Física. Relatividad para principiantes.(1)

Física. Relatividad para principiantes.(1)

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Física. Relatividad para principiantes.



I. LA RELATIVIDAD DE GALILEO.

TODOS LOS SISTEMAS DE REFERENCIA SON VÁLIDOS


LA TIERRA se mueve en el espacio como un grano de polvo en un vendaval: gira alrededor del Sol a 30 kilómetros por segundo, y este astro se mueve a su vez a 30 000 kilómetros por segundo alrededor del centro de la Vía Láctea, que es sólo una galaxia entre los millones de galaxias que efectúan un baile cósmico enlazadas por sus mutuas atracciones gravitacionales. Y, sin embargo, no percibimos ninguno de estos movimientos; la Tierra parece ser lo único firme e inmutable a nuestro alrededor. La distancia entre dos puntos fijos de la Tierra o la altura de otro con respecto a la superficie son tipos de medición bien definidos, que pueden repetirse tantas veces cuanto sea necesario, sin incertidumbre, pues la Tierra es un excelente sistema de referencia.

La inmovilidad y la inmutabilidad de nuestro planeta eran evidentes a los hombres de la Antigüedad, y sólo recientemente hemos podido aceptar que se mueve en el espacio. El hecho de que el movimiento de la Tierra sea prácticamente imperceptible en la experiencia cotidiana se debe a un principio fundamental que Galileo Galilei enunció claramente en el siglo XVII: las leyes de la física son independientes de cualquier sistema de referencia.

La Tierra constituye el ejemplo más obvio de lo que es un sistema de referencia con respecto al cual se efectúan la mayoría de las mediciones. Podemos estudiar, por ejemplo, el movimiento de una piedra que se deja caer desde lo alto de un poste: la experiencia demuestra que la piedra cae exactamente a lo largo de una línea recta vertical (si no soplan vientos fuertes que la desvíen). Del mismo modo, si la piedra es arrojada con una cierta velocidad horizontal, la piedra cae siguiendo una trayectoria curva y llega al suelo a cierta distancia del pie del poste (Figura 1). Se puede demostrar que la trayectoria es una curva geométrica llamada parábola, y la distancia entre el pie del poste y el punto de caída es simplemente la velocidad inicial de la piedra multiplicada por el tiempo que dura la caída. De hecho, esto sería exactamente lo que sucedería si el experimento se realizara en un lugar sin aire (en una campana de vacío o en la Luna; por ejemplo); en la práctica, la fricción del aire con la piedra influye ligeramente en su movimiento.

Luz
Figura 1. Trayectoria de una piedra.


Pero la Tierra no es el único sistema de referencia disponible. ¿Qué pasa si se repite el experimento de la piedra que cae en un barco en movimiento? Supongamos que la piedra se suelta desde lo alto de un mástil. ¿Caerá la piedra justo al pie del mástil o quedará rezagada debido al movimiento del barco? Esto era un problema filosófico que, en la época de Galileo, se trataba de resolver estudiando los escritos de Aristóteles y otros pensadores de la Antigüedad. No sabemos si Galileo realizó el experimento en un barco o en el laboratorio de su casa, pero podemos afirmar que él comprendió por primera vez las profundas implicaciones de ese problema.

En el ejemplo del barco, la piedra caería justo al pie del mástil si no fuera por el aire que la empuja hacia atrás. Para evitar complicaciones innecesarias, se puede realizar el experimento en el interior del barco, donde el aire está en reposo. En este caso; la caída de la piedra ocurre exactamente como si el barco no se moviera. Un experimentador que se encuentra dentro de un barco que avanza en línea recta y a una velocidad constante no puede decidir, por ningún experimento físico, si el barco se mueve. Tendría que asomarse por una escotilla para saberlo. (Es muy importante que el barco se mueva en línea recta y no varíe su velocidad; si éste no es el caso, el experimentador podrá adivinar que se mueve e incluso sentirse mareado por el movimiento; volveremos a este punto más adelante.)

La trayectoria de la piedra, vista en el sistema de referencia que es el barco, es una línea recta vertical. En cambio, en el sistema de referencia de la tierra firme, la trayectoria es una parábola. Estas dos descripciones de un mismo fenómeno físico son perfectamente compatibles entre sí: un observador en tierra firme ve una piedra que se arroja con una velocidad horizontal que es precisamente la velocidad del barco y ve la piedra caer siempre pegada al mástil, que se mueve con la misma velocidad; un observador en el barco ve simplemente una caída vertical (Figura 2). Tanto el barco como la tierra firme son sistemas de referencia aceptables, y es sólo una cuestión de conveniencia escoger el más apropiado.

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Figura 2. Trayectoria de una piedra vista desde dos sistemas de referencia.


Hasta ahora hemos insistido en que el movimiento del barco (o cualquier sistema de referencia) debe ser sin cambios de velocidad y en línea recta. Sin embargo, sabemos por experiencia que la marcha de un vehículo se nota cuando su velocidad varía; en un automóvil que toma una curva hacia la derecha, los pasajeros son empujados hacia la izquierda, al enfrenarse son arrojados hacia adelante y al acelerarse hacia atrás. Este tipo de fuerzas se debe a la inercia de los cuerpos masivos; todo objeto tiende a moverse en línea recta, con la misma velocidad, y opone resistencia a cualquier cambio de velocidad o trayectoria. Los pasajeros de un autobús que frena bruscamente son arrojados hacia el frente del vehículo porque intentan mantener la velocidad que poseían antes del enfrenón: en otras palabras, es el autobús el que se ha detenido mientras que sus ocupantes prosiguen su viaje.

Las fuerzas que surgen en un sistema de referencia únicamente por el cambio de velocidad o de trayectoria, y no por factores externos, se deben a la inercia de los cuerpos masivos; por esta razón, se les llama fuerzas inerciales. Un sistema de referencia inercial es aquel que se mueve en línea recta sin variar su velocidad; evidentemente en tal sistema de referencia no surgen fuerzas inerciales. De acuerdo con el principio de relatividad de Galileo, las leyes de la física son las mismas en cualquier sistema de referencia inercial. En particular, no se puede distinguir un sistema de referencia inercial de otro por medio de experimentos físicos; cualquier sistema es válido y sólo es una cuestión de conveniencia escoger el más apropiado para describir un fenómeno físico. Mientras un autobús se mueve en línea recta y sin variar su velocidad, la única manera que tienen sus ocupantes de saber si avanzan o no es asomarse por la ventana. (El caso de los sistemas de referencia no inerciales es más complicado; volveremos a ellos en el capítulo VII.)

La relatividad de los sistemas inerciales choca en un principio con el sentido común. Si no hay manera de determinar el movimiento, los ocupantes de un autobús pueden postular que ellos están parados y que es la Tierra la que se mueve. En realidad, nada impide tal afirmación, a no ser que, en la práctica, cualquier enfrenón, curva o bache en el pavimento recuerde a los pasajeros que su sistema de referencia no es idealmente inercial. Sin embargo, es innegable que nos sentimos más seguros sabiendo que la Tierra que pisamos es un sistema de referencia sólido, con respecto al cual podemos efectuar mediciones inequívocamente. Después de todo, tomó muchísimo trabajo a los seguidores de Copérnico convencer al resto de la humanidad de que la Tierra se mueve a gran velocidad por el espacio cósmico.

Si nunca se detecta el movimiento de la Tierra en la experiencia cotidiana, es justamente por el principio de relatividad de Galileo. Recordemos, sin embargo, que la Tierra no es un sistema de referencia adecuado para observar el curso de los astros. En efecto, los planetas giran alrededor del Sol, por lo que sus movimientos tienen una forma más simple vistos desde un sistema de referencia en el que el Sol está fijo. Vistos desde la Tierra, los planetas parecen moverse de manera tan complicada que desafiaron durante siglos los intentos de los astrónomos antiguos de racionalizarla. Y no olvidemos que el Sol gira alrededor del centro de nuestra galaxia, la Vía Láctea, y así sucesivamente...

(Debido a su rotación, la Tierra ejerce una ligera fuerza inercial sobre los cuerpos en su superficie empujándolos en dirección perpendicular a su eje de rotación; este efecto es casi imperceptible, pero se puede medir con instrumentos suficientemente precisos.)

El hecho de que un cuerpo masivo tiende a moverse en línea recta y a la misma velocidad, si ninguna fuerza actúa sobre él, es una ley fundamental de la mecánica, descubierta por el gran físico inglés Isaac Newton y llamada, en su honor, primera ley de Newton. A pesar de su sencillez, nadie la había descubierto porque, una vez más, parecía contradecir la experiencia común. Así, Aristóteles enseñaba que un cuerpo se mantiene en reposo si no actúan fuerzas sobre él, y se mueve con la misma velocidad si se le empuja con una fuerza constante. En efecto, una carreta de bueyes avanza a la misma velocidad mientras los bueyes la jalan y al dejar de hacerlo la carreta se detiene. Sin embargo, esto se debe a la fricción de las ruedas con sus ejes; si éstas estuvieran lubricadas en forma perfecta, la carreta rodaría con cualquier empujón inicial.

La situación ideal en la que se aplica la primera ley de Newton es la de una nave espacial que se mueve en el espacio, suficientemente lejos de cualquier planeta o estrella para que éstos no desvíen su trayectoria. Si la nave alcanza una cierta velocidad y apaga bruscamente sus motores, seguirá viajando indefinidamente en línea recta con la misma velocidad que había alcanzado. Para modificar su trayectoria, deberá volver a encender sus motores.

Una nave espacial a la deriva es un ejemplo perfecto de un sistema de referencia inercial. Sus tripulantes no tienen ningún medio para determinar si se mueven o si están en reposo, a menos que puedan observar las estrellas en el exterior.

EL ESPACIO ABSOLUTO DE ISAAC NEWTON

Galileo (Figura 3) fue sin duda el fundador de la física como ciencia que estudia las leyes de la naturaleza para aprender a servirse de ellas; contribuyó, más que nadie, a romper con los viejos esquemas aristotélicos que, en su época, se habían vuelto dogmas de fe. Galileo insistió en que el mejor camino al conocimiento era la experimentación y la observación directa de los fenómenos naturales, y no la interpretación de los textos escritos en la Antigüedad. Como es bien sabido, esta actitud le acarreó serios problemas con las instituciones de su época... pero eso ya es otra historia.

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Figura 3. Galileo Galilei (1564-1642).


Si bien Galileo contribuyó notablemente a aclarar muchos conceptos que antes permanecían en la oscuridad (la relatividad del movimiento es sólo un ejemplo), hacía falta un sistema preciso, basado en axiomas claros, que permitiera estudiar matemáticamente todos los fenómenos físicos en forma unificada. Tal fue la obra de Isaac Newton (Figura 4), nacido en 1642, el mismo año en que murió Galileo.

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Figura 4. Isaac Newton (1642-1727).


Los fundamentos de la física teórica aparecieron por primera vez en la obra cumbre de Newton, los Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), donde Newton expone los principios básicos de la mecánica (sus famosas tres leyes) la ley de la gravitación universal y un eficacísimo sistema matemático que permitía resolver los problemas más importantes de la mecánica. El resultado más espectacular que obtuvo fue, sin duda, la deducción exacta del movimiento de los planetas —en perfecto acuerdo con las observaciones astronómicas—, a partir de la ley de la gravitación universal. Al parecer, el Universo había revelado finalmente sus secretos; todos los cuerpos materiales, desde un grano de polvo hasta las estrellas, se movían por el espacio de acuerdo rigurosamente con las leyes de la mecánica descubiertas por Newton. El Universo era una inmensa máquina cuyas piezas interactuaban entre sí a través de la fuerza universal de la gravitación.

La primera ley de Newton, que afirma que todos los cuerpos se mueven en línea recta y con velocidad constante mientras no actúen fuerzas externas sobre ellos, es otra manera de expresar el principio de relatividad de Galileo. Newton nunca rechazó este principio, pero insistió en postular la existencia de un espacio absoluto, que equivaldría a un sistema de referencia especial y único, con respecto al cual el Universo en su conjunto estaría en reposo. Hay que insistir en que la existencia de un sistema de referencia universal no contradice el principio de relatividad de Galileo. Este principio únicamente postula que las leyes de la física son las mismas en cualquier sistema de referencia inercial, sea éste un sistema universal y absoluto, o cualquier otro: no se puede determinar por medio de experimentos físicos si uno se encuentra en reposo o en movimiento con respecto al hipotético espacio absoluto.

Por otra parte, la existencia de un espacio absoluto parece bastante natural. Después de todo, el sistema de referencia en el que las estrellas están fijas es un sistema universal, desde el cual el comportamiento global del Universo debe tener una apariencia más simple que desde otro sistema de referencia en movimiento, como la Tierra.

Existe otra razón, relacionada con el problema de la gravitación, por la que Newton recurrió a un espacio absoluto. A pesar de que toda su mecánica funcionaba a la perfección, Newton siempre estuvo insatisfecho por lo que consideraba un hueco importante de su teoría: la ausencia de una explicación física del fenómeno de atracción gravitatoria.

La ley de la gravitación de Newton precisa cómo se comporta cuantitativamente la fuerza gravitacional entre los cuerpos masivos, pero no aclara la naturaleza de dicha fuerza. Los Principios matemáticos de Newton contestan brillantemente la pregunta ¿cómo se atraen dos cuerpos?, Pero no a ¿por qué se atraen? Newton propuso, como solución transitoria, la existencia de una acción a distancia entre los cuerpos masivos, pero insistió en que dicha acción era un concepto provisional, en espera de una mejor teoría. Incluso llegó a sugerir que la atracción gravitacional, sin causa mecánica aparente, demostraba la existencia de Dios, pues de otra forma un cuerpo no podía "conocer" la presencia de otro para interactuar con él. En un plano menos místico, Newton especuló que el vacío no está realmente vacío, sino que todo el espacio está permeado por una sutil sustancia, el éter, imperceptible para los humanos, pero a través del cual se produce la atracción gravitacional.

La idea de un éter que llena todo el Universo había sido propuesta por diversos filósofos antes de Newton. Así, el filósofo francés René Descartes había intentado explicar el movimiento de los planetas por medio de torbellinos en el éter: los planetas serían arrastrados en círculos alrededor del Sol tal como corchos que flotan en un remolino de agua. Por supuesto, los torbellinos de Descartes fueron desechados a favor de la atracción gravitacional propuesta por Newton, pero el éter siguió seduciendo a los sucesores de Descartes y Newton.

Una vez aceptada la existencia del éter, era natural suponer que existe un sistema de referencia único en el Universo, que es el sistema en el que el éter está en reposo. Todos los movimientos de los cuerpos celestes pueden referirse, en última instancia, a ese sistema cósmico.

En realidad, el problema del éter y, junto con él, el de la acción a distancia, siguió presente en la física hasta principios del siglo XX, cuando Einstein los liquidó definitivamente. Como sucede comúnmente con las revoluciones científicas, las nuevas teorías no resuelven todos los viejos enigmas, sino que vuelven irrelevantes algunos de ellos; tal fue el caso del éter, como veremos en los siguientes capítulos.

El concepto del espacio absoluto permaneció anclado en la física más de dos siglos después de Newton a pesar de no constituir un axioma esencial de la mecánica. Además, junto con el espacio absoluto, Newton introdujo el tiempo absoluto. Tampoco necesitaba la mecánica de un tiempo así, pero parecía lógico que, independientemente de las fórmulas matemáticas que describen el Universo, exista una manera única de medir el tiempo, algo así como un reloj cósmico... acaso el reloj de Dios.

La existencia de un tiempo absoluto independiente de quién lo mide, es una consecuencia de nuestra experiencia cotidiana. Estamos acostumbrados a la idea de que el tiempo transcurre siempre en la misma forma, pues de lo contrario no tendría sentido sincronizar nuestros relojes y determinar, así, el momento en que ocurre u ocurrirá cada suceso. Nadie se atrevería a afirmar que el tiempo transcurre más rápido o más lentamente en un lugar o en otro del Universo. Al menos eso era evidente hasta que llegó Einstein.


Galileo


II. ÉTER, LUZ Y ELECTROMAGNETISMO


LA NATURALEZA DE LA LUZ

ADEMÁS de la mecánica, la otra gran contribución de Newton a la física es la óptica, el estudio de la luz. De hecho, uno de sus primeros trabajos científicos fue analizar la luz que pasa por un prisma y descubrir que la luz blanca está compuesta, en realidad, de una mezcla de todos los colores del arco iris. Unos veinte años después de la publicación de los Principios matemáticos, Newton publicó su segundo libro: Óptica, dedicado casi exclusivamente al fenómeno de la luz. La descomposición de la luz en sus colores primarios y la trayectoria de los rayos luminosos a través de lentes transparentes fueron estudiadas exhaustivamente por Newton y sus contemporáneos. Sin embargo, quedaba pendiente de comprender la naturaleza misma de la luz.

¿Qué es la luz? El mismo Newton pensaba que la luz está constituida por partículas que se mueven en el espacio a gran velocidad, como proyectiles, rebotando o absorbiéndose en los cuerpos materiales, o penetrando en los cuerpos transparentes, como el vidrio. Otros notables físicos de esa época, como el holandés Huygens, pensaban que la luz era una onda, análoga a las olas en el agua o al sonido en el aire. Pero, si la luz es realmente una onda, es decir una vibración de algún medio, ¿cuál es el equivalente del agua o del aire?, ¿qué medio transporta a una onda luminosa? Evidentemente, ese medio debería ser el éter, esa sustancia que llena y permea todo el Universo. Una vez más era necesario invocar al éter, fenómeno físico, aunque no existiera ninguna observación directa de tan misteriosa sustancia.

La controversia sobre la naturaleza de la luz —partícula u onda— persistió aún después de Newton y Huygens, hasta que en el siglo XIX la balanza se inclinó, al parecer definitivamente, a favor de la teoría ondulatoria (victoria efímera, como veremos más adelante).

El avance más trascendental de la física del siglo pasado lo constituyó, sin duda, la comprensión de los fenómenos eléctricos y magnéticos y su relación con la luz, lo que abrió las puertas a la física moderna e hizo posible la teoría de la relatividad.

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

La gravitación no es la única fuerza que actúa a distancia. También los cuerpos cargados eléctricamente se atraen o se repelen, y asimismo los imanes interactúan entre sí o con el hierro.

En el siglo XVIII, el físico francés Coulomb demostró que dos cuerpos eléctricamente cargados ejercen una fuerza de atracción o repulsión entre sí similar a la fuerza gravitacional: proporcional a la magnitud de la carga e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Pero, a diferencia de la fuerza gravitacional, que siempre es atractiva la fuerza eléctrica puede ser repulsiva o atractiva, si las cargas de los cuerpos son del mismo signo o de signo contrario. (Existen en la naturaleza cargas eléctricas positivas y negativas: por ejemplo, un átomo está constituido por un núcleo con carga positiva, rodeado de electrones de carga negativa; en condiciones normales, las dos cargas se compensan exactamente entre sí y la carga total de un átomo es cero.)

Aproximadamente por la misma época, Benjamin Franklin, en Estados Unidos, demostró que los rayos que se producen durante las tormentas son gigantescas chispas eléctricas que saltan entre las nubes y el suelo.

El estudio de la electricidad cobró un auge muy especial cuando se inventaron las pilas, que en un principio se consideraron botellas que contienen un misterioso "fluido eléctrico". Las pilas producen una corriente eléctrica en un cable de metal; hoy en día, sabemos que la corriente eléctrica es efectivamente un flujo de partículas llamadas electrones.

El hecho de que el magnetismo está relacionado con la electricidad se hizo evidente cuando el físico danés Hans Christian Oersted descubrió, a principios del siglo XIX, que las corrientes eléctricas producen fuerzas magnéticas que influyen sobre los imanes: una brújula tiende a alinearse perpendicularmente a un cable por donde pasa una corriente eléctrica suficientemente fuerte. Posteriormente, el científico francés Jean-Marie Ampère encontró una ley que relaciona la corriente eléctrica con la fuerza magnética que genera.

Pero el fenómeno más importante que pone de manifiesto la relación entre electricidad y magnetismo fue descubierto por el físico inglés Michael Faraday en 1831. Faraday notó que el movimiento de un imán puede inducir una corriente eléctrica en un cable, sin necesidad de pilas. En su época, este fenómeno parecía tener poca importancia, pero un siglo después el efecto de Faraday sirvió para generar y utilizar la energía eléctrica.

Tal era la situación de la electricidad y el magnetismo hasta mediados del siglo XIX: una serie de fenómenos y leyes aislados que relacionaban entre sí la electricidad y el magnetismo. Hacía falta una formulación unificada de estas leyes que permitiera una comprensión más profunda de la naturaleza de estas fuerzas. Tal obra fue realizada por Maxwell.

James Clerk Maxwell (Figura 5) nació en 1831, en Escocia. Su primera incursión en la física fue un estudio teórico de la estabilidad de los anillos del planeta Saturno: demostró que éstos no podían ser cuerpos sólidos, ya que la fuerza gravitacional del planeta los rompería con rapidez. Posteriormente, se interesó en la teoría molecular de los gases y llegó a ser uno de los pioneros de la llamada física estadística. Pero su obra más importante consiste en la formulación matemática de las leyes del electromagnetismo, los fenómenos unificados de la electricidad y el magnetismo. Maxwell logró expresar las leyes descubiertas por Coulomb, Faraday y Ampère en un conjunto de fórmulas (ecuaciones diferenciales, en lenguaje técnico) que relacionan matemáticamente las distribuciones de cargas y corrientes con las fuerzas eléctricas y magnéticas que generan en cada punto del espacio.

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Figura 5. James Clerk Maxwell (1831-1879).


Las ecuaciones de Maxwell permitieron ver en forma clara que la electricidad y el magnetismo son dos manifestaciones de un mismo fenómeno físico, el electromagnetismo. El fenómeno era similar a la gravitación, cuyas leyes fueron descubiertas por Newton; así como un cuerpo masivo produce una fuerza gravitacional sobre otro, un cuerpo eléctricamente cargado y en movimiento produce una fuerza electromagnética sobre otro cuerpo cargado. La diferencia más importante es que la magnitud y la dirección de la fuerza electromagnética dependen de la carga del cuerpo que lo produce y también de su velocidad; por esta razón, la teoría del electromagnetismo es más complicada que la teoría newtoniana de la gravitación, y las ecuaciones de Maxwell son más complejas que la fórmula de Newton para la fuerza gravitacional.

Un aspecto común entre la gravitación y el electromagnetismo es la existencia de una aparente acción a distancia entre los cuerpos, acción que tanto disgustaba a Newton. Maxwell no resolvió ese problema, pero inventó un concepto que desde entonces se ha utilizado constantemente en la física: el campo electromagnético. Según esta interpretación, en todo punto del espacio alrededor de una carga existe una fuerza electromagnética, cuya intensidad y dirección están definidas por medio de unas fórmulas matemáticas. En realidad, más que un concepto, el campo es una definición que da cierta consistencia a la idea de que una carga eléctrica actúa sobre otra lejana, sin tener que recurrir a una acción a distancia. Sólo en el siglo XX se pudo encontrar cierta base física a este concepto, pero en tiempos de Maxwell el campo electromagnético era una noción matemática sumamente útil, descrita por ecuaciones, pero cuya realidad física trascendía toda interpretación teórica.

El primer éxito, y el más notable, de la teoría de Maxwell fue la elucidación de la naturaleza de la luz. Maxwell demostró, a partir de sus ecuaciones matemáticas, que la luz es una onda electromagnética que consiste en oscilaciones del campo electromagnético. Así quedaba establecida, más allá de cualquier duda, la naturaleza ondulatoria de la luz, tal como lo pensaba Huygens y en contra de la opinión de Newton.

Se llama longitud de onda la distancia entre las dos crestas de una onda (Figura 6). En el caso de una onda de luz, esta longitud determina el color: a la luz roja corresponde una longitud de onda de ocho diezmilésimas de milímetro, mientras que a la luz violeta le corresponde una longitud de cuatro diezmilésimas de milímetro; en el intervalo comprendido entre estas dos longitudes se encuentran todas las gamas de colores del arco iris. Pero el ojo humano sólo puede percibir un intervalo muy pequeño de ondas luminosas. Más allá de la luz violeta se encuentra la llamada luz ultravioleta, luego los rayos X y finalmente los rayos gamma, cada uno con longitudes de onda cada vez más cortas. En el otro lado, con longitudes de onda cada vez mayores que la luz roja, se encuentra la luz infrarroja, las microondas y las ondas de radio.

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Figura 6. La longitud de onda.


Pero ¿qué sustenta a una onda en el espacio? Este problema no parecía haber avanzado más allá de las primeras suposiciones de Newton. No quedó más recurso a Maxwell que recurrir a la existencia del misterioso éter como un medio físico que transporta las ondas electromagnéticas y da cierto sustento al concepto del campo. Pero el problema del éter estaba relacionado con otro aspecto, enigmático, de la teoría de Maxwell: la aparente necesidad de un espacio absoluto.

Como mencionamos en el capítulo anterior, las leyes de la física deben ser independientes de todo sistema de referencia, de acuerdo con el principio de relatividad de Galileo. Sin embargo, las leyes del electromagnetismo, tal como las planteaba Maxwell, no cumplían este principio: al pasar de un sistema de referencia a otro, las ecuaciones de Maxwell tomaban una forma distinta, lo que implicaba leyes de la física diferentes. De hecho las ecuaciones del electromagnetismo en la forma deducida por Maxwell sólo podían ser válidas en un sistema de referencia muy especial, y los físicos especularon que ése no podía ser otro que el espacio absoluto.

Como mencionamos en el capítulo anterior, las leyes de la física deben ser independientes de todo sistema de referencia, de acuerdo con el principio de relatividad de Galileo. Sin embargo, las leyes del electromagnetismo, tal como las planteaba Maxwell, no cumplían este principio: al pasar de un sistema de referencia a otro las ecuaciones de Maxwell tomaban una forma distinta, lo que implicaba leyes de la física diferentes. De hecho las ecuaciones del electromagnetismo en la forma deducida por Maxwell sólo podían ser válidas en un sistema de referencia muy especial, y los físicos especularon que ése no podía ser otro que el espacio absoluto.

Ilustremos lo anterior con un ejemplo simple: el campo magnético actúa sobre una partícula cargada si ésta se encuentra en movimiento: la fuerza ejercida es directamente proporcional a la velocidad (y perpendicular a la dirección del movimiento). De acuerdo con la ley de Ampère, una corriente eléctrica produce un campo magnético, el cual puede actuar sobre una partícula cargada que se mueve paralelamente a la corriente; se puede ver que la partícula es atraída hacia el cable conductor con una fuerza proporcional a su velocidad (Figura 7). Pero ¿qué pasa en un sistema de referencia que se mueve junto con la partícula cargada? En ese sistema, la partícula está en reposo y, por lo tanto, la corriente eléctrica no debe ejercer ninguna fuerza sobre ella, ya que el campo magnético no actúa sobre partículas en reposo. Este es un claro ejemplo de la no-invariancia de las leyes físicas con respecto al sistema de referencia: aparentemente, hemos llegado al resultado contradictorio de que una partícula es atraída por una corriente eléctrica según desde donde la miremos. La única solución evidente de la paradoja es postular que las leyes del electromagnetismo tienen una forma muy especial en un cierto sistema de referencia privilegiado, cuya existencia objetiva se puede determinar por medio de experimentos físicos. Por ejemplo, en el caso de la partícula que se mueve a lo largo de una corriente eléctrica, debe influir no sólo la velocidad de la partícula con respecto al cable, sino también su velocidad con respecto a ese sistema de referencia privilegiado.

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Figura 7. Una partícula cargada en movimiento resiente una fuerza de atracción (o repulsión) producida por una corriente eléctrica.


La existencia de un sistema de referencia absoluto es perfectamente aceptable si uno admite la realidad del éter como una sustancia universal que sustenta los fenómenos electromagnéticos. El sistema absoluto es aquél donde el éter está en reposo y debe coincidir con el sistema de referencia en el que las estrellas, en promedio, parecen estar fijas. De hecho, la manera más directa de determinar la velocidad de un sistema de referencia con respecto al éter es medir la velocidad de la luz. Siendo esta velocidad definida con respecto al éter en reposo, debe variar de acuerdo con la velocidad del sistema de referencia.

Este hecho se utilizó en el primer intento de medir la velocidad de la Tierra en el éter, como veremos. Así, el espacio absoluto parecería tener una realidad física, más allá de la necesidad subjetiva de que exista un punto de referencia en el Universo con respecto al cual se puedan definir en forma única todos los movimientos.

LA BÚSQUEDA DEL ÉTER

La situación en el siglo pasado era tal que ningún físico dudaba de la existencia del éter, pero nadie tenía la más remota idea de qué clase de sustancia podía ser. Si todo lo penetraba sin que nada pudiera influir sobre él, ¿cómo detectarlo? Se pensaba que la única posibilidad real de confirmar, aun indirectamente, su existencia era a través de experimentos con la luz.

Si la luz tiene una velocidad bien definida con respecto al éter, entonces esta velocidad debe variar según el movimiento de quien la mida. Si un barco se mueve con una cierta velocidad fija con respecto al agua en reposo, ese mismo barco navegando por un río se moverá con respecto a la tierra firme con mayor o menor velocidad según si sube o baja la corriente. Para un observador en tierra firme, la velocidad del barco será menor si se mueve río arriba porque hay que restar la velocidad del agua a la del barco, mientras que si el barco se mueve río abajo, las dos velocidades se adicionan.

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Figura 8. La velocidad de la luz debería variar según la dirección de un rayo luminoso, debido al movimiento de la tierra.


Lo mismo debe suceder con la luz, cuya velocidad es fija con respecto al éter. La Tierra gira alrededor del Sol con una velocidad aproximada de 30 kilómetros por segundo. De acuerdo con el razonamiento anterior, un rayo de luz emitido en el sentido de movimiento de la Tierra debe moverse, con respecto a la Tierra misma, con una velocidad menor que un rayo emitido en la dirección contraria, siendo la diferencia de velocidades entre los dos rayos luminosos de 60 kilómetros por segundo (Figura 8). Si se pudiera medir esa variación de la velocidad se confirmaría indirectamente la existencia del éter, o al menos la de un sistema de referencia absoluto.

La velocidad de la luz es de aproximadamente 300 000 kilómetros por segundo; evidentemente, la medición de la velocidad luminosa debe ser extremadamente precisa para poder detectar una variación de sólo 60 kilómetros por segundo. Tal era el reto para los físicos experimentales del siglo pasado.

El primer experimento confiable para medir la velocidad de la Tierra con respecto al éter fue realizado en 1887 por los norteamericanos Albert Abraham Michelson y Edward W. Morley El aparato que utilizaron fue un interferómetro, que permite medir distancias y velocidades con enorme precisión utilizando haces de luz en interacción.1 El experimento consistía en dividir, por medio de un espejo semitransparente, un haz luminoso en dos haces perpendiculares, que se reflejaban en sendos espejos para volver a unirse y calibrar, así, el aparato. Luego se giraba todo el aparato: cualquier cambio en la velocidad de la luz debería producir una interferencia entre los dos haces luminosos que podía detectarse directamente (Figura 9).

Física. Relatividad para principiantes.(1)
Figura 9. El interferómetro utilizado por Michelson y Morley.


El experimento se llevó a cabo con todo el cuidado necesario, pero, sorprendentemente, Michelson y Morley no detectaron ningún cambio en la velocidad de la luz. A pesar del movimiento de la Tierra, la luz se movía con la misma velocidad en todas las direcciones.

¿Cómo explicar el resultado negativo del experimento? Tanto Michelson y Morley, como otros físicos, propusieron varias hipótesis: quizás la Tierra arrastra consigo al éter en su movimiento; quizás los cuerpos se contraen en la dirección de su movimiento, cancelando así el efecto debido a la diferencia de velocidades de los dos haces luminosos del experimento; quizás la velocidad de la luz es constante con respecto a la fuente que la emite, etc. Durante algunas décadas, el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley fue uno de esos detalles molestos que no encajan en ninguna teoría bien establecida, y que no cobran verdadera importancia hasta que se produce una revolución científica. En este caso, la revolución científica fue la teoría de la relatividad.


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III. LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN


ALBERT EINSTEIN nació en 1879 en la ciudad alemana de Ulm. Según contaba él mismo, empezó a interesarse en la física siendo aún niño, un día que le compraron una brújula. Le intrigaba el hecho de que el imán señalara siempre la misma dirección, y, como era de esperarse, las explicaciones que le dieron los adultos estaban lejos de satisfacerle.

Cuando llegó a la edad de escoger profesión, Einstein decidió estudiar física en el Instituto Tecnológico de Zurich, a donde logró ingresar no sin haber sido rechazado en su primer intento por tener calificaciones mediocres en todas las materias, excepto en matemáticas. En ése Instituto se graduaría finalmente en 1900.

Luz
Figura 10. Albert Einstein en la oficina de patentes de Berna, alrededor de 1905.


Como no había sido un estudiante brillante, Einstein no logró encontrar ningún puesto de trabajo como físico al terminar sus estudios. Finalmente, para subsistir y mantener a su familia (se había casado en 1903 y su primer hijo había nacido poco después), aceptó un empleo en la Oficina de Patentes de Berna, en Suiza. Su trabajo consistía en estudiar las solicitudes de patentes, pero en sus ratos libres seguía dedicándose a la física.

Uno de los problemas que más le interesaba en aquella época era la aparente incompatibilidad entre el principio de relatividad galileano y la teoría electromagnética de Maxwell. Sobre este tema, y antes de Einstein, habían trabajado el físico holandés Hendrik Lorentz y el matemático francés Henri Poincaré. El problema que se habían planteado era el siguiente: Las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento del campo electromagnético en cada punto del espacio y en cada instante de tiempo (o, en términos un poco más matemáticos, dicho campo depende de tres coordenadas espaciales, digamos x, y, z, y el tiempo t) Ahora bien ¿se pueden cambiar la posición y el tiempo en las ecuaciones de Maxwell sin alterar su forma? En el caso de las ecuaciones de la mecánica newtoniana, la respuesta es afirmativa debido al principio de relatividad de Galileo: se puede pasar de un sistema de referencia a otro sin cambiar la forma de las ecuaciones (las leyes de la física son invariantes), si el tiempo medido en cada sistema es el mismo. Evidentemente, en el caso del electromagnetismo, el problema es más complicado porque, no se puede recurrir a la relatividad galileana. Sin embargo, Lorentz demostró que existe una transformación matemática que deja invariante la forma de las ecuaciones de Maxwell, siempre y cuando se cambie no sólo la posición de un punto sino también el tiempo. El mismo resultado fue obtenido y generalizado por Poincaré. (Ver Apéndice).

En su época, el trabajo de Lorentz fue considerado una curiosidad matemática, ingeniosa pero desprovista de sentido físico. En efecto; ¿cómo puede el tiempo transcurrir en forma diferente en sistemas de referencia distintos? La misma experiencia diaria y el sentido común parecen negar tal posibilidad.

Tal era la situación cuando Einstein publicó en 1905 el famoso artículo intitulado Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, en una prestigiosa revista alemana de física; con ese trabajo nació la teoría de la relatividad.

Einstein postuló que las ecuaciones de Maxwell deben tener la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial y que, por lo tanto, es imposible distinguir, a partir de experimentos electromagnéticos, un sistema de referencia inercial de otro. Para que este principio de relatividad se cumpla, es necesario que las transformaciones de Lorentz sean físicamente válidas; en consecuencia, el tiempo medido entre dos sucesos depende del movimiento de quien lo mide.

Einstein postuló que no existe un tiempo absoluto, ni un espacio absoluto y, por lo tanto, tampoco un éter. Pero, si no existe el éter ¿con respecto a qué debe medirse la velocidad de la luz? La respuesta fue tajante: la velocidad de la luz (en el vacío) es la misma en cualquier sistema de referencia inercial. Después de todo, eso es lo que indicó el experimento de Michelson y Morley.

La invariancia de la velocidad de la luz parece contradecir toda experiencia. Si la velocidad de la luz es de 300 000 kilómetros por segundo, se esperaría que al correr tras una señal luminosa ésta parecería tener una velocidad menor. Sin embargo, según Einstein, no importa cómo se mueva un sistema de referencia, pues la velocidad de la luz medida en él será siempre de 300 000 kilómetros por segundo. En la teoría de la relatividad, las velocidades no se adicionan o sustraen simplemente, pues hay que tomar en cuenta también cómo se mide el tiempo en un sistema de referencia dado. (Ver Apéndice A. )

En resumen, la velocidad de la luz en el vacío1 es una constante fundamental de la naturaleza, independiente de quién la mida. Es una velocidad extremadamente alta en comparación con nuestra experiencia cotidiana (un rayo luminoso sólo necesita dos segundos para ir de la Tierra a la Luna y volver). ¿Por qué la luz tiene esa velocidad y no otra? Esta pregunta no la puede responder la física; lo único que se puede afirmar es que, de ser otra la velocidad de la luz, el Universo sería muy distinto al que conocemos y no existiríamos nosotros para formularnos tales preguntas.

EL TIEMPO Y EL ESPACIO RELATIVOS

El hecho de que el tiempo no transcurre en forma igual para observadores distintos es una de las predicciones más sorprendentes de la teoría de Einstein. Nuestro sentido común, basado en la práctica cotidiana, indica que los relojes funcionan de la misma forma, sin importar cómo se mueven. ¿No es entonces absurdo pretender que el tiempo medido es relativo al observador? Es importante señalar que el efecto predicho por Einstein sólo es perceptible a velocidades cercanas a la de la luz.

Para ser más precisos, supongamos que, en un cierto sistema de referencia, dos sucesos ocurren en el mismo lugar y con un intervalo de tiempo t. En otro sistema de referencia que se mueve con velocidad V con respecto al primero, los dos sucesos ocurren con un intervalo de tiempo t' dado por la fórmula:

velocidad


( de aquí en adelante usaremos c para designar la velocidad de la luz); es decir, el tiempo medido en el segundo sistema es mayor que el medido en el primero. Qué tan mayor depende de la velocidad V; si V es muy pequeña con respecto a la velocidad de la luz c, entonces la diferencia entre t y t' es prácticamente imperceptible (por ejemplo, si V=10 000 kilómetros por hora, t y t' apenas difieren en una parte en cien mil millones); en el otro extremo, si V es cercano a la velocidad de la luz, entonces es mucho mayor que t (por ejemplo, si V es 0.997 veces la velocidad de la luz c, entonces t' es 13 veces mayor que t). La relación entre los tiempos medidos en dos sistemas de referencia en movimiento relativo está determinada por el valor del llamado factor de Lorentz:

Einstein


que difiere del valor 1 sólo para velocidades cercanas a la de la luz (Figura 11).

Así, la razón por la que no percibimos variaciones de tiempo en nuestra experiencia diaria es que estamos acostumbrados a movernos a velocidades extremadamente pequeñas con respecto a la velocidad de la luz. Si la velocidad de la luz fuera muchísimo menor de lo que es, estaríamos acostumbrados a variaciones del tiempo, y no hubiera sido necesario un Einstein para convencernos de que el tiempo es relativo a quien lo mide.

Pero entonces, ¿es imposible determinar en forma única la duración de un fenómeno?, ¿nos condena la relatividad a perder el concepto del tiempo? Nada de eso. El tiempo que marca un reloj es un concepto perfectamente bien definido. De acuerdo con la teoría de la relatividad, el tiempo de ese reloj no coincide con el que marca otro reloj que se mueve con respecto al primero, pero la relación entre los dos tiempos se puede determinar perfectamente.

masa

Figura 11. Gráfica del factor de Lorentz g en función de la velocidad v.


Todos los fenómenos físicos tienen su tiempo asociado: los relojes de cuarzo que se utilizan en la actualidad miden el tiempo contando el número de vibraciones electromagnéticas emitidas por los átomos en un cristal de cuarzo, y ese tiempo es el mismo para todos los relojes del mundo. Si un cosmonauta realizara un viaje por el espacio a una velocidad cercana a la de la luz, no percibiría nada de particular con respecto a su propio tiempo, pero al regresar a la Tierra notaría que su reloj no coincide con el de los que se quedaron en ella. Como veremos más detalladamente en el siguiente capítulo, el tiempo transcurrido para el cosmonauta será menor que el transcurrido en la Tierra, aunque ambos tiempos se pueden medir sin ambigüedades.

En conclusión, si queremos medir el tiempo transcurrido entre dos sucesos, nos conviene hacerlo en un sistema de referencia en el que los dos sucesos ocurren en el mismo punto. Al tiempo así medido, los físicos llaman tiempo propio. En otro sistema de referencia que se mueve con respecto al primero, los dos sucesos no parecen ocurrir en el mismo sitio y el tiempo transcurrido entre ellos difiere del tiempo propio por un factor de Lorentz. (Figura 11.)

Otra consecuencia sorprendente de la teoría de Einstein es que el espacio, al igual que el tiempo, también es relativo a quien lo mide. Más específicamente, si la longitud de un cuerpo en reposo es L, entonces su tamaño en movimiento, digamos L', será menor, de acuerdo con la fórmula:

Galileo


Tal y como sucede con el tiempo, esta contracción aparente es imperceptible si la velocidad del objeto es mucho menor que la velocidad de la luz.

Es importante, sin embargo, no confundir esta contracción del tamaño con la apariencia visual de un objeto en movimiento. Cuando vemos un objeto, percibimos en cada instante la luz que fue emitida por distintas partes del cuerpo a tiempos distintos, porque la luz no se propaga instantáneamente. Este efecto debe tomarse en cuenta, en combinación con la contracción mencionada más arriba, para deducir la apariencia de un cuerpo en movimiento. Volveremos a este tema en el siguiente capítulo.

MATERIA Y ENERGÍA

Además de la contracción del tiempo y del espacio, la teoría de la relatividad predice un efecto que, en un principio, parecía un resultado puramente formal, pero que algunos años más tarde modificó fundamentalmente el curso de la historia. Einstein se dio cuenta de que la masa y la energía de un cuerpo aparecen siempre unidas de una manera muy conspicua en las ecuaciones de su teoría. Esto le condujo a afirmar que existe una equivalencia entre la masa y la energía expresada por la fórmula:

relatividad


donde E es la energía de un cuerpo, m su masa y c2 la velocidad de la luz elevada al cuadrado.

En la mecánica newtoniana, un cuerpo de masa m que se mueve con velocidad V posee, en virtud de su movimiento, una energía igual a 1/2 mV2. En la teoría de la relatividad, la energía de movimiento del cuerpo resulta ser:

newton


donde una vez más aparece el factor de Lorentz. Lo interesante de esta fórmula es que, incluso cuando un cuerpo se encuentra en reposo (es decir, V = 0), posee una energía que es justamente mc2. Einstein concluyó que un cuerpo aun en reposo posee una energía almacenada en forma de masa.

La fórmula de Einstein E = mc2 afirma que un solo kilogramo de materia equivale aproximadamente a toda la energía que se consume en la Tierra en una hora. Obviamente surge la pregunta de si se puede extraer, en la práctica, la enorme energía almacenada en la materia. Al principio Einstein y los demás físicos pensaban que eso era sólo una ilusión; pero la situación empezó a cambiar en los años treinta...

Algunas veces, la fórmula de Einstein se interpreta en el sentido de que un cuerpo que se mueve aumenta su masa, adquiriendo una nueva masa m' dada por la fórmula:

energía


Sin embargo, es más conveniente interpretar esto como un aumento de energía del cuerpo, ya que en la práctica, la masa de un cuerpo en movimiento no se puede medir sin ambigüedades.

Por último, hay que notar que según la fórmula anterior la energía de un cuerpo aumenta indefinidamente a medida que su velocidad v tiende a la velocidad luminosa (recuérdese el factor Lorentz, Figura 11). Para que un cuerpo alcance la velocidad de la luz, se necesita una energía infinita. Por esta razón, la velocidad de la luz es una barrera natural a todas las velocidades en la naturaleza: todo cuerpo masivo está restringido a moverse más lentamente que la luz.

LA NATURALEZA DE LA LUZ

Como señalamos anteriormente, la teoría de la relatividad cortó de raíz el concepto del éter como sistema absoluto de referencia. Fue un alivio para la física, pues no había modo de explicar la naturaleza de una sustancia tan intangible. Sin embargo, al desaparecer el éter resurgía con más fuerza el problema de la propagación de la luz: si la luz es una onda, como indican todos los experimentos, ¿en qué medio se propaga? Para responder a esta pregunta, fue necesaria otra revolución científica: la mecánica cuántica, en cuya fundación también participó Einstein en forma decisiva.

Todo cuerpo caliente radia energía en forma de luz; por ejemplo, un hierro incandescente emite principalmente luz roja, pero también luz de otras longitudes de onda. La cantidad de energía emitida en cada longitud de onda depende fundamentalmente de la temperatura del cuerpo emisor y se puede medir experimentalmente. A fines del siglo XIX, los físicos se enfrentaban al problema de explicar teóricamente lo que observaban en el laboratorio, pero algo parecía no funcionar con los conceptos bien establecidos de la física.

Finalmente, el físico alemán Max Planck demostró que se podía explicar la forma de la radiación emitida por un cuerpo si se postulaba, que la luz se propaga en paquetes de energía, siendo la energía de cada paquete inversamente proporcional a la longitud de la onda. De acuerdo con la hipótesis de Planck, la energía transportada por una onda luminosa es un múltiplo de la energía:

hv


donde h es la llamada constante de Planck —su valor es 6.547 X 10-27 erg/seg— y v, es, la frecuencia de la onda (el número de vibraciones por segundo; la frecuencia v y la longitud de onda l están relacionadas por la fórmula v=c/l).

La hipótesis de Planck, formulada en 1900, explicaba los experimentos pero no parecía tener ninguna base física. Después de todo, una onda luminosa puede tener cualquier energía, del mismo modo como una onda de sonido puede ser débil o fuerte. En 1916 Einstein propuso una solución revolucionaria; ¡la luz está compuesta de partículas!, siendo la energía de cada partícula hv; de acuerdo con la hipótesis de Planck.

Una vez más, Einstein contradecía las ideas bien establecidas de su época. Cuando finalmente los físicos se habían convencido de que la luz es una onda, ¡Einstein postulaba que es una partícula! Sin embargo, esta dualidad onda-partícula resultó ser una propiedad fundamental de la naturaleza a nivel atómico. Todos los fenómenos atómicos están regidos por la mecánica cuántica, que es radicalmente distinta de la mecánica newtoniana. Uno de los postulados básicos de la mecánica cuántica es que las partículas elementales, que constituyen la materia, están dotadas de propiedades tanto de onda como de partícula.

La partícula de la luz es el fotón, que también se comporta como una onda, y la relación entre la energía del fotón y su frecuencia está dada por la fórmula de Planck. Evidentemente, el fotón viaja siempre a la velocidad de la luz. Para ello, su masa debe ser exactamente cero, ya que, como señalamos más arriba, una partícula masiva necesita energía infinita para moverse a la velocidad de la luz; sólo una partícula sin masa puede viajar a esa velocidad y poseer una energía finita.

Einstein postuló la existencia del fotón en otro famoso artículo publicado en 1905, en el que explicaba el efecto fotoeléctrico. Este fenómeno consiste en que algunos materiales producen una corriente eléctrica al absorber la luz, lo cual es el principio del funcionamiento de las celdillas fotoeléctricas; muy utilizadas actualmente (para hacer que cierre la puerta de un elevador, por ejemplo). El trabajo de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico (y no la teoría de la relatividad) le valió el premio Nóbel de física de 1921.

Por supuesto, el fotón no necesita de ningún éter para propagarse. En el lenguaje de la física moderna, el campo electromagnético posee energía, y esta energía está cuantizada: aparece sólo en paquetes de energía. El fotón se interpreta como un cuantum (cantidad mínima indivisible) de campo electromagnético.


Fuente.

[Si querés leer la 2da. parte click acá.]

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9 comentarios - Física. Relatividad para principiantes.(1)

@melist +1
Se ve interesante che.

A leer se ha dicho.

@DobleCero7
Muy buen aporte!
Recuperando la inteligencia colectiva!

Te dejo puntos y recomendado

@bond100000
Excelente !!!!!
@Otro_Anonimo
Gracias por tu comentario
@gjimenezc3
gracias muy buenos tus aportes
@Otro_Anonimo
Gracias por pasar, suelo dejar links a post anteriores medianamente relacionados; para que los visiten.
@Keyshee
Una pregunta.
Sabés en qué unidad se debe escribir C y V en el factor de Lorentz? digamos, C sería igual a 300.000km/s o la velocidad está dada en otra unidad?
Saludos! muy buen post
@Keyshee
@lidermto estaba viendo que se puede utilizar cualquier unidad de velocidad, siempre y cuando la unidad que uses en C la uses también en V para que se pueda cancelar.
Saludos!
@Otro_Anonimo
Las unidades deben ser las mismas en las respectivas velocidades.
@lidermto
@Keyshee claro, mientras puedas cancelar podes usar la unidad que quieras, km/s , mts/s, zapallos/zanahorias , picachu/poquemon.

pero cuando hablamos de "c" lo mas conveniente es usar su unidad mayor, ya que unidades menores, dan números realmente largos y da la posibilidad a la confucion, porque como "c" multiplica, todos los números se van a la mierd......osea cuando los numeros son de muchas unidades combiene ponerlos con notación científica y cuando pones esos numeros en la calculadora,
@Keyshee +1
Para divertirme un rato calculé cuánto viajó en el tiempo, de forma aproximada, la sonda Voyager 1, la cuál hace 35,5 años que está viajando a una velocidad de 16,04km/s.
Desde que salió de la Tierra a esa velocidad, hasta el día de hoy, viajó 12 minutos y 25 segundos al futuro jajaj me volví loco con tantos números
@Otro_Anonimo
Gracias por comentar y por tu interes jaja
@thecarlagas
Lo pondré en mis favoritos y lo leeré cuando tenga tiempo, se ve interesante.