tombino Hace más de 2 años +2
nico_tombino dijo:GRACIAS! ACTUALMENTE ESTOY ESTUDIANDOLAS !



+10 cumpa! gracias otra vez !
@akitiplevo Hace más de 2 años +1
+10 y a fav , tendrian que haber mas post como este!
@Maxi278 Hace más de 2 años
Buen post loco, muy buen laburo!! van puntos!
@nico_tombino Hace más de 2 años
akitiplevo dijo:+10 y a fav , tendrian que haber mas post como este!
@xLUIGGYx Hace más de 2 años
me hiciste recordar mis años de estudiante
@matt_T_T Hace más de 2 años
gracias me viene bienpara estudiar + 5 afav
@julian2891 Hace más de 1 año
buenisimoo!!!!!!!!! bro tengo un profe q gana premios no se levanta de la silla... me toca buscar como isite
@khal149 Hace más de 1 año +1
+10! La verdad que estaba buscando por todos lados sobre resolución y este es el lugar más claro que vi, no terminé de leerlo todavía pero ya tenés tu +10!
@JesusSlanda Hace más de 4 meses +2
desaparecieron unas imagenes , porfas lo podrias arreglar pastellarium
@Albertodom25 Hace más de 3 meses +2
Me gusto mucho tu post pero para complementar este material sobre "ecuaciones diferenciales para principiantes" les dejo este link www.esthalon.com/educacion01.htm , aquí encontré un temario bastante completo sobre calculo de diferenciales e integrales que estoy usando ahora para complementar mis clases del instituto y me sirve para practicar con todos los ejercicios que me dan, es muy bueno es como un tutor en casa, se lo recomiendo ampliamente de verdad. Pueden bajarse la página y analizarlo a ver si les gusta. Saludos!
@nico_tombino Hace más de 3 meses +2
Tengo que rendir Cálculo en pocas semanas y me está quedando pendiente EDO la practica!
Saludos y gracias !
@vaco_ Hace más de 3 meses +1
luego lo leere cuando me vallla mal +10