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Trucos matemáticos
Algunos trucos o juegos de adivinación tienen base matemática. Así es que funcionan siempre y no es necesaria ninguna habilidad especial o entrenamiento para realizarlos con corrección.
Por contra no es recomendable hacerlos más de una vez al mismo público, si no queremos que el truco se haga obvio y se esfume el efecto “mágico”.
A continuación veremos un par de ellos.
Entregamos una guía telefónica y anunciamos que vamos a predecir una entrada de esta guía. Acto seguido, tras fingir concentración, escribimos nombre y teléfono en una hoja de papel, la doblamos y la introducimos en un sobre que dejaremos a la vista de todos. Ahora pediremos que alquien escriba en otro papel un número de tres cifras que cumpla las siguientes condiciones: que sus cifras no se repitan y que no contenga el cero.
Luego pediremos que invierta el oden de esas cifras y que reste al número más alto el más bajo. Supongamos que el número escogido fue el 731, entonces el número con las cifras invertidas es el 137 y la diferencia es 731-137=594.
Ahora solicitamos que sumen todas las cifras. En nuestro ejemplo 5+9+4=18. Por supuesto los cálculos son secretos, nosotros no necesitamos conocer ni esos números ni el resultado de las operaciones.
Pedimos que se abra el listín telefónico esa página, por la página 18. Ahora se deben sumar ambas cifras y localizar esa entrada. En nuestro ejemplo 1+8=9. Es decir, la entrada escogida es el noveno teléfono de la página 18.
Indicamos que abran el sobre y… ¡el nombre y número de teléfono que anotamos es el mismo!
Efectista, sin duda. Y más sencillo todavía. El truco consiste en que sea cual sea el número escogido, las operaciones matemáticas nos remitirán al número 18.
Por eso comentaba de hacerlo una sola vez y no ceder ante la insistencia de su repetición.
El siguiente consiste en presentar una tarjeta u hoja de papel con los números de 1 al 16 anotados igual que en la imagen. Ahora entregamos esa hoja a alguien de nuestro público y le pedimos que rodee uno de esos números con un círculo. Sin devolvernos la tarjeta le pedimos que la pase a otro espectador para que haga lo mismo, pero con la condición de que el número que señale no corresponda a la misma fila o columna que el anterior. Si recoger la hoja, pedimos que un tercer espectador haga lo mismo, rodear un número con un círculo, de tal manera que no pertenezca ni a las filas ni a las columnas de los elegidoa anteiormente. Por último, el cuarto espectador no podrá hacer otra cosa que rodear con un círculo el único número que quede.
Mientras se llevan a cabo estas operaciones, simulamos concentración y el estar realizando cálculos cambiantes. Cuando ya hayan sido escogidos los cuatro números anotamos un número en otro hoja o tarjeta y la depositamos boca abajo en la mesa a la vista de todos. Ahora pedimos que alguien sume esos cuatro números y diga el resultado en voz alta. Luego le pedimos que voltee nuestra tarjeta y el resultado… ¡es el mismo!
El número que escribimso es el 34. La suma de cuatro números de la tarjeta escogidos de la manera propuesta es siempre 34.
Matemáticas Fáciles
Las tablas de multiplicar? ¡qué suplicio memorístico!
Una vez aprendidas ya no se olvidan, pero a los niños les cuesta mucho esfuerzo aprenderlas.
Seguro que a más de uno le habría sido útil en su momento el truco que vamos a ver a continuación y que hace referencia a una de las más difíciles tablas de multiplicar: la del nueve.
Para llevar a cabo este sencillo método basta con poner las dos manos en la mesa, con las palmas hacia abajo (o hacia arriba) y separando un poco los dedos.
Supongamos que las hemos puesto con las palmas hacia abajo, así que al asignar un número del 1 al 10 a cada dedo quedaría como en la imagen:
meñique izquierdo=1
anular izquierdo=2
?
meñique derecho=10
Pues bien, para realizar la multiplicación del número 9 por cualquiera de los primeros 10 números basta con seleccionar el dedo correspondiente a ese número (separándolo de la mesa, doblándolo o manteniéndolo en contacto con la mesa mientras los otros no?), entonces el número de dedos que quede a su izquierda se corresponderá a las decenas del resultado y el número de dedos que quede a su derecha corresponderá a las unidades.
¿Cómo? Veamos un ejemplo.
Supongamos que queremos multiplicar 7×9. El 7 se corresponde con el dedo índice de la mano derecha. A su izquierda hay 6 dedos y a su derecha 3. El resultado es, pues, 63.
¿El método te ha sorprendido? Prueba a explicárselo a un niño que se encuentre en pleno proceso de aprendizaje de las tablas de multiplicar. Para sorpresa la que se pinta en su rostro.
Cálculos interesantes
Son legión los juegos de adivinación con números. Todos ellos basados en operaciones matemáticas y sorprendentes descubrimientos.
Vamos a ver uno de ellos a continuación, para poder hacerlo a los amigos y sorprenderlos.
Por supuesto que, una vez analizado, es de una sencillez abrumadora, pero de entrada las operaciones desconciertan y el resultado es sorprendente.
Para llevarlo a cabo comunicaremos a nuestro interlocutor que va a realizar unas sencillas operaciones matemáticas, pero que tienen que estar bien hechas para que el juego funcione. Le daremos papel y lápiz o una calculadora para que ejecute los cálculos.
Debe hacer lo siguiente:
escribir el número de calzado que gasta
multiplicarlo por 2
sumarle 5
multiplicar el resultado por 50
restar al número obtenido el año de su nacimiento
sumar al número obtenido 1758
El resultado final es un número de cuatro cifras: las dos primeras indican su número de calzado y las segundas su edad.
Veamos un ejemplo calzando un 40 y habiendo nacido en el año 1948:
40×2=80
80+5=85
85×50=4250
4250-1948=2302
2302+1758=4060 (calza un 40 y tiene 60 años)
Veamos ahora la explicación:
El número de calzado se multiplica por 2 y luego por 50, lo que equivale a multiplicarlo por 100. Con ello se consigue colocar el número de calzado en las unidades de millar y en las centenas (las dos primeras cifras) y que las las otras dos sean cero. Claro que también tenemos un 5 que al multiplicarlo por 50 nos da 250, pero ya nos ocuparemos de él más adelante.
Si al año actual se le resta el del nacimiento se obtiene la edad. Entonces si a un número se le suma el año actual y se le resta el del nacimiento y luego se resta el número original queda de nuevo la edad, lógicamente. Como la edad será cuestión de dos cifras podemos obviar la cifra inicial (tenerla en cuenta y luego restarla) si el número origen en cuestión es múltiplo de 100.
Para que la maniobra no sea tan evidente entra en juego el 250 anterior. Y lo hace de la siguiente manera: año actual-250=cifra a sumar. Como estamos en el 2008, se ha de sumar 1758.
De hecho es este número 5 convertido en 250 el que hace que la maniobra no sea obvia.
Una aclaración final: las dos últimas cifras señalan la edad a cumplir en el presente año, así que puede que no se tenga la edad si el juego se realiza antes del cumpleaños. Así que es conveniente aclarar al final del juego que las dos últimas cifras señalan la edad cumplida o a cumplir en el presente año.
Predicción
De nuevo un truco con una baraja. En esta ocasión se trata de predecir la carta que resultará elegida tras unas manipulaciones que realizará totalmente nuestro interlocutor.
El truco resulta mucho más efectivo si lo realizamos con una baraja española que nos presten en ese momento, puesto que eliminará suspicacias y nos proporcionará una estupenda excusa para comprobar la baraja (que esté completa, que tenga ochos y nueves o no los tenga…). Si la baraja es nuestra también podemos comprobarla tras hacer que la barajen, diciendo que queremos ver que estén bien mezcladas.
Más adelante veremos qué es lo que en realidad comprobamos, pero antes la exposición del efecto.
Se pide que barajen y corten la baraja tantas veces y tanto rato como crean necesario, incluso por parte de varias personas.
Cogemos la baraja y pasamos despreocupadamente las cartas para comprobar qué tipo de baraja es, si tiene ochos y nueves, si está completa…
Devolvemos la baraja a nuestro interlocutor y le pedimos que la corte en dos partes aproximadamente iguales y que mantenga la superior en sus manos.
Adoptamos una pose pensativa, como si meditásemos y escribimos secretamente el nombre de una carta en un papel, lo doblamos y lo dejamos en la mesa a la vista de todos.
Pedimos que retire tres cartas cualquiera del paquete que tiene en las manos y que el resto lo coloque sobre la mitad inferior que ya estaba en la mesa.
Ahora debe colocar esas tres cartas boca arriba sobre la mesa.
Le pedimos que coja todo el montón de cartas y que coloque sobre cada una de las cartas que están vueltas sobre la mesa, tantos naipes como van desde el número de la carta hasta doce. Es decir, si la carta es un 5 por ejemplo, deberá ir poniendo encima 7 cartas una a una e irlas contando en voz alta: seis, siete, ocho… si fuera un 2 debería poner 10 y si fuera un 12 ninguna.
Ahora deberá sumar los números de las tres primeras cartas. Si por ejemplo eran un 6, un 3 y un 8, la suma es de 17.
Le pedimos que busque por encima de la baraja la carta que se corresponda con la suma y que la deje aparte, bocabajo. En el caso del ejemplo será la decimoséptima.
Hacemos notar que no hemos tocado para nada la baraja y que todas las manipulaciones han sido realizadas por otra persona. Que las cartas han sido elegidas libremente, que era imposible predecir el valor de su suma y que lo era aún más conocer el naipe que se encontraría en tal posición. Pero que, gracias a los poderes de la mente, ha sido posible realizar la predicción.
Se pide que se gire la carta, que se desdoble el papelito y que se compruebe que en el papel… ¡hemos anotado la carta elegida!
¿Y cómo hemos hecho eso? Pues muy fácil, porque se trata de un efecto mecánico que no requiere de orden preliminar en las cartas. La única condición es que la baraja esté completa. En caso de duda, es preciso contar las cartas antes de empezar el juego.
Si lo hacemos con el dorso hacia arriba podemos aprovechar para hacer nuestra comprobación. ¿Y cuál es la comprobación que antes dejamos para el final y que se corresponde con el punto número 2?
Pues si la baraja es de 48 cartas lo que hacemos es fijarnos en la que ocupa la décima posición mirándola cara arriba (la 39 mirándola por el dorso) y ésa será la carta objeto de la predicción, la que debemos anotar en el papelito y la que se elegirá tras todas las manipulaciones.
Si faltan cartas en la baraja, el número de cartas que falte se deberá restar de 10. Así que si faltan 3, deberemos visualizar la séptima por delante.
Si la baraja es de 40 cartas (sin ochos ni nueves) la carta a memorizar es la segunda.
Si le faltan más de dos cartas no se puede hacer el juego, así como si le faltan más de diez a la baraja completa.
Misteriosa desaparición
¿Alguna vez ha desaparecido una persona ante tus ojos? Sin duda debió ser un truco de ilusionismo impresionante.
Pero no menos impresionante es hacer desaparecer con nuestras propias manos un personaje dibujado en una cartulina. Y volver a hacerlo aparecer a nuestra voluntad.
Y eso es lo que ocurre en un famoso rompecabezas conocido por The Vanishing Leprechaun Puzzle, diseñado por el canadiense Pat Patterson, en el que un duendecillo aparece y desaparece a nuestra voluntad.
Es muy probable que ya hayas visto alguna vez el mencionado enigma, o quizá no. De todas maneras, aquí está:
La tarjeta está partida en tres trozos: uno inferior y dos superiores. Y muestra 15 duendecillos.
Si ahora intercambiamos las dos partes superiores entre sí nos queda la siguiente figura.
En donde hay… ¡14 duendecillos!
¿Cuál ha desaparecido? ¿Adónde ha ido? Y cuando volvemos las tarjetas a su posición inicial y regrese… ¿de dónde habrá venido?
Y no es la unica paradoja de desaparición de personas, pues existen otras versiones, como, por ejemplo, la siguiente imagen animada:
En ésta se nos muestran 13 muchachos, que se convierten en 12 al realizar el cambio.
get off the earth puzzle
Pero no todas son lineales, también las hay circulares como Get off the earth puzzle, una de las paradojas ópticas más populares, inventada por el creador de enigmas y acertijos estadounidense Sam Loyd, en 1898.
El rompecabezas muestra varios guerreros chinos dibujados en el borde de un disco de cartulina. Este disco se sujeta en el centro de otro pedazo más grande de cartulina de forma que una parte de cada guerrero está dentro del círculo y la otra está afuera. El disco de cartulina se sujeta con un pasador de hojas o un alfiler, de tal forma que pueda girarse. Cuando el disco se rota de su posición inicial (N.E.) a su segunda posición (N.W.), pasamos de 13 guerreros a 12. ¡Uno de los guerreros desaparece!
¿Adónde se fue el chino que falta? ¿De dónde regresa más tarde?
Pero ya está bien de plantear desvanecimientos y apariciones y veamos qué ocurre, cuál es la explicación del fenómeno. Para ello hacemos lo siguiente:
Trazamos sobre una ficha de cartulina, con escuadra y cartabón, 10 rectas paralelas con el mismo margen de separación entre ellas.
Cortamos la ficha a lo largo de la línea de puntos, es decir, a lo largo de su diagonal.
Deslizamos la mitad inferior hacia la izquierda y abajo.
Ahora, al contar las líneas, comprobamos que solamente hay 9. Una de ellas ha desaparecido, pero carece de sentido preguntarnos cuál de ellas ha sido la que se ha desvanecido. La realidad es que las 10 rectas iniciales quedaron repartidas en 18 trozos al cortarlas por la diagonal de la ficha, y no en 20 como sería de esperar. Y esto es así porque un extremo de la primera línea coincide con la diagonal, de tal manera que no la parte en dos. Igual que ocurre con la última.
Y esos 18 trozos han sido reagrupados en un nuevo conjunto de 9 líneas, cada una de las cuales es, evidentemente, 1/9 más larga que cada una de las diez anteriores.
Si volvemos a deslizar otra vez la pieza inferior, pero esta vez hacia arriba, aparece de nuevo la décima línea, que son ahora 1/10 más cortas de lo que lo eran antes.
Igual ocurre con los duendecillos. Cuando son 15, cada uno de ellos es 1/15 más bajo que cuando sólo hay 14. No se puede detectar cuál de los 15 se esfuma porque el conjunto de 14 duendecillos es un grupo totalmente distinto del otro.
Claro que no realizamos un deslizamiento como el descrito con los duendes. Lo que ocurre es que están hábilmente mezclados para que se produzca el mismo efecto al intercambiar las dos mitades superiores. En realidad, ocurre lo mismo que si hiciésemos el siguiente deslizamiento.
Multiplicación gráfica
Todo el machaquín de las tablas de multiplicar, dos por tres, siete por cinco, rápido, ocho por cuatro, seis por tres, ¿ya te sabes la del nueve?… Una infancia de memorización matemática y ahora resulta que se puede multiplicar gráficamente.
Claro que el método sólo es operativo con números de pocas cifras y mejor si son números bajos. No es que no funcione, que sí que lo hace, sino que en caso contrario se forma un cacao de no te menees.
Pero no deja de ser curioso, y mucho, que se pueda multiplicar sin utilizar las tablas.
¿Qué cualquiera lo hace? Ah sí, claro, con la calculadora. Pero con el siguiente video aprenderemos ha multiplicar sin usar las tablas ni la calculadora.
link: http://www.youtube.com/watch?v=JQ6wOPfMK9I&feature=player_embedded
Pensá en un número
Vamos a ver ahora uno de esos juegos matemáticos de resultado sorprendente y el porqué de su funcionamiento. Así podremos sorprender al personal tanto jugándolo como explicándolo posteriormente.
Hay unos sencillos cálculos mentales que debemos exigir a nuestro interlocutor. Son los siguientes:
Piensa un número del 1 al 9.
Multiplícalo por 9.
Suma los dígitos del producto.
Al resultado le restas 5.
Ahora hacemos corresponder una letra a cada número de esta manera: el 1 es la A, el 2 la B, el 3 la C, el 4 la D, el 5 la E…
Una vez ha realizado la transferencia le hacemos las siguientes peticiones:
Piensa en un país cuyo nombre empiece con esa letra.
Piensa en un animal cuyo nombre empiece con la segunda letra del país en que pensaste.
¿Ya está todo? Bien. Ahora es el momento de anunciar que sabemos el país y el animal en que ha pensado. ¿Ya has realizado también tú los cálculos?
Pues el país y el animal en que has pensado y en que han pensado tus interlocutores es para todos los mismos: DINAMARCA e IGUANA.
¿Es así? ¿Acerté? Piensa que en el 99% de los casos así será.
¿Y por qué? ¿Cómo es eso?
Primero hay un truco matemático y es que cualquier número multiplicado por 9 da un número tal que, si sumamos sus cifras, da 9 o múltiplo de 9. Al limitar el número pensado a una cifra nos aseguramos que la suma nos dará siempre 9.
Ahora hacemos que al número 9 —resultado que invariablemente nos dará el punto 4 si no ha hbido ningún error de cálculo— se le reste 5, con la única intención de que el resultado sea el 4, el que corresponde a la letra D.
¿Y eso por qué? Porque solamente hay dos países en el mundo cuyo nombre empiece por la letra D: Dinamarca y Djibouti, y es el primero de éstos el que más rápidamente acude a nuestra mente.
Después la segunda letra de Dinamarca es la I, y animales que empiecen con la letra I tenemos la iguana, el ibis… y poco más.
De todas maneras, si solicitas que piensen rápidamente, lo más fácil es que les venga a la mente la iguana. Claro que siempre hay alguien al que sus procesos mentales le llevan a Djibouti, al ibis o a otra respuesta correcta y no prevista. Por eso lo del 99%.
La cinta de Möbius
La geometría no euclídea, o mejor dicho, las geometrías no euclídeas, que trabajan en campos más abstractos que la geometría euclídea o convencional y sobre superficies y espacios matemáticos en ocasiones de más tres dimensiones, nos plantean a menudo cuestiones sorprendentes que parecen escapar a toda lógica.
Un ejemplo de ello es la cinta de Möbius, introducida casi simultáneamente en 1858 por dos matemáticos alemanes, August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing, y que fue el primer ejemplo de variedad no orientable.
Para construir una cinta de Möbius como la de la imagen nada más sencillo que unir los extremos de una cinta, pero no formando un aro como sería lo más natural, sino efectuando una torsión, es decir, dotando a uno de los extremos de un giro de 180º de tal manera que pegamos el lado exterior de un extremo de la cinta sobre el lado exterior del otro extremo.
La cinta así obtenida presenta las siguientes particularidades:
No tiene dos bordes, tan solo uno. Fácilmente verificable siguiendo el borde con el dedo.
No tiene dos lados, solamente uno. Fácilmente verificable trazando una línea a bolígrafo siguiendo la única cara.
Si se corta la cinta longitudinalmente por la mitad no se obtienen dos cintas del mismo tamaño como sería de esperar, sino ¡una sola cinta el doble de grande!
Si se repite el proceso y se corta de nuevo la cinta resultante longitudinalmente por la mitad ¿se obtienen dos cintas iguales? ¿se obtiene una el doble de larga? pues no, se obtienen dos cintas iguales pero… ¡enlazadas!
Una nueva cinta de Möbius, pero ahora no la cortamos por la mitad, el corte ha de ser longitudinal, como siempre, pero a un tercio del borde derecho. Se comienza a cortar y no se pierde de vista el margen derecho hasta que se llega al punto de inicio del corte. Ahora obtenemos también dos cintas entrelazadas, pero ¡una es de doble tamaño que la otra!
Sorprendente ¿no?
También se puede experimentar dando 2 medias vueltas a la cinta antes de unirla (aunque así no sea una cinta de Möbius), 3 medias vueltas, 5 medias vueltas…
En el siguiente vídeo se pueden ver varios de los experimentos aquí relatados y cómo se obtienen tres cintas entrelazadas si partimos de una cinta con 2 vueltas.
link: http://www.youtube.com/watch?v=hhPIryar6mA
Nota sabionda: Se denomina geometría no euclídea a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los postulados de la geometría convencional formulada por Euclides. El primer ejemplo de geometría no euclídea fue la geometría hiperbólica, construida independientemente por varios autores a principios del siglo XIX.
Nota sabionda: Una variedad es el objeto geométrico estándar en matemáticas, que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) o superficie (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos variados (no forzosamente el de los números reales). En las variedades de dos y más dimensiones un criterio importante es determinar si tal variedad admite una orientación espacial significativa.
Yapa, una lista de 'actividades' curiosas
ACTIVIDAD 1
Descomponer números
*Uno de los mayores entretenimientos matemáticos es el dedescomponer un cierto número de varias formas.
Por ejemplo, ¿sabías que el número 1729 es el primernúmero que se descompone como suma de dos cubos perfectos, de dos maneras distintas?.
Efectivamente, puedes comprobar que 1729=103+93=123+13
*Prueba tu habilidad con los números:
a)¿Sabrías escribir el número 10 dedos formas distintas empleando cuatro nueves?
b)¿Sabrías escribir el número 100 decuatro modos distintos empleando cinco cifras iguales?.
Ejemplo:100=111-11.
c)¿Puedes escribir el número 30 contres treses?. ¿Y con tres seises?. ¿Y con tres cincos?.
Solución
ACTIVIDAD 2
Problema de las edades
Dos amigos mantienen esta conversación:
-¿Cuántos años tienen ya tus tres hijos?-pregunta elprimero.
-Seguro que lo aciertas -contesta el segundo-. El productodel número de años que tienen es 36 y su suma es igual al número de tu casa.
-Me falta un dato -dice el primero transcurrido un instante.
-Ah, ¡es verdad! -reconoce el segundo-. La mayor toca elpiano.
¿Sabrías decir las edades de los tres hijos?.
Solución
ACTIVIDAD 3
Jugando con números
Te planteo este sencillo juego.
-Escribe un número de tres cifras distintas.(Por ejemplo136.)
-Escríbelo en orden inverso (631).
-Resta del mayor el menor (631-136=495)
-Si tu me dices la cifra de las unidades, yo adivino elvalor de la resta.
¿Crees que es posible?.
Solución
ACTIVIDAD 4
Seguimos jugando con números
-Piensa un número de tres cifras y escríbelo.
-Escribe el mismo número a continuación del anterior.Habrás obtenido un número de seis cifras.
-Comprueba si ese número es divisible entre 7 haciendo laoperación.
-Averigua si el nuevo cociente es divisible entre 11.Divídelo.
-Divide el nuevo cociente entre 13.
-¿Has obtenido como cociente el número pensado?
Solución
ACTIVIDAD 5
La herencia del Jeque
Un Jeque árabe tenía tres hijos y les dejó al morir 17camellos, con el mandato expreso de que habían de repartirlos sin matar ningúncamello, y de la manera siguiente: El mayor recibirá la mitad; el segundo, la terceraparte, y el menor, la novena parte.
Los hijos del Jeque, al querer hacer el reparto,se dieroncuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había mas remedio quedescuartizar algunos camellos. Acudieron al cadí, y éste les pidió un día parapensarlo. Pasado ese día, acudió el cadí con un camello suyo y lo unió al grupo de los17 camellos, y propuso que se procediera a cumplir la voluntad del Jeque sobre estaherencia aumentada. Así, el mayor tomó 9 camellos; el segundo, 6, y el menor, 2. Alterminar el reparto el cadí volvió a llevarse su camello y dejó a los tres hermanoscontentos.
Explica la Solución dada por el cadí.
Solución
ACTIVIDAD 6
Números consecutivos
a)¿Es posible generar todos los números entre 1 y 30, porsuma de números consecutivos?. Por ejemplo:
6=1+2+3
9=4+5
23=11+12
b)¿Cuáles son los números que pueden generarse porsuma de 2 consecutivos?
c)¿Cuáles pueden generarse por suma de 3 consecutivos?
d)¿Es posible generar un número entre 1 y 30 por adiciónde 4 consecutivos?
e)¿Es posible predecir qué números entre 1 y 100 puedengenerarse sumando números consecutivos?
Solución
ACTIVIDAD 7
Los sacos de monedas
En un banco hay 7 sacos de monedas de curso legal, de unmismo valor, cada una de las cuales pesa 10 gramos. Un empleado, por error, hadejado junto a estos sacos otro saco de monedas falsas pero idénticas en todo menos enel peso, ya que pesan un gramo menos que las auténticas. ¿Cómo se podrá averiguarcuál es el saco de las monedas falsas haciendo una sola pesada?.
Solución
ACTIVIDAD 8
Más monedas
Aquí tenemos otro problema de monedas que aunque puedaparecer igual que el anterior no lo es, si bien tiene cierta similitud.
Por descuido, un coleccionista de monedas ha mezclado unamoneda falsa con otras ocho monedas de curso legal. Las nueve monedas son idénticas,salvo en el detalle de que la falsa pesa unos centigramos menos que las otras. Elcoleccionista dispone de una balanza muy sensible y se prepara para pesar las monedas yasí poder apartar la falsa, sin emplear pesas. ¿Cuál será el número mínimo depesadas que deberá hacer para conseguir su propósito?.
Solución
ACTIVIDAD 9
Los cuadrados mágicos
Los cuadrados mágicos están formados por númeroscolocados de tal forma que las sumas de estos números en filas, columnas y diagonales soniguales, esta suma común se llama número mágico.
El cuadrado mágico representado por Alberto Durero en sucélebre grabado "Melancolía" fue descubierto en las ruinas de la ciudad deKhajuraho (siglos X y XI), en la India.
Tal vez Durero eligió este cuadrado porque los dos números centrales de la última fila coinciden con la fecha de ejecución del grabado: 1514
¿Sabrías encontrar mas cuadrados mágicos similares a este?
Solución
ACTIVIDAD 10
El matemático ignorante
En las aulas de cierta facultad de Matemáticas, nos podemosencontrar a un extraño personaje. Cierto día, me confesó que tan sólo sabíamultiplicar y dividir por 2.
- A pesar de todo, me dijo, puedo multiplicar rápidamentenúmeros de dos cifras.
Le propuse que multiplicara 75 por 38.
Tomó una hoja de papel y escribió a la izquierda 75 y a laderecha 38. Luego inició sus cálculos:
- La mitad de 75 es 37, ¿no es así?.
- No -le dije- es 37'5.
- De acuerdo, pero no sé trabajar con decimales, así queno los pongo.
Escribió 37 y, repitiendo el proceso,dividió por dos y obtuvo, a pesar de mis protestas, 18, 9, 4, 2 y finalmente 1.
Después multiplicó 38 por dos. El resultado, 76, loescribió en la fila inferior. Volvió a multiplicar por dos y obtuvo 152, 304, 608, 1216y 2432.
Al final tenía escrito,
75
38
37
76
18
152
9
304
4
608
2
1216
1
2432
Me dijo que los números pares de la columna de la izquierdano servían de nada, así que los tachó (junto con el número que tenían a su derecha)con lo que quedó
75
38
37
76
9
304
1
2432
Sumando los números de la columna de la derecha obtuvo:38+76+304+2432=2850, que es el resultado correcto. Probé con otros números y tambiénfuncionaba el método.
¿Sabrías dar una explicación matemática?.
Solución
ACTIVIDAD 11
Jugando con doses
¿Puedes escribir todos los números del cero al diez utilizando cinco doses, y los signos +, -, x, /, además del paréntesis?.
Puedes empezar así 0= 2 - 2/2 - 2/2
Solución
ACTIVIDAD 12
El problema de los puentes de Königsberg
En el siglo XVIII había en la ciudad de Königsberg (situada en la antigua Prusia, hoy Kaliningrado, perteneciente a Rusia) siete puentes que conectaban cada una de las orillas del río Pregel con dos islas interiores. Los ciudadanos estaban muy orgullosos de sus puentes y bromeaban sobre la posibilidad de recorrerlos todos pasando una sola vez por cada uno de ellos.
¿És esto posible?.
Solución
ACTIVIDAD 13
Una adivinanza
Augustus de Morgan (¿-1871) fue un matemático inglésnacido en la India. Acostumbraba a recrearse en el planteamiento de adivinanzas yproblemas ingeniosos. Este personaje nacido en el siglo XIX, planteaba esta adivinanzasobre su edad: "El año x2 tenía x años. ¿En qué año nací?".
Solución
ACTIVIDAD 14
El tercer milenio
En el siglo VII el Papa encargó al monjebenedictino Dionís que fijase la fecha de nacimiento de Cristo. Este frailecalculó que Jesucristo había nacido el año 754 después de la fundación deRoma. Tomó como fecha de inicio el día que fue circuncidado y lo llamó 1 deenero del año 1. No dijo del año 0 porque esta cifra no se utilizaba enoccidente en aquella época.
¿El tercer milenio comienza el 1 de enero del2000?.
Solución
ACTIVIDAD 15
Adivina la edad
Puedes adivinar la edad de una persona y el mes en que nació si hacesque piense en el número del mes de nacimiento (enero=1, febrero=2, ...) ydespués le pides que lo multiplique mentalmente por 2 y le sume 5 al resultado.Después debe multiplicar el resultado que ha obtenido por 50 y sumarle su edad.Haz que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente,réstale 250. El número obtenido tendrá 3 o 4 cifras. Las dos cifras de laderecha son las de la edad, y las de la izquierda son el número del mes denacimiento. ¿Sabrías decir porqué es así?.
Solución
ACTIVIDAD 16
Criptograma
Intenta determinar el valor de cada una de las letras:
D O S
D O S
D O S + D O S ---------- O C H O
Solución
ACTIVIDAD 17
Cuadrado
En un cuadrado debemos colocar los números del 1 al 9sin repetirse ninguno (uno en cada cuadro). Disponemos de las siguientes pistas:
- Los vecinos del 1 suman 15
- Los vecinos del 2 suman 6
- Los vecinos del 4 suman 23
- Los vecinos del 5 suman 16
- Sobre los vecinos del 6,7,8, y 9 no tenemos datos.
Un número es vecino de otro solo si la casilla en la queeste está comparte alguno de sus lados con el otro.
¿ Qué númeroocupará la casilla central?
Solución
Algunos trucos o juegos de adivinación tienen base matemática. Así es que funcionan siempre y no es necesaria ninguna habilidad especial o entrenamiento para realizarlos con corrección.
Por contra no es recomendable hacerlos más de una vez al mismo público, si no queremos que el truco se haga obvio y se esfume el efecto “mágico”.
A continuación veremos un par de ellos.
Entregamos una guía telefónica y anunciamos que vamos a predecir una entrada de esta guía. Acto seguido, tras fingir concentración, escribimos nombre y teléfono en una hoja de papel, la doblamos y la introducimos en un sobre que dejaremos a la vista de todos. Ahora pediremos que alquien escriba en otro papel un número de tres cifras que cumpla las siguientes condiciones: que sus cifras no se repitan y que no contenga el cero.
Luego pediremos que invierta el oden de esas cifras y que reste al número más alto el más bajo. Supongamos que el número escogido fue el 731, entonces el número con las cifras invertidas es el 137 y la diferencia es 731-137=594.
Ahora solicitamos que sumen todas las cifras. En nuestro ejemplo 5+9+4=18. Por supuesto los cálculos son secretos, nosotros no necesitamos conocer ni esos números ni el resultado de las operaciones.
Pedimos que se abra el listín telefónico esa página, por la página 18. Ahora se deben sumar ambas cifras y localizar esa entrada. En nuestro ejemplo 1+8=9. Es decir, la entrada escogida es el noveno teléfono de la página 18.
Indicamos que abran el sobre y… ¡el nombre y número de teléfono que anotamos es el mismo!
Efectista, sin duda. Y más sencillo todavía. El truco consiste en que sea cual sea el número escogido, las operaciones matemáticas nos remitirán al número 18.
Por eso comentaba de hacerlo una sola vez y no ceder ante la insistencia de su repetición.
El siguiente consiste en presentar una tarjeta u hoja de papel con los números de 1 al 16 anotados igual que en la imagen. Ahora entregamos esa hoja a alguien de nuestro público y le pedimos que rodee uno de esos números con un círculo. Sin devolvernos la tarjeta le pedimos que la pase a otro espectador para que haga lo mismo, pero con la condición de que el número que señale no corresponda a la misma fila o columna que el anterior. Si recoger la hoja, pedimos que un tercer espectador haga lo mismo, rodear un número con un círculo, de tal manera que no pertenezca ni a las filas ni a las columnas de los elegidoa anteiormente. Por último, el cuarto espectador no podrá hacer otra cosa que rodear con un círculo el único número que quede.
Mientras se llevan a cabo estas operaciones, simulamos concentración y el estar realizando cálculos cambiantes. Cuando ya hayan sido escogidos los cuatro números anotamos un número en otro hoja o tarjeta y la depositamos boca abajo en la mesa a la vista de todos. Ahora pedimos que alguien sume esos cuatro números y diga el resultado en voz alta. Luego le pedimos que voltee nuestra tarjeta y el resultado… ¡es el mismo!
El número que escribimso es el 34. La suma de cuatro números de la tarjeta escogidos de la manera propuesta es siempre 34.
Matemáticas Fáciles
Las tablas de multiplicar? ¡qué suplicio memorístico!
Una vez aprendidas ya no se olvidan, pero a los niños les cuesta mucho esfuerzo aprenderlas.
Seguro que a más de uno le habría sido útil en su momento el truco que vamos a ver a continuación y que hace referencia a una de las más difíciles tablas de multiplicar: la del nueve.
Para llevar a cabo este sencillo método basta con poner las dos manos en la mesa, con las palmas hacia abajo (o hacia arriba) y separando un poco los dedos.
Supongamos que las hemos puesto con las palmas hacia abajo, así que al asignar un número del 1 al 10 a cada dedo quedaría como en la imagen:
meñique izquierdo=1
anular izquierdo=2
?
meñique derecho=10
Pues bien, para realizar la multiplicación del número 9 por cualquiera de los primeros 10 números basta con seleccionar el dedo correspondiente a ese número (separándolo de la mesa, doblándolo o manteniéndolo en contacto con la mesa mientras los otros no?), entonces el número de dedos que quede a su izquierda se corresponderá a las decenas del resultado y el número de dedos que quede a su derecha corresponderá a las unidades.
¿Cómo? Veamos un ejemplo.
Supongamos que queremos multiplicar 7×9. El 7 se corresponde con el dedo índice de la mano derecha. A su izquierda hay 6 dedos y a su derecha 3. El resultado es, pues, 63.
¿El método te ha sorprendido? Prueba a explicárselo a un niño que se encuentre en pleno proceso de aprendizaje de las tablas de multiplicar. Para sorpresa la que se pinta en su rostro.
Cálculos interesantes
Son legión los juegos de adivinación con números. Todos ellos basados en operaciones matemáticas y sorprendentes descubrimientos.
Vamos a ver uno de ellos a continuación, para poder hacerlo a los amigos y sorprenderlos.
Por supuesto que, una vez analizado, es de una sencillez abrumadora, pero de entrada las operaciones desconciertan y el resultado es sorprendente.
Para llevarlo a cabo comunicaremos a nuestro interlocutor que va a realizar unas sencillas operaciones matemáticas, pero que tienen que estar bien hechas para que el juego funcione. Le daremos papel y lápiz o una calculadora para que ejecute los cálculos.
Debe hacer lo siguiente:
escribir el número de calzado que gasta
multiplicarlo por 2
sumarle 5
multiplicar el resultado por 50
restar al número obtenido el año de su nacimiento
sumar al número obtenido 1758
El resultado final es un número de cuatro cifras: las dos primeras indican su número de calzado y las segundas su edad.
Veamos un ejemplo calzando un 40 y habiendo nacido en el año 1948:
40×2=80
80+5=85
85×50=4250
4250-1948=2302
2302+1758=4060 (calza un 40 y tiene 60 años)
Veamos ahora la explicación:
El número de calzado se multiplica por 2 y luego por 50, lo que equivale a multiplicarlo por 100. Con ello se consigue colocar el número de calzado en las unidades de millar y en las centenas (las dos primeras cifras) y que las las otras dos sean cero. Claro que también tenemos un 5 que al multiplicarlo por 50 nos da 250, pero ya nos ocuparemos de él más adelante.
Si al año actual se le resta el del nacimiento se obtiene la edad. Entonces si a un número se le suma el año actual y se le resta el del nacimiento y luego se resta el número original queda de nuevo la edad, lógicamente. Como la edad será cuestión de dos cifras podemos obviar la cifra inicial (tenerla en cuenta y luego restarla) si el número origen en cuestión es múltiplo de 100.
Para que la maniobra no sea tan evidente entra en juego el 250 anterior. Y lo hace de la siguiente manera: año actual-250=cifra a sumar. Como estamos en el 2008, se ha de sumar 1758.
De hecho es este número 5 convertido en 250 el que hace que la maniobra no sea obvia.
Una aclaración final: las dos últimas cifras señalan la edad a cumplir en el presente año, así que puede que no se tenga la edad si el juego se realiza antes del cumpleaños. Así que es conveniente aclarar al final del juego que las dos últimas cifras señalan la edad cumplida o a cumplir en el presente año.
Predicción
De nuevo un truco con una baraja. En esta ocasión se trata de predecir la carta que resultará elegida tras unas manipulaciones que realizará totalmente nuestro interlocutor.
El truco resulta mucho más efectivo si lo realizamos con una baraja española que nos presten en ese momento, puesto que eliminará suspicacias y nos proporcionará una estupenda excusa para comprobar la baraja (que esté completa, que tenga ochos y nueves o no los tenga…). Si la baraja es nuestra también podemos comprobarla tras hacer que la barajen, diciendo que queremos ver que estén bien mezcladas.
Más adelante veremos qué es lo que en realidad comprobamos, pero antes la exposición del efecto.
Se pide que barajen y corten la baraja tantas veces y tanto rato como crean necesario, incluso por parte de varias personas.
Cogemos la baraja y pasamos despreocupadamente las cartas para comprobar qué tipo de baraja es, si tiene ochos y nueves, si está completa…
Devolvemos la baraja a nuestro interlocutor y le pedimos que la corte en dos partes aproximadamente iguales y que mantenga la superior en sus manos.
Adoptamos una pose pensativa, como si meditásemos y escribimos secretamente el nombre de una carta en un papel, lo doblamos y lo dejamos en la mesa a la vista de todos.
Pedimos que retire tres cartas cualquiera del paquete que tiene en las manos y que el resto lo coloque sobre la mitad inferior que ya estaba en la mesa.
Ahora debe colocar esas tres cartas boca arriba sobre la mesa.
Le pedimos que coja todo el montón de cartas y que coloque sobre cada una de las cartas que están vueltas sobre la mesa, tantos naipes como van desde el número de la carta hasta doce. Es decir, si la carta es un 5 por ejemplo, deberá ir poniendo encima 7 cartas una a una e irlas contando en voz alta: seis, siete, ocho… si fuera un 2 debería poner 10 y si fuera un 12 ninguna.
Ahora deberá sumar los números de las tres primeras cartas. Si por ejemplo eran un 6, un 3 y un 8, la suma es de 17.
Le pedimos que busque por encima de la baraja la carta que se corresponda con la suma y que la deje aparte, bocabajo. En el caso del ejemplo será la decimoséptima.
Hacemos notar que no hemos tocado para nada la baraja y que todas las manipulaciones han sido realizadas por otra persona. Que las cartas han sido elegidas libremente, que era imposible predecir el valor de su suma y que lo era aún más conocer el naipe que se encontraría en tal posición. Pero que, gracias a los poderes de la mente, ha sido posible realizar la predicción.
Se pide que se gire la carta, que se desdoble el papelito y que se compruebe que en el papel… ¡hemos anotado la carta elegida!
¿Y cómo hemos hecho eso? Pues muy fácil, porque se trata de un efecto mecánico que no requiere de orden preliminar en las cartas. La única condición es que la baraja esté completa. En caso de duda, es preciso contar las cartas antes de empezar el juego.
Si lo hacemos con el dorso hacia arriba podemos aprovechar para hacer nuestra comprobación. ¿Y cuál es la comprobación que antes dejamos para el final y que se corresponde con el punto número 2?
Pues si la baraja es de 48 cartas lo que hacemos es fijarnos en la que ocupa la décima posición mirándola cara arriba (la 39 mirándola por el dorso) y ésa será la carta objeto de la predicción, la que debemos anotar en el papelito y la que se elegirá tras todas las manipulaciones.
Si faltan cartas en la baraja, el número de cartas que falte se deberá restar de 10. Así que si faltan 3, deberemos visualizar la séptima por delante.
Si la baraja es de 40 cartas (sin ochos ni nueves) la carta a memorizar es la segunda.
Si le faltan más de dos cartas no se puede hacer el juego, así como si le faltan más de diez a la baraja completa.
Misteriosa desaparición
¿Alguna vez ha desaparecido una persona ante tus ojos? Sin duda debió ser un truco de ilusionismo impresionante.
Pero no menos impresionante es hacer desaparecer con nuestras propias manos un personaje dibujado en una cartulina. Y volver a hacerlo aparecer a nuestra voluntad.
Y eso es lo que ocurre en un famoso rompecabezas conocido por The Vanishing Leprechaun Puzzle, diseñado por el canadiense Pat Patterson, en el que un duendecillo aparece y desaparece a nuestra voluntad.
Es muy probable que ya hayas visto alguna vez el mencionado enigma, o quizá no. De todas maneras, aquí está:
La tarjeta está partida en tres trozos: uno inferior y dos superiores. Y muestra 15 duendecillos.
Si ahora intercambiamos las dos partes superiores entre sí nos queda la siguiente figura.
En donde hay… ¡14 duendecillos!
¿Cuál ha desaparecido? ¿Adónde ha ido? Y cuando volvemos las tarjetas a su posición inicial y regrese… ¿de dónde habrá venido?
Y no es la unica paradoja de desaparición de personas, pues existen otras versiones, como, por ejemplo, la siguiente imagen animada:
En ésta se nos muestran 13 muchachos, que se convierten en 12 al realizar el cambio.
get off the earth puzzle
Pero no todas son lineales, también las hay circulares como Get off the earth puzzle, una de las paradojas ópticas más populares, inventada por el creador de enigmas y acertijos estadounidense Sam Loyd, en 1898.
El rompecabezas muestra varios guerreros chinos dibujados en el borde de un disco de cartulina. Este disco se sujeta en el centro de otro pedazo más grande de cartulina de forma que una parte de cada guerrero está dentro del círculo y la otra está afuera. El disco de cartulina se sujeta con un pasador de hojas o un alfiler, de tal forma que pueda girarse. Cuando el disco se rota de su posición inicial (N.E.) a su segunda posición (N.W.), pasamos de 13 guerreros a 12. ¡Uno de los guerreros desaparece!
¿Adónde se fue el chino que falta? ¿De dónde regresa más tarde?
Pero ya está bien de plantear desvanecimientos y apariciones y veamos qué ocurre, cuál es la explicación del fenómeno. Para ello hacemos lo siguiente:
Trazamos sobre una ficha de cartulina, con escuadra y cartabón, 10 rectas paralelas con el mismo margen de separación entre ellas.
Cortamos la ficha a lo largo de la línea de puntos, es decir, a lo largo de su diagonal.
Deslizamos la mitad inferior hacia la izquierda y abajo.
Ahora, al contar las líneas, comprobamos que solamente hay 9. Una de ellas ha desaparecido, pero carece de sentido preguntarnos cuál de ellas ha sido la que se ha desvanecido. La realidad es que las 10 rectas iniciales quedaron repartidas en 18 trozos al cortarlas por la diagonal de la ficha, y no en 20 como sería de esperar. Y esto es así porque un extremo de la primera línea coincide con la diagonal, de tal manera que no la parte en dos. Igual que ocurre con la última.
Y esos 18 trozos han sido reagrupados en un nuevo conjunto de 9 líneas, cada una de las cuales es, evidentemente, 1/9 más larga que cada una de las diez anteriores.
Si volvemos a deslizar otra vez la pieza inferior, pero esta vez hacia arriba, aparece de nuevo la décima línea, que son ahora 1/10 más cortas de lo que lo eran antes.
Igual ocurre con los duendecillos. Cuando son 15, cada uno de ellos es 1/15 más bajo que cuando sólo hay 14. No se puede detectar cuál de los 15 se esfuma porque el conjunto de 14 duendecillos es un grupo totalmente distinto del otro.
Claro que no realizamos un deslizamiento como el descrito con los duendes. Lo que ocurre es que están hábilmente mezclados para que se produzca el mismo efecto al intercambiar las dos mitades superiores. En realidad, ocurre lo mismo que si hiciésemos el siguiente deslizamiento.
Multiplicación gráfica
Todo el machaquín de las tablas de multiplicar, dos por tres, siete por cinco, rápido, ocho por cuatro, seis por tres, ¿ya te sabes la del nueve?… Una infancia de memorización matemática y ahora resulta que se puede multiplicar gráficamente.
Claro que el método sólo es operativo con números de pocas cifras y mejor si son números bajos. No es que no funcione, que sí que lo hace, sino que en caso contrario se forma un cacao de no te menees.
Pero no deja de ser curioso, y mucho, que se pueda multiplicar sin utilizar las tablas.
¿Qué cualquiera lo hace? Ah sí, claro, con la calculadora. Pero con el siguiente video aprenderemos ha multiplicar sin usar las tablas ni la calculadora.
link: http://www.youtube.com/watch?v=JQ6wOPfMK9I&feature=player_embedded
Pensá en un número
Vamos a ver ahora uno de esos juegos matemáticos de resultado sorprendente y el porqué de su funcionamiento. Así podremos sorprender al personal tanto jugándolo como explicándolo posteriormente.
Hay unos sencillos cálculos mentales que debemos exigir a nuestro interlocutor. Son los siguientes:
Piensa un número del 1 al 9.
Multiplícalo por 9.
Suma los dígitos del producto.
Al resultado le restas 5.
Ahora hacemos corresponder una letra a cada número de esta manera: el 1 es la A, el 2 la B, el 3 la C, el 4 la D, el 5 la E…
Una vez ha realizado la transferencia le hacemos las siguientes peticiones:
Piensa en un país cuyo nombre empiece con esa letra.
Piensa en un animal cuyo nombre empiece con la segunda letra del país en que pensaste.
¿Ya está todo? Bien. Ahora es el momento de anunciar que sabemos el país y el animal en que ha pensado. ¿Ya has realizado también tú los cálculos?
Pues el país y el animal en que has pensado y en que han pensado tus interlocutores es para todos los mismos: DINAMARCA e IGUANA.
¿Es así? ¿Acerté? Piensa que en el 99% de los casos así será.
¿Y por qué? ¿Cómo es eso?
Primero hay un truco matemático y es que cualquier número multiplicado por 9 da un número tal que, si sumamos sus cifras, da 9 o múltiplo de 9. Al limitar el número pensado a una cifra nos aseguramos que la suma nos dará siempre 9.
Ahora hacemos que al número 9 —resultado que invariablemente nos dará el punto 4 si no ha hbido ningún error de cálculo— se le reste 5, con la única intención de que el resultado sea el 4, el que corresponde a la letra D.
¿Y eso por qué? Porque solamente hay dos países en el mundo cuyo nombre empiece por la letra D: Dinamarca y Djibouti, y es el primero de éstos el que más rápidamente acude a nuestra mente.
Después la segunda letra de Dinamarca es la I, y animales que empiecen con la letra I tenemos la iguana, el ibis… y poco más.
De todas maneras, si solicitas que piensen rápidamente, lo más fácil es que les venga a la mente la iguana. Claro que siempre hay alguien al que sus procesos mentales le llevan a Djibouti, al ibis o a otra respuesta correcta y no prevista. Por eso lo del 99%.
La cinta de Möbius
La geometría no euclídea, o mejor dicho, las geometrías no euclídeas, que trabajan en campos más abstractos que la geometría euclídea o convencional y sobre superficies y espacios matemáticos en ocasiones de más tres dimensiones, nos plantean a menudo cuestiones sorprendentes que parecen escapar a toda lógica.
Un ejemplo de ello es la cinta de Möbius, introducida casi simultáneamente en 1858 por dos matemáticos alemanes, August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing, y que fue el primer ejemplo de variedad no orientable.
Para construir una cinta de Möbius como la de la imagen nada más sencillo que unir los extremos de una cinta, pero no formando un aro como sería lo más natural, sino efectuando una torsión, es decir, dotando a uno de los extremos de un giro de 180º de tal manera que pegamos el lado exterior de un extremo de la cinta sobre el lado exterior del otro extremo.
La cinta así obtenida presenta las siguientes particularidades:
No tiene dos bordes, tan solo uno. Fácilmente verificable siguiendo el borde con el dedo.
No tiene dos lados, solamente uno. Fácilmente verificable trazando una línea a bolígrafo siguiendo la única cara.
Si se corta la cinta longitudinalmente por la mitad no se obtienen dos cintas del mismo tamaño como sería de esperar, sino ¡una sola cinta el doble de grande!
Si se repite el proceso y se corta de nuevo la cinta resultante longitudinalmente por la mitad ¿se obtienen dos cintas iguales? ¿se obtiene una el doble de larga? pues no, se obtienen dos cintas iguales pero… ¡enlazadas!
Una nueva cinta de Möbius, pero ahora no la cortamos por la mitad, el corte ha de ser longitudinal, como siempre, pero a un tercio del borde derecho. Se comienza a cortar y no se pierde de vista el margen derecho hasta que se llega al punto de inicio del corte. Ahora obtenemos también dos cintas entrelazadas, pero ¡una es de doble tamaño que la otra!
Sorprendente ¿no?
También se puede experimentar dando 2 medias vueltas a la cinta antes de unirla (aunque así no sea una cinta de Möbius), 3 medias vueltas, 5 medias vueltas…
En el siguiente vídeo se pueden ver varios de los experimentos aquí relatados y cómo se obtienen tres cintas entrelazadas si partimos de una cinta con 2 vueltas.
link: http://www.youtube.com/watch?v=hhPIryar6mA
Nota sabionda: Se denomina geometría no euclídea a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los postulados de la geometría convencional formulada por Euclides. El primer ejemplo de geometría no euclídea fue la geometría hiperbólica, construida independientemente por varios autores a principios del siglo XIX.
Nota sabionda: Una variedad es el objeto geométrico estándar en matemáticas, que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) o superficie (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos variados (no forzosamente el de los números reales). En las variedades de dos y más dimensiones un criterio importante es determinar si tal variedad admite una orientación espacial significativa.
Yapa, una lista de 'actividades' curiosas
ACTIVIDAD 1
Descomponer números
*Uno de los mayores entretenimientos matemáticos es el dedescomponer un cierto número de varias formas.
Por ejemplo, ¿sabías que el número 1729 es el primernúmero que se descompone como suma de dos cubos perfectos, de dos maneras distintas?.
Efectivamente, puedes comprobar que 1729=103+93=123+13
*Prueba tu habilidad con los números:
a)¿Sabrías escribir el número 10 dedos formas distintas empleando cuatro nueves?
b)¿Sabrías escribir el número 100 decuatro modos distintos empleando cinco cifras iguales?.
Ejemplo:100=111-11.
c)¿Puedes escribir el número 30 contres treses?. ¿Y con tres seises?. ¿Y con tres cincos?.
Solución
ACTIVIDAD 2
Problema de las edades
Dos amigos mantienen esta conversación:
-¿Cuántos años tienen ya tus tres hijos?-pregunta elprimero.
-Seguro que lo aciertas -contesta el segundo-. El productodel número de años que tienen es 36 y su suma es igual al número de tu casa.
-Me falta un dato -dice el primero transcurrido un instante.
-Ah, ¡es verdad! -reconoce el segundo-. La mayor toca elpiano.
¿Sabrías decir las edades de los tres hijos?.
Solución
ACTIVIDAD 3
Jugando con números
Te planteo este sencillo juego.
-Escribe un número de tres cifras distintas.(Por ejemplo136.)
-Escríbelo en orden inverso (631).
-Resta del mayor el menor (631-136=495)
-Si tu me dices la cifra de las unidades, yo adivino elvalor de la resta.
¿Crees que es posible?.
Solución
ACTIVIDAD 4
Seguimos jugando con números
-Piensa un número de tres cifras y escríbelo.
-Escribe el mismo número a continuación del anterior.Habrás obtenido un número de seis cifras.
-Comprueba si ese número es divisible entre 7 haciendo laoperación.
-Averigua si el nuevo cociente es divisible entre 11.Divídelo.
-Divide el nuevo cociente entre 13.
-¿Has obtenido como cociente el número pensado?
Solución
ACTIVIDAD 5
La herencia del Jeque
Un Jeque árabe tenía tres hijos y les dejó al morir 17camellos, con el mandato expreso de que habían de repartirlos sin matar ningúncamello, y de la manera siguiente: El mayor recibirá la mitad; el segundo, la terceraparte, y el menor, la novena parte.
Los hijos del Jeque, al querer hacer el reparto,se dieroncuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había mas remedio quedescuartizar algunos camellos. Acudieron al cadí, y éste les pidió un día parapensarlo. Pasado ese día, acudió el cadí con un camello suyo y lo unió al grupo de los17 camellos, y propuso que se procediera a cumplir la voluntad del Jeque sobre estaherencia aumentada. Así, el mayor tomó 9 camellos; el segundo, 6, y el menor, 2. Alterminar el reparto el cadí volvió a llevarse su camello y dejó a los tres hermanoscontentos.
Explica la Solución dada por el cadí.
Solución
ACTIVIDAD 6
Números consecutivos
a)¿Es posible generar todos los números entre 1 y 30, porsuma de números consecutivos?. Por ejemplo:
6=1+2+3
9=4+5
23=11+12
b)¿Cuáles son los números que pueden generarse porsuma de 2 consecutivos?
c)¿Cuáles pueden generarse por suma de 3 consecutivos?
d)¿Es posible generar un número entre 1 y 30 por adiciónde 4 consecutivos?
e)¿Es posible predecir qué números entre 1 y 100 puedengenerarse sumando números consecutivos?
Solución
ACTIVIDAD 7
Los sacos de monedas
En un banco hay 7 sacos de monedas de curso legal, de unmismo valor, cada una de las cuales pesa 10 gramos. Un empleado, por error, hadejado junto a estos sacos otro saco de monedas falsas pero idénticas en todo menos enel peso, ya que pesan un gramo menos que las auténticas. ¿Cómo se podrá averiguarcuál es el saco de las monedas falsas haciendo una sola pesada?.
Solución
ACTIVIDAD 8
Más monedas
Aquí tenemos otro problema de monedas que aunque puedaparecer igual que el anterior no lo es, si bien tiene cierta similitud.
Por descuido, un coleccionista de monedas ha mezclado unamoneda falsa con otras ocho monedas de curso legal. Las nueve monedas son idénticas,salvo en el detalle de que la falsa pesa unos centigramos menos que las otras. Elcoleccionista dispone de una balanza muy sensible y se prepara para pesar las monedas yasí poder apartar la falsa, sin emplear pesas. ¿Cuál será el número mínimo depesadas que deberá hacer para conseguir su propósito?.
Solución
ACTIVIDAD 9
Los cuadrados mágicos
Los cuadrados mágicos están formados por númeroscolocados de tal forma que las sumas de estos números en filas, columnas y diagonales soniguales, esta suma común se llama número mágico.
El cuadrado mágico representado por Alberto Durero en sucélebre grabado "Melancolía" fue descubierto en las ruinas de la ciudad deKhajuraho (siglos X y XI), en la India.
Tal vez Durero eligió este cuadrado porque los dos números centrales de la última fila coinciden con la fecha de ejecución del grabado: 1514
¿Sabrías encontrar mas cuadrados mágicos similares a este?
Solución
ACTIVIDAD 10
El matemático ignorante
En las aulas de cierta facultad de Matemáticas, nos podemosencontrar a un extraño personaje. Cierto día, me confesó que tan sólo sabíamultiplicar y dividir por 2.
- A pesar de todo, me dijo, puedo multiplicar rápidamentenúmeros de dos cifras.
Le propuse que multiplicara 75 por 38.
Tomó una hoja de papel y escribió a la izquierda 75 y a laderecha 38. Luego inició sus cálculos:
- La mitad de 75 es 37, ¿no es así?.
- No -le dije- es 37'5.
- De acuerdo, pero no sé trabajar con decimales, así queno los pongo.
Escribió 37 y, repitiendo el proceso,dividió por dos y obtuvo, a pesar de mis protestas, 18, 9, 4, 2 y finalmente 1.
Después multiplicó 38 por dos. El resultado, 76, loescribió en la fila inferior. Volvió a multiplicar por dos y obtuvo 152, 304, 608, 1216y 2432.
Al final tenía escrito,
75
38
37
76
18
152
9
304
4
608
2
1216
1
2432
Me dijo que los números pares de la columna de la izquierdano servían de nada, así que los tachó (junto con el número que tenían a su derecha)con lo que quedó
75
38
37
76
9
304
1
2432
Sumando los números de la columna de la derecha obtuvo:38+76+304+2432=2850, que es el resultado correcto. Probé con otros números y tambiénfuncionaba el método.
¿Sabrías dar una explicación matemática?.
Solución
ACTIVIDAD 11
Jugando con doses
¿Puedes escribir todos los números del cero al diez utilizando cinco doses, y los signos +, -, x, /, además del paréntesis?.
Puedes empezar así 0= 2 - 2/2 - 2/2
Solución
ACTIVIDAD 12
El problema de los puentes de Königsberg
En el siglo XVIII había en la ciudad de Königsberg (situada en la antigua Prusia, hoy Kaliningrado, perteneciente a Rusia) siete puentes que conectaban cada una de las orillas del río Pregel con dos islas interiores. Los ciudadanos estaban muy orgullosos de sus puentes y bromeaban sobre la posibilidad de recorrerlos todos pasando una sola vez por cada uno de ellos.
¿És esto posible?.
Solución
ACTIVIDAD 13
Una adivinanza
Augustus de Morgan (¿-1871) fue un matemático inglésnacido en la India. Acostumbraba a recrearse en el planteamiento de adivinanzas yproblemas ingeniosos. Este personaje nacido en el siglo XIX, planteaba esta adivinanzasobre su edad: "El año x2 tenía x años. ¿En qué año nací?".
Solución
ACTIVIDAD 14
El tercer milenio
En el siglo VII el Papa encargó al monjebenedictino Dionís que fijase la fecha de nacimiento de Cristo. Este frailecalculó que Jesucristo había nacido el año 754 después de la fundación deRoma. Tomó como fecha de inicio el día que fue circuncidado y lo llamó 1 deenero del año 1. No dijo del año 0 porque esta cifra no se utilizaba enoccidente en aquella época.
¿El tercer milenio comienza el 1 de enero del2000?.
Solución
ACTIVIDAD 15
Adivina la edad
Puedes adivinar la edad de una persona y el mes en que nació si hacesque piense en el número del mes de nacimiento (enero=1, febrero=2, ...) ydespués le pides que lo multiplique mentalmente por 2 y le sume 5 al resultado.Después debe multiplicar el resultado que ha obtenido por 50 y sumarle su edad.Haz que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente,réstale 250. El número obtenido tendrá 3 o 4 cifras. Las dos cifras de laderecha son las de la edad, y las de la izquierda son el número del mes denacimiento. ¿Sabrías decir porqué es así?.
Solución
ACTIVIDAD 16
Criptograma
Intenta determinar el valor de cada una de las letras:
D O S
D O S
D O S + D O S ---------- O C H O
Solución
ACTIVIDAD 17
Cuadrado
En un cuadrado debemos colocar los números del 1 al 9sin repetirse ninguno (uno en cada cuadro). Disponemos de las siguientes pistas:
- Los vecinos del 1 suman 15
- Los vecinos del 2 suman 6
- Los vecinos del 4 suman 23
- Los vecinos del 5 suman 16
- Sobre los vecinos del 6,7,8, y 9 no tenemos datos.
Un número es vecino de otro solo si la casilla en la queeste está comparte alguno de sus lados con el otro.
¿ Qué númeroocupará la casilla central?
Solución
Fuentes de Información
El contenido del post es de mi autoría, y/o, es un recopilación de distintas fuentes.
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