Cuando Los Limites tienden a infinito(teoria)
Caso 1Si el numerador (el de arriba) tiene el exponente más grande, entonces el límite tiende a infinito.
Caso 2. Si el denominador (el de abajo) tiene exponente más grande, entonces el límite tiende a cero.
Caso 3. Si tienen el mismo grado los dos, entonces el límite es igual al cociente del coeficiente del término con el grado mayor de cada polinomio.

Estos son los ejemplos:
Caso 1.
Lim (x ->infinito) [(4x^5-2x^2+5x-2) / (7x^3+12x^2-6x+22)]
El polinomio con grado mayor es el del numerador (arriba) el limite tiende a infinito.

Caso 2.
Lim (x ->infinito) [(4x^3-2x^2+5x-2) / (7x^9+12x^2-6x+22)]
El polinomio con grado mayor es el del denominador (abajo) el limite tiende a infinito.

Caso 3.
Lim (x ->infinito) [(4x^3-2x^2+5x-2) / (7x^3+12x^2-6x+22)]
Ambos tienen el mismo exponente. El limite tiende a 4/7.
matemática
¿Por qué ocurre así?
Un polinomio crece más rápido mientras más grande sea su grado.
Es decir un polinomio de grado 2 crece más rápido que uno de grado 1 y un polinomio de grado 5 crece más rápido que un polinomio de grado 4, etc.

Si el numerador crece más rápido que el denominador, el resultado de la división (en la fracción) será mayor a 1, si el valor del numerador crece más rápido, el valor de la fracción también crece.

Si el denominador crece más rpaido que el denominador, el resultado de la división (otra vez, en la fracción) será menor a 1, y mientras más crezca el denominador el resultado es cada vez menor (piensa en un pastel que vas a repartir entre la gente que va a tu fiesta... Mientras más vayan llegando, menos pastel le tocará a cada uno... Ahora imagina que llega toda la población mundial. A cada uno le toca prácticamente una molécula!!!)

En el caso de que los grados de los polinomios sean iguales, los dos crecen al mismo ritmo... Entonces, el resultado es la proporción de los términos con el grado que crece más, es decir, el mayor exponente. En este caso, se eliminan las variables (si se trata de x^3, solamente quedan los coeficientes) y por eso el resultado lo obtienes con el cociente de los coeficientes.

La demostración matemática es muy sencilla. Divide por un término con el exponente igual al grado del polinomio mayor. Después calculas el límite.

Espero que eso ayude.