Bellezas numéricas
Las ecuaciones matemáticas no sólo son útiles, muchas de ellas son muy
bellas. Y muchos científicos admiten que, a menudo, son aficionados a
unas fórmulas en particular no sólo por su función, sino por su forma,
y las verdades simples y poéticas que contienen.





De Shutterstock / Fedorov Oleksiy

Mientras
que ciertas ecuaciones famosas, como la E=mc^2 de Albert Einstein,
acaparan la mayor parte de la gloria pública, muchas otras fórmulas,
menos familiares, suelen ser las favoritas entre los científicos.
LiveScience ha preguntado a físicos, astrónomos y matemáticos sobre sus
ecuaciones favoritas, esto es lo que nos encontramos:


1 - Relatividad General





Credit: Shutterstock / R.T. Wohlstadter

Esta
ecuación fue formulada por Einstein como parte de su revolucionaria
teoría general de la relatividad en 1915. La teoría revolucionó la
forma de entender la gravedad, mediante la descripción de la fuerza
como una deformación de la estructura del espacio-tiempo.

"Todavía
sorprende que una ecuación matemática, pueda describir todo lo que el
espacio-tiempo tienen que ver", dijo Mario Livio, del Institute
astrofísico Space Telescope Science, que denominó dicha ecuación como
su favorita. "Todo el genio de Einstein se materializa en esta
ecuación."

"La parte derecha de esta ecuación describe el
contenido de energía de nuestro universo", explicó Livio, "La parte
izquierda describe la geometría del espacio-tiempo. La igualdad refleja
el hecho de que la relatividad general de Einstein, la masa y la
energía determinan la geometría y, paralelamente, la curvatura, que es
una manifestación de lo que llamamos gravedad."

"Es una ecuación
muy elegante", dijo Kyle Cranmer, físico de la Universidad de Nueva
York, esta ecuación pone de manifiesto la relación entre el
espacio-tiempo y la materia y la energía.


2 - Modelo Estándar





Crédito: Shutterstock / R.T. Wohlstadter

Otra
de las teorías físicas reinantes, el modelo estándar, describe el
conjunto de partículas fundamentales que actualmente se cree que forman
nuestro universo.

La teoría puede resumirse en una ecuación
principal llamada modelo estándar de Lagrange (en honor al matemático y
astrónomo del siglo XVIII, Joseph Louis Lagrange), la cual fue
elegida por el físico teórico Lance Dixon, del SLAC National
Accelerator Laboratory en California, como su fórmula favorita .

"Se han descrito con éxito todas las partículas elementales y las fuerzas
que hemos observado en el laboratorio hasta la fecha, con excepción de
la gravedad", dijo Dixon. "Eso incluye, por supuesto, el recien
descubierto boson de Higgs, phi en la fórmula. Es auto-consistente con
la mecánica cuántica y la relatividad especial."

La teoría del modelo estándar aún no se ha unido con la relatividad general, por lo que no se puede describir la gravedad.


3 - Cálculo





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Mientras que las dos primeras ecuaciones describen aspectos particulares de
nuestro universo, hay otra de las ecuaciones favoritas que se puede
aplicar a todo tipo de situaciones. El teorema fundamental del cálculo
es la columna vertebral del método matemático conocido como cálculo, y
que enlaza las dos ideas principales, el concepto de integral y el
concepto de derivada.

"En otras palabras, nos dice que el cambio
neto de una cantidad uniforme y continua, como puede ser una distancia
recorrida, durante un intervalo de tiempo dado (p. ej., la diferencia
en los valores de cantidad en los puntos extremos del intervalo de
tiempo) es igual a la integral de la velocidad de cambio de dicha
cantidad, es decir, la integral de la velocidad", explicaba Melkana
Brakalova-Trevithick, presidenta del departamento de matemáticas en la
Universidad de Fordham, que eligió esta ecuación como su favorita. "El
teorema fundamental del cálculo nos permite determinar el cambio neto
de un intervalo basado en la tasa de cambio del intervalo entero".

La semilla de este teorema comenzó en la antigüedad, pero gran parte fue
elaborado en el siglo XVII por Isaac Newton, que utilizó dicho cálculo
para describir el movimiento de los planetas alrededor del Sol.


4 - Teorema de Pitágoras





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Una "vieja pero hermosa" ecuación es el famoso teorema de Pitágoras, que todo estudiante de geometría debe aprender.

Esta fórmula describe cómo, para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado
de la longitud de la hipotenusa (el lado más largo de un triángulo
rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de
los otros dos lados.


5 - La ecuación de Euler





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Esta simple fórmula resume lo puro de la naturaleza de las esferas:
"Se dice que si se corta la superficie de una esfera en caras, aristas y
vértices, y ya sea F el número de caras, E el número de aristas y V el
número de vértices, siempre se obtendrá V - E + F=2", dijo Colin
Adams, un matemático del Williams College en Massachusetts.

"Así que, por ejemplo, tomamos un tetraedro, que consta de cuatro
triángulos, seis aristas y cuatro vértices", explicaba. "Si usted
soplara con fuerza en un tetraedro con caras flexibles, podría
redondearlo en una esfera; en este sentido, una esfera podría cortarse
en cuatro caras, seis aristas y cuatro vértices. Luego vemos, V - E + F
= 2. Lo mismo vale para una pirámide de cinco caras (cuatro triángulos
y un cuadrado) ocho aristas y cinco vértices", y cualquier otra
combinación de caras, aristas y vértices.

"Es genial. La combinatoria de vértices, aristas y caras es la captura de algo muy
fundamental sobre la forma de una esfera", comentó Adams.


6 - La relatividad especial





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Einstein entra de nuevo en la lista con su fórmula de la relatividad especial,
que describe cómo el tiempo y el espacio no son conceptos absolutos,
sino relativos, dependiendo de la velocidad del observador. La ecuación
anterior muestra cómo el tiempo se dilata, o se ralentiza, cuanto más o
menos rápido se mueva una persona en cualquier dirección.

"El punto es realmente muy simple", dijo Murray Bill, físico de partículas
en el laboratorio del CERN en Ginebra. "No hay nada allí que un
estudiante de un nivel A no pueda hacer, sin derivadas complejas ni
trazar álgebras. Pero lo que encarna es una nueva forma de ver el
mundo, una actitud hacia la realidad y nuestra relación con ella. De
repente, se ha barrido y reemplazado el rígido e inmutable cosmos por
un mundo personal, en relación con lo que se observa. Se pasa de estar
fuera del universo, mirándolo hacia abajo, a ser uno de los componentes
de su interior. Pero los conceptos y las matemáticas pueden ser
captados por cualquier persona que quiera hacerlo".

Murray dijo que prefería las ecuaciones de la relatividad especial a las
posteriores fórmulas más complicadas de la teoría de Einstein. "Nunca
pude seguir las matemáticas de la relatividad general", dijo.


7 - 1=0,999999999 ....





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Esta simple ecuación, que establece que la cantidad de 0,999, seguida de una
cadena infinita de nueves, es equivalente a uno, es la favorita de
Steven Strogatz matemático de la Universidad de Cornell.

"Me encanta lo fácil que es, todo el mundo dice que la entiende, sin
embargo, es muy provocativa", señaló Strogatz. "Muchas genete no cree
que pueda ser verdad. Está también muy bien equilibrada. El lado
izquierdo representa el inicio de las matemáticas, el lado derecho
representa los misterios del infinito."


8 - Ecuaciones Euler-Lagrange y el teorema de Noether





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"Hay mucha abstracción, pero son increíblemente poderosas", dijo Cranmer, de
la Universidad de Nueva York. "Lo genial es que esta manera de pensar
acerca de la física ha sobrevivido a algunas de las más grandes
revoluciones de la física, como la mecánica cuántica, la relatividad,
etc."

Aquí, la L representa la función lagrangiana,
que es una medida de la energía en un sistema físico, como resortes o
palancas, o partículas fundamentales. "Resolver esta ecuación nos
explica cómo el sistema evolucionará con el tiempo," dijo Cranmer.

Un derivada de la ecuación lagrangiana se llama el teorema de Noether, después del 20 del siglo matemático alemán Emmy Noether.
"Este teorema es realmente fundamental para la física y el rol de la
simetría", dijo Cranmer. "Informalmente, el teorema viene a decir que
si el sistema tiene simetría, entonces existe la correspondiente ley de
conservación. Por ejemplo, la idea de que las leyes fundamentales de la
física son las mismas hoy y mañana (simetría temporal) implica que la
energía se conserva. El idea de que las leyes de la física son las
mismas aquí que en el espacio exterior implica que el momentum se
conserva. La simetría es quizá el concepto conductor en física
fundamental, gracias principalmente a la contribución de Noether."


9 - Ecuación Callan-Symanzik





Crédito: Shutterstock / R.T. Wohlstadter

"La ecuación Callan-Symanzik es parte vital de primera ecuación principal
de 1970, esencial para describir cómo las ingenuas expectativas
fallarán en un mundo cuántico", comentaba el físico teórico, Matt
Strassler, de la Universidad de Rutgers.

La ecuación tiene numerosas aplicaciones, incluyendo la de permitir a los físicos
calcular la masa y el tamaño del protón y el neutrón, que constituyen
el núcleo de los átomos.

La física básica nos dice que la fuerza
gravitacional y la fuerza eléctrica entre dos objetos es proporcional a
la inversa de la distancia entre ellos al cuadrado. A un nivel simple,
lo mismo es verdad para la fuerza nuclear fuerte, que une los protones
y los neutrones, para formar los núcleos de los átomos, y que une a los
quarks para formar protones y neutrones. Sin embargo, pequeñas
fluctuaciones cuánticas pueden alterar ligeramente la dependencia de la
fuerza sobre la distancia, lo cual tiene consecuencias drásticas para
la fuerza nuclear fuerte.

"Esto evita que esta fuerza decrezca
en las distancias largas, y origina que atrape los quarks y los combine
para formar los protones y los neutrones de nuestro mundo", explicó
Strassler. "Lo que hace la ecuación Callan-Symanzik es relacionar este
drástico y difícil efecto de calculo, muy importante cuando la
distancia es aproximadamente del tamaño de un protón, los más sutiles
pero más fáciles efectos de calculo, se pueden medir cuando la
distancia es mucho menor que un protón."


10 - La ecuación de superficie mínima





Crédito: Shutterstock / MarcelClemens

"La ecuación de superficie mínima de algún modo codifica una hermosa
película de jabón que se forma justo en la frontera cuando chapoteas en
esa agua jabonosa", recreaba el matemático Frank Morgan, del Williams
College. "El hecho es que una ecuación "no lineal" que implica potencia
y productos de derivados, es una pista codificada matemática del
sorprendente comportamiento de las películas de jabón. Esto contrasta
con las más familiares lineales parciales de las ecuaciones
diferenciales, como la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Schrödinger de la física cuántica."


11 - La recta de Euler





Crédito: Patrick Ion / Mathematical Reviews / AMS


Glen Whitney, fundador del Museo de Matemáticas de Nueva York, eligió otro
teorema geométrico, que tiene que ver con la recta de Euler, nombrada
así en honor al matemático y físico suizo, Leonhard Euler.

"Empieza con un triángulo", explicaba Whitney. "Dibujar el círculo más pequeño
que contiene al triángulo y encuentra su centro. Hallar el centro de
masa de un triángulo (que es el punto del triángulo que si se recorta
en una hoja de papel, sería su punto de equilibrio sobre un alfiler).
Dibujar las tres alturas de un triángulo (las líneas de cada esquina
perpendiculares a su lado opuesto), y encontrar el punto donde se
encuentran. El teorema trata de que los tres puntos que acabamos de
hallar siempre se extienden en una sola línea recta, llamada 'recta de
Euler line' de un triángulo."

Whitney dijo que este teorema resume la belleza y el poder
de las matemáticas, que a menudo revela unos patrones
sorprendentes de formas simples y familiares.