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Trabajo Práctico de Enteros, tipo planificación.

1) A partir de la lectura del diseño curricular de la nueva secundaria enuncie las características que deberá tener la enseñanza de la matemática en ese nivel.

*Sobre el docente:
- deberá organizar las clases en función del tiempo para que los alumnos no pierdan el mismo.
- Los problemas que propondrán para alcanzar el objetivo propuesto.
-Deberá articular su tarea con los otros docentes de matemática.
-Evaluar el aprendizaje de sus alumnos y su enseñanza.

*Las intervenciones del docente:
-El trabajo en grupo no producirá necesariamente el aprendizaje.
- El docente decide y establece que medios utilizara y como lo hará para llegar al objetivo.
-deberá favorecer la formación de un ambiente .donde los alumnos pueden desenvolverse y aprender.
-deberá tener en cuenta las discusiones de los alumnos para establecer conceptos.
-Cumplirá la función de guiar a los alumnos.
-El docente deberá escuchar las explicaciones de los alumnos mediante las cuales podrá verificar si comprendieron la actividad y cuales fueron los errores cometidos hasta el momento.
- debe instalar el lenguaje matemático en el aula.
-Respetar el ritmo y el tiempo que necesitan los alumnos.
-Procurara que los alumnos demuestren la validez de sus desarrollos.
-deberá reflexionar sobre como los alumnos construyen sus conocimientos matemáticos.
*Acerca de los errores:
-Los errores que pueden surgir durante la clase deben ser anticipados por el docente para permitirle organizar estrategias para intervenir durante la misma.
-Los errores deben ser considerados como la expresión de un determinado estado de conocimiento matemático que necesita ser revisado en algún sentido.
- Es importante diferenciar entre errores y conocimientos incompletos.
*La de trabajo de los alumnos:
-La carpeta deberá ser revisada por el docente con el fin de conocer la marcha del proceso de enseñanza y de aprendizaje.
-El alumno deberá comprender que su trabajo es valioso aunque posea errores, no los tendrá que borrar cuando se verifique no coincide con lo verificado en clase sino que deberá reinscribir las conclusiones para que enriquezca su resolución.
-En las carpetas de los alumnos deberá figurar las cuestiones que para el docente son importantes.
*Sobre la evaluación:
-En las clases de Matemática se prioriza la participación y el hacerse cargo de la resolución de problemas matemáticos.
-El alumno debe ser capaz de construir respuestas coherentes, así como explicar y dar razón de los procedimientos elegidos.
-La evaluación representa una oportunidad de dialogo entre ambos.
-Para establecer las calificaciones de los alumnos el docente tendrá que tener en cuenta también su propio proceso de enseñanza.

2) ¿A que tipo de modelo d el conocimiento, es decir enseñanza corresponde? Justifique la respuesta.

El modelo al que corresponde es el constructivismo, porque todo el diseño apunta al que el alumno pueda construir el conocimiento, es decir que el curriculum le proporciona al docente el andamiaje necesario para generar el aprendizaje del alumno.

3) Elegir uno de los cuatro ejes en los que están organizados los contenidos de 2 año de la secundaria. Leer las indicaciones didácticas de eje elegido.

* Eje Números y Operaciones.

4) Armar una red relacionando los distintos contenidos que pertenecen al eje elegido.

Uso de la calculadora
científica


Notación científica (expresión simplificada de un valor)





Racionales e Irracionales


Enteros



Números




Operaciones: Suma- Resta-Multiplicación-División-Radicación- Potenciación
Propiedades.


5) Elegir uno de los contenidos del eje. Utilizando el o los libros del grupo, seleccionar problemas que podrían ser utilizados para la organización de una clase.
Contenido elegido del eje Números y Operaciones:
*Números enteros.
6) Anotar los contenidos previos que deberá poseer los alumnos al comenzar la clase.
-Operaciones con Números naturales y sus Propiedades.
7) Anotar las posibles preguntas a realizar a los alumnos para enriquecer el o los problemas propuestos.

a) Si por ejemplo cuando van a comprar el producto elegido excede la cantidad de la plata que tienen en ese momento. ¿Que tipo de operación realizan para darse cuenta de esto? ¿Cómo se dan cuenta cuanto dinero les falta?-Introducción
b) ¿Los barcos se mantienen sobre la superficie del mar? O ¿Flotan? De tal manera que la base del mismo no se pueda ver por encima del mar. ¿Cómo podemos expresar o explicar cual es la distancia entre la superficie del mar y la base del barco? Introducción.
c) ¿Qué significa para ustedes avanzar y retroceder? Actividad 3
d) ¿Que movimiento lo hubiera llevado directamente desde la posición original a la posición final? Actividad 5.
e) ¿Observas alguna regularidad en los números que fueron apareciendo En caso afirmativo, descríbela. Compara tus respuestas con algunas de tus compañeros.
Actividad 9.

8) Realizar una secuenciación de las actividades propuestas. Justificar.
1) Introducción del opuesto de un número.
2) Concepto de distancia en la recta numérica.
3) Adición y sustracción con números Z mediante un juego.
4) Aplicación de lo aprendido en la actividad 3.
5) Operación de Z mediante situación problemática.
6 y 7) Aplicación de operaciones de Z en cálculos.
8 y 9) Incorporación del producto de Z en situaron problemática y ejercicios.
10) Aplicación de lo aprendido en la division.

9) Organizar un simulacro de clase donde se presente la secuencia realizada. Detallar todo lo que se va a realizar.


En el siglo xx los hindúes crearon una nueva clase de numero que eran necesario porque permitían expresar mejor algunas situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo para no confundir tener 25 bolsas de cereal con “deber 15 bolsas de cereal” se utilizaban dos números distintos: 15 y -15. El -15 era utilizado en este caso para indicar una deuda.
Es decir:
* Para cada número natural existe un único opuesto.
* El único número igual a su opuesto es el 0.
* Siempre se cumple que un número natural y su opuesto, están a igual distancia del 0.
* En la recta numérica, el opuesto de un numero es su simétrico respecto del punto 0.
Los números naturales y sus opuestos son utilizados para expresar situaciones que requieren dos escalas opuestas para contar.
El conjunto de todos los números naturales y sus opuestos se llaman enteros y se simbolizan con la letra = {….-3,-2,-1, 0,+1,+2,+3} que provienen del Alemán zahlen (números).
Veamos:
¿Qué tienen en común las posiciones 300 metros y -300 metros respecto del nivel del mar? Lo que tienen en común es la distancia que las separa respectivamente, del nivel del mar. En ambos casos esta distancia es de 300 metros.









La posición 300 metros esta 300 metros sobre el nivel del mar.
La posición -300 esta a 300 metros debajo del nivel del mar.
Las posiciones 300 m y -300 m son opuestas respecto del nivel del mar.
El opuesto de 300 es -300; el opuesto de -300 es 300.
Los números naturales y sus opuestos son utilizados para expresar situaciones que requieren dos escalas opuestas para contar.
1)Actividades:
1) En la siguiente tabla escribe el opuesto de cada numero dado.
















El opuesto de un numero a e simboliza –a , entonces podemos cambiar el encabezamiento de la tabla.
















*Ubicación de los números Z en la recta numérica.
Para representar los enteros en la misma recta podemos proceder de la siguiente manera:
-a) Trazar una recta y marcar uno de sus puntos, llamarlo 0.



b) Tomar una unidad y marcar hacia un lado los puntos que representan a los naturales.



c) Con la misma unidad marcar los opuestos de los naturales, hacia el otro lado, de manera que un número y su opuesto estén a igual cantidad de unidades del 0.




El orden en Z

• Si se elijen dos números enteros cualquiera, ¿Cómo se decide cual es el mayor?
Veamos:



El 0 en la mitad de la recta.
Los N a la derecha del cero.
Los opuestos de los N a la izquierda.

Como ustedes ya saben un número es mayor que otro porque se encuentra mas a la derecha sobre la recta numérica (se indica con el símbolo ) ejemplo:

5 3 2 1 4 -2 1 -3

De la misma forma, un numero es menor que otro (símbolo ) si se ubica hacia la izquierda en la recta.

2 4 3 5 -4 3 -1 3




MODULO DE UN ENTERO

Como dijimos antes, 3 y -3 son opuestos porque están a la misma distancia de 0. Esta distancia es de tres unidades, desde cada uno hasta el cero.







Usando símbolos podemos evitar escribir palabra por palabra “la distancia entre -3 y 0 es 3”

Los símbolos son: -3 = 3 “la distancia entre -3 y 0 es 3”

-3 = 3 se lee “el modulo de -3 es 3 ”

El modulo de un numero entero es su distancia al 0.
El modulo de un numero entero a a .
El modulo de 0 es 0.




DISTANCIA EN Z

2) Actividades:

a) Ubiquen en la recta numérica: 1 , 3 , 4, -2 , -5 , 0.
b) ¿Cuál es la distancia? Entre: 1 y 4, 2 y 3, 3 y -2, 1 y -2.


La distancia entre dos números enteros es igual a la cantidad de unidades que media entre ellos en la recta numérica.

La adición en Z y sus propiedades

3) Juego Carrera de enteros

Integrantes: 4 a 6 jugadores.
Reglas: Se tiran los dados. El dado de color resta, el dado blanco suma.
Si un participante tira los dados y en el de color sale 6 restara 6 y retrocederá en la recta 6 espacios. Si el dado blanco indica 3, entones se sumara 3 y avanzara 3 espacios en la recta. Se Irán realizando los sucesivos cálculos implementando lo aprendido en suma y resta de enteros. Ganara el equipo que termine con mayor puntuación en 4 minutos.

Como has visto las sumas de los números enteros pueden ser interpretadas como el resultado de movimientos sucesivos.
Por ejemplo:
5+ (-4)= 5-4
1+3+(-6)= -2

Veamos las propiedades que se cumplen para los Z:

*Propiedad de clausura:



*Propiedad Conmutativa:


El 0 es llamado elemento neutro en la adición en Z.
*Propiedad del elemento neutro de la adición en Z:



*Propiedad del elemento opuesto:
La adición cuyos dos sumandos son un numero y su opuesto tiene resultado 0.



Si encontramos paréntesis en un calculo de enteros debemos resolver primero las operaciones encerradas en el.
Ejemplo:
-8+ (5+ -7)= -8+ -2= -10

La suma de los números Z no cambia aunque se asocien los sumandos de diferentes maneras.
*Propiedad Asociativa de la adición en Z:



Se cumple que ( + )+ C = + ( + )= + + +


-La sustracción en Z y sus propiedades:





4) Actividad:
Este es el cuadro que dio el profesor de geografía con algunas temperaturas máximas y mínimas del sur del continente americano. Pide la amplitud térmica, que es la diferencia entre la temperatura máxima y mínima, para cada una de las ciudades.
¿Podrían completar el cuadro?

Ciudad Máxima Minima Amplitud
Trelew 5º 2º
Pta. Arenas -1º -8º
R. Gallegos -2º -7º
Pto. Montt 2º -4º
Ushuaia -6º -10º


Como la amplitud térmica es la diferencia entre la temperatura máxima y la minima, para resolver este problema hay que recordar la resta de números enteros, ya que algunas temperaturas son dadas con números negativos. Para Trelew, la amplitud térmica es de 3º.
Para el caso de Ushuaia nuevamente se debe hacer:
Temperatura máxima – temperatura minima

Pero no parece ser tan sencillo:
-6-(-10)=

Se ubican estos números en una recta:





Se ve que hay 4º de diferencias. A -10 se le suma 4, se obtiene -6. Luego, hay 4º de amplitud térmica.
Este resultado puede ser hallado directamente haciendo la cuenta:
-6-(-10)= 4
-6+10= 4
Analicen ahora para el puerto Montt:
Haciendo la cuenta: temperatura máxima- temperatura minima, o sea:
2-(-4)= 6
2+4= 6



Entonces, hay 6º de amplitud térmica.
Quedan los otros para que sigan pensando.

Entonces


**Regla general de la sustracción en Z

Coloquialmente: la diferencia de dos enteros es igual a la suma del primero y el opuesto del segundo.

En símbolos:



5) Actividad.
*Un ascensor subió 3 pisos, inmediatamente después subió otros 5 pisos y luego bajo 9 pisos. ¿En que posición quedo?



La sucesión de suma y resta 3+5-9
Puede representar la situación, y el
Resultado equivalente es -1 porque
Subir 5 y bajar 9 equivale abajar 1






La sucesión de restas 12-3-4 puede representar la situación y el resultado.
Como 12-3-4= 9-4= 5 , sabemos que el automóvil se encuentra a 5 Km. de la posición original y que un viaje directo de 5 Km. hubiera sido equivalente.
Ésta misma situación puede representarse por la sucesión de sumas

12+ -3 + -4= 5

Cuando se escribe a + b – c se quiere indicar que al resultado de a + b hay que restarle c.
Cuando se escribe a – b + c se quiere indicar que al resultado de a – b hay que sumarle c
Cuando se escribe a – b – c se quiere indicar que al resultado de a – b hay que restarle 6.

6) Actividades:
*Resolver aplicando la regla general de la sustracción. Mostrá como la aplicaste.

a) - 16 – 23 –( - 58) = d) 63-( -25) – 100=
b) 61 – 95 +32= e) - 18 -29 – 36=
c) - 46 +17 – 64= f) - 104 – 100 –( - 115)=


• Completa el siguiente cuadro. El primer renglón es un ejemplo. Compara tus resultados con los de tus compañeros, ¿a que conclusión llegaron?











a b c a + -b + -c Resultado a + - (b + c) Resultado
6 14 15 6+ -14 + -15 -23 6 + - (14 + 15) - 23
- 15 9 6
- 21 -16 7

Luego de completar el cuadro y comparar podemos afirmar que, para los números enteros a , b y c se cumple que a + -b + -c = a+ -(b+c). Es decir, sumar sucesivamente un número a y los opuestos de dos números b y c , da el mismo resultado que sumar a a el opuesto de la suma de b y c. Ésta es una propiedad válida para cualquier terna de enteros elegida, entonces:

En Símbolos:




Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:
• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos:
• 7 + 11 = 18
• -7 - 11 = -18
• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:
• 7 + (-5) = 7 - 5 = 2
• -7 + 5 = - (7 - 5) = -2
• 14 + (-14) = 0

7) Actividad:
a) Se sabe que la suma de dos números es 2. Uno de esos números es -10-.¿Cuanto vale el otro.
b) Se sabe que la suma de dos números -4 y su resta vale 0. ¿Cuáles son esos números?

*Decidan si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Justifiquen su respuesta.

1-Si se suman dos números enteros negativos, el resultado es entero negativo.
2-Si se restan dos números enteros negativos, el resultado es entero negativo.
3-Si se suman un numero entero negativo y un numero entero positivo, el resultado es un número natural.
4-Si un numero natural se le resta un numero entero negativo, el resultado es un número natural.
5- Si a un numero entero negativo se le resta un numero natural, el resultado es entero negativo.

La multiplicación en Z y sus Propiedad

Para la multiplicación de enteros debemos tener en cuenta las propiedades de los N =
• Cumple la propiedad asociativa
• Cumple la propiedad conmutativa
• Propiedad del elemento absorbente de la multiplicación “0”
• Propiedad del elemento neutro en la multiplicación “1”
• Propiedad distributiva con respecto a la suma y resta combinadas.
Ahora debemos establecer alguna pauta más que rigen para los enteros.
En este nuevo conjunto nos encontramos con los opuestos de N, por eso podemos afirmar que:
Una multiplicacion de factores de diferentes signos, lo podemos interpretar como una suma de sumandos negativos y luego resolver dicha suma.
Por ejemplo:
-3.2= -3+(-3)= -6
Utilizamos lo aprendido en la suma y la resta de enteros.

8) Actividad:
Juan Carlos extrajo el lunes $ 120 de su cuenta. Al día siguiente hizo tres extracciones, cada una también de $120. Anotó el siguiente registro de los movimientos de su cuenta es esos días:


DIA Movimiento Saldo
10.000
Lunes -120 9.880
Martes -120.3 9.520

Cuando Juan Carlos escribe -120.3 en la columna “Movimiento”, esta escribiendo una multiplicación de factores enteros. El escribe -120.3 para indicar un movimiento equivalente a las 3 extracciones sucesivas de $120 que hizo el martes.
Es decir que:
-120.3 representa -120+120+-120 entonces
-120.3 representa -360

9)Actividad:
El objetivo de este ejercicio es completar la siguiente tabla de multiplicar en A.
Siendo A= -5; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 5
Te mostramos como ejemplo 2.4= 8 y 3. 2=6. Empeza a completar la tabla siguiendo estos pasos.
1º- Completa el cuarto superior derecho de la tabla.
2º- Completa lo mas que puedas del cuarto superior izquierdo y el cuarto inferior derecho de la tabla. Recorda que algunos productos de un número negativo y de un número positivo pueden ser interpretados como suma de sumandos negativos, por ejemplo: -2.3= -2+ (-2)+ (-2)=-6






5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 X 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5

3º- Observa lo que has completado de la tabla. Estudia las filas. Estudia las columnas.

*Entonces la multiplicación de enteros se divide en 3 grupos.
Grupo 1: Multiplicación de factores positivos.
2.3=6 5.4=20 10.11=110

Las resolvemos como si fuesen multiplicaciones en N.

Grupo 2: Multiplicación de factores de distintos signos.
-3.2=-6 -4.7=-28 6.-5=-3

Las podemos interpretar como suma de sumandos negativos y luego resolvemos dicha suma.
-3.3=-3+-3=-6
-4.7=-4+-4+-4+-4+-4+-4+-4= -28

Grupo 3: Multiplicación de factor negativo.
-6.(-5)=30 -9.(-2)=18 -4.(-8)=32

Los resolvemos usando la regla que se origina en las regularidades de la operación.

Ahora podemos decir que:
Si a y b tienen igual signo entonces a.b= c
Si a y b tienen distintos signos entonces –a.b=-c

División en Z:

Como los N, en Z se cumple la propiedades de la division.Debiendo tener en cuenta los signo que, como en la multiplicaron de Z son los signos iguales el cociente es positivo si son difentes el cociente es negativo.

Grupa: -24: (-6)=4 porque 4.(-6)=24
-100: (-20)=5 porque 5.(-20)=-100

10) Actividad:
-36: (-4)= 28: (-4)=
-125: 5= 50: (-10)=
43:43= -27: (-3)=
-20: (-5)=

Potencia en Z
Trataremos de definirla como extensión de la potenciacion en N.





Podemos encontrarnos con 3 grupos:

1º- Grupo: Base a y exponente b. Son N sabemos que=




Ejemplos:



En este caso el resultado es un entero.
2º- Base -a y exponente b natural, extendemos la definición de potenciación en N.






Ejercicio:





En cada caso el resultado es un número entero.
Existe la convención de escribir las bases negativas entre parentisis.

3º- Grupo: Base -a y exponente -b. Pero aquí decimos que el resultado no es un número entero, corresponde a otra clase de numero que incorporaremos mas adelante.

*Convención acerca del orden en que deben realizarse la operaciones:
Si en un cálculo aparecen paréntesis, adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, y potenciaciones se resuelven:
1º) Las operaciones entre paréntesis.
2º) Las potenciaciones.
3º9 Las multiplicaciones y divisiones;
4º) las adiciones y sustracciones
10) Indicar la bibliografía utilizada
-Enciclopedia Encarta
-El libro de la Matemática- EGB 8º- Estrada
-Números Naturales y Enteros- Estrada

1 comentario - Trabajo Práctico de Enteros, tipo planificación.

@lehrmann
excelente post, a fav y reco