Desigualdades

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Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:


6 + 4 = 10
x + 6 = 10


Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita) se llama ecuación. Por ejemplo:

x + 6 = 10

Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

- no es igual

< - menor que

> - mayor que
- menor o igual que
- mayor o igual que


Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:


x + 3 < 7

(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ej. 3 < 4, 4 > 3


¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las desigualdades. Por ejemplo:

1 < 6
1 + 5 < 6 + 5

¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta.


Otro ejemplo:

2 < 6
2 + -9 < 6 + -9

Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número negativo.


Otro ejemplo con resta:

7 > 4
7 - 3 > 4 - 3

La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.


Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de la desigualdad:

2 < 8
2 - (-3) < 8 - (-3) Restar un número es igual que sumar su opuesto.

2 + 3 < 8 + 3

5 < 11

La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados



Multiplicación con números positivos:

3 < 7
3 · 6 < 7 · 6

La desigualdad es cierta al multiplicar un números positivos en ambos lados.



Multiplicación con números negativos:

4 > 1
4 · -2 > 1 · -2
-8 > -2 falso


Nota: La desigualdad cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se multiplique por un número negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se invierte:

-8 < - 2

Ahora, la desigualdad es cierta.


División con positivos:

3 < 9

3 < 9 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3
3 3

1 < 3

La desigualdad es cierta.


División con negativos:


4 < 12

4 < 12 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
-2 -2

-2 < -6 falso

La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo.

-2 > -6

Ahora la desigualdad es cierta.


En resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad por un número negativo.


Ejemplos:

Resolver la siguiente inecuación para verificar si el número dado es solución.


Ejemplo 1: x + 3 < 6 ; x = 5


x + 3 < 6 [Ahora, se sustituye x por 5.]
5 + 3<6 [ Simplificar]
8 < 6

¿ 8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución.


Ejemplo 2: x - 3 8 ; x = 11

11 - 3 8
8 8

¿8 es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación y podemos concluir que x=11 es una solución.



Ejemplos:

Resolver la inecuación.

Ejemplo 1:

x + 4 < 7 Hay que resolver la inecuación
x < 7 + - 4 Combinar los términos semejantes.
Encontrar los valores de x.
x < 3

Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc. Todos los números menores que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere decir que el conjunto de soluciones de esta inecuación es un conjunto infinito.


Ejemplo 2:

x - 9 8
x 9 + 8
x 17

x es mayor o igual a 17 es la solución.



Ejemplo 3:

3x < 5 Para deshacer la multiplicación de la x por 3,

3x < 12 dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación
3 3

x < 4

Entonces, x es menor que 4 es la solución.



Ejemplo 4:

-2x -6 Para deshacer la multiplicación de x por -2, se

-2x -6 divide ambos lados de la inecuación por -2.
-2 -2

x 3

Como el número dividido era negativo, se invierte el signo.



Ejemplo 5:

3x - 1 2x + 4 Hay que combinar términos semejantes.

3x + -2x 1 + 4 Resolver.

x 5



Ejemplo 6:

4x + 9 6x - 9

4x + 9 6x + - 9
4x + -6x -9 + -9
-2x -18
-2 -2

x 9




Resolviendo Desigualdades


Ejemplo: Resolver x - 3 > 2.

x - 3 > 2
x + - 3 >2
Recuerda que restar un número es igual que sumarse el opuesto.

x + -3 + 3 > 2 + 3
x + 0 > 5
x > 5

Se resuelve tal como si fuera una ecuación, pero teniendo en cuenta los signos > , < , , , . y las propiedades de la desigualdades.

Ejemplo:

2x - 4 3x + 1
2x + -4 3x + 1
2x + -3x 4 + 1
-x 5
x -5

Ejemplo:

Resolver -2x -34.
-2x -34 Al dividir ambos las por un número negativo, el signo
-2 -2 de se invierte a .

x 17




Ejercicios de Práctica:


A. Verificar que el número dado hace cierta la ecuación.

1. x > 3 ; 5
2. x + 7 2 ; -8
3. 2x + 3 7x + 1 ; 2
4. 3x - 2 x + 7 ; 1
5. 6x 18 ; 3




C. Resuelva.


1. x + 7 > 9
2. 2x + 3 x + 6
3. -6x + 7 x + 9
4. -6x -72
5. 1 x - 9 > 2 x + 6
3 3

6. -6x + 9 < -2x + 8
7. -2x + 8 12



Soluciones:


A.
1. x > 3 ; 5
5 > 3 Esto hace cierta la ecuación.

2. x + 7 2 ; -8
-8 + 7 2
-1 2 Esto no hace cierta la ecuación.

3. 2x + 3 7x + 1; 2
2(2) + 3 7(2) + 1
4 + 3 14 + 1
7 15 Esto no hace cierta la ecuación.

4. 3x - 2 x + 7 ; 1
3(1) - 2 1 + 7
3 - 2 1 + 7
1 8 Esto hace cierta la ecuación.

5. 6x 18 ; 3
6(3) 18
18 18 Esto no hace cierta la ecuación.



B. Resuelva.

1. x + 7 > 9
x + 7 + -7 > 9 + - 7
x + 0 > 2
x > 2


2. 2x + 3 x + 6
2x + - x -3 + 6
x 3

3. -6x + 7 x + 9
-6x + -x -7 + 9
-7x 2
-7 -7

x - 2
7

4. -6x -72
-6x -72
-6 -6

x 12


5. 1 x - 9 > 2 x + 6
3 3

1 x + -9 > 2 x + 6
3 3

1x + - 2 > 9 + 6
3 3

-1 x > 15
3

(3) -1 x > 15(3)
3

-x > 45 (divide por -1 en ambos lados y se invierte el signo)
x < -45



6. - 6x + 9 < - 2x + 8
-6x + 2x < -9 + 8
-4x < -1
-4 -4

x > 1
4


7. -2x + 8 12
-2x 12 + -8
-2x 4
-2 -2

x -2