El Gran Troll Matemático






Quienes estudien ingeniería o ciencias exactas conocerán algunos de los teoremas de Pierre de Fermat.




Muchos saben que las funciones derivables tienen derivada igual a cero en los puntos extremos, pero muchos no saben que este teorema, entre muchos, le pertenece a Fermat.




Si una función f alcanza un máximo o mínimo local en c, y si la derivada f '(c) existe en el punto c, entonces f '(c) = 0.






Para quienes no lo conocen, un breve introducción sobre quién fue El Príncipe de los Aficionados.



Fermat fue un jurista francés y aficionado a las matemáticas (condición que no le impidió ser considerado uno de los dos matemáticos mas importantes de la primera mitad del siglo XVII), razón por la cual se lo conoce como El Príncipe de los Aficionados.

Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz.


Fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal.


Descubrió el principio fundamental de la geometría analítica.



Famoso por sus aportes a Teoría de los Números.




Espiral Parabólica



También conocida como La Espiral de Fermat, es un caso particular de la Espiral de Arquímedes. Responde a la ecuación


Números Amigos




Fermat descubrió que 17.296 y 18.416 eran una pareja de números amigos (dos números naturales a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b, y b es la suma de los divisores propios de a) además de redescubrir una fórmula general para calcularlos, conocida por Tabit ibn Qurra, alrededor del año 850.


Teorema sobre la suma de dos cuadrados. Afirma que todo número primo p, tal que p-1 es divisible entre 4, se puede escribir como suma de dos cuadrados.


Pequeño teorema de Fermat, afirma que, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p, siendo p un número primo. Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía.


Principio de Fermat




El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo.







Entonces, por qué Troll, si fue tan importante?




Es sabido que Fermat se mensajeaba con otros matemáticos, y en estas cartas solía hacer alarde de sus descubrimientos o avances en la materia, animando cierto tipo de competencia por su tono altanero, ya que además, tenía la mala costumbre de no publicar los resultados a los que llegaba. Así, Fermat torturaba a sus interlocutores, quienes se debatían entre la admiración y el odio hacia jurista.




Y acá está lo curioso: por una de esas notas Fermat pasó a la historia...





muchos conocen el Teorema de Pitágoras, que plantea:

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.






Pero qué pasa si en vez de estar los tres términos elevados al cuadrado, están elevados al cubo? La igualdad se cumple?




Y si la igualdad se plantea de forma mas general, qué pasa?




Y acá aparece lo interesante



Según Fermat, para potencias mayores a 2, la igualdad jamás se cumple. Él dijo haber demostrado esto, pero nadie jamás encontró tal demostración.


El Margen más Famoso de la Historia



Pierre de Fermat escribió en el margen de su ejemplar de la Arithmetica de Diofanto, traducido por Claude Gaspar Bachet, en el problema que trata sobre escribir un número cuadrado como suma de dos cuadrados

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.



Traducido


Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.




"He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla."Como todos saben, una cosa es intuir algo y otra es demostrarlo, y en matemática si no se demuestra no sirve. Y Fermat, fiel a su estilo, nunca puso su maravillosa demostración.





Y los genios se volvieron locos






Todos los teoremas de Fermat fueron demostrados, salvo este, razón por la cual se lo empezó a conocer como el Último Teorema de Fermat. Y todos los matemáticos se vieron seducidos y desafiados por este teorema, y empezó la carrera.


Leonard Euler




Euler, uno de los matemáticos mas grandes de todos los tiempos intentó demostrar el último teorema de Fermat, pero sólo consiguió avanzar un poco y demostrarlo para n = 3.


Sophie Germain




El siguiente mayor paso fue hecho por la matemática Sophie Germain. Un caso especial dice que si p y 2p + 1 son ambos primos, entonces la expresión de la conjetura de Fermat para la potencia p implica que uno de los x, y ó z es divisible por p. En consecuencia la conjetura se divide en dos casos:

Caso 1: Ninguno de los x, y, z es divisible por p.
Caso 2: Uno y sólo uno de x, y, z es divisible por p.

Sophie Germain probó el caso 1 para todo p menor que 100 y Adrien-Marie Legendre extendió sus métodos a todos los números menores que 197. Aquí se encontró que el caso 2 no estaba demostrado ni siquiera para p = 5, por lo que fue evidente que era en el caso 2 en el que había que concentrarse. Este caso también se dividía entre varios casos posibles.


Legendre




No fue hasta 1825 que Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Legendre generalizaron para n=5 la demostración de Euler.


Lamé




Lamé demostró el caso n=7 en 1839.


Ernst Kummer




Entre 1844 y 1846 Ernst Kummer demostró que la factorización no única podía ser salvada mediante la introducción de números complejos ideales. Un año después Kummer afirma que el número 37 no es un primo regular (Ver: Números de Bernoulli). Luego se encuentra que tampoco 59 y 67 lo son. Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwänger, Vandiver y otros extienden la investigación a números más grandes. En 1915 Jensen demuestra que existen infinitos primos irregulares. La investigación se estanca por esta vía de la divisibilidad, a pesar de que se logran comprobaciones para n menor o igual a 4.000.000.


Gauss




Incluso se dice que Gauss, para muchos el matemático mas maravilloso de la historia, intentó demostrar el último teorema de Fermat y fracasó en el intento.


Homero Simpson




En un capítulo de Los Simpsons, se puede cómo detrás de Homero pasa una igualdad, que de ser correcta, refuta el Último Teorema de Fermat.




Tiene Homero razón? Si uno hace esa cuenta con la calculadora, la igualdad efectivamente se cumple. Pero si uno hace las cuentas a mano, con todas las cifras, se obtiene lo siguiente:

2.541.210.258.614.589.176.288.669.958.142.428.526.657 = 2.541.210.259.314.801.410.819.278.649.643.651.567.616



Qué pasó??? La calculadora miente??? No, el redondeo de la calculadora en la 10ª cifra se produce en el primer caso por exceso y en el segundo por defecto, dando una engañosa apariencia de igualdad.



El Problema más Difícil del Mundo



Y así el problema fue pasando de generación en generación, sin lograr ser resuelto por completo, adquiriendo la fama del "problema mas difícil del mundo".


Pasaron casi 400 años desde que Fermat escribió su famoso margen hasta que alguien, por fin, llegó a la verdad del asunto.


Sir Andrew John Wiles

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Alcanzó fama mundial en 1993 por exponer la demostración del último teorema de Fermat, que aunque en esa oportunidad resultó fallida, finalmente logró completarla correctamente en 1995.


Entonces Fermat tenía razón!! Él lo había demostrado!!






La demostración de Andrew Wiles tomó 98 páginas, no era tan sencillo como lo planteaba Fermat.


Además, la matemática que usó Wiles en su demostración no existía en la época de Fermat, incluso tuvo que demostrar otros teoremas, modernos, para lograr llegar a resolver el último teorema de Fermat, como la conjetura inestable de Taniyama-Shimura, del siglo XX.





Wiles demostró que Fermat estaba en lo correcto, de todas maneras, su demostración no prueba que Fermat realmente haya demostrado su último teorema. Si lo hizo o no, todavía no se sabe.










Algunas curiosidades sobre Fermat y su último teorema



Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del teorema de Pitágoras, también conocido como último Teorema de Fermat, que torturó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995.


La escuela más antigua y prestigiosa de Toulouse se llama Pierre de Fermat y en ella se imparten clases de ingeniería y comercio.


Fermat es uno de los pocos matemáticos que cuentan con un asteroide con su nombre, (12007) Fermat.




Uno de los cráteres de la Luna lleva su nombre




La mansión del siglo XV donde nació es en la actualidad un museo.


En el Capitulo 12 de la segunda temporada de Star Trek hacen alusión al Teorema, cuya conversación se transcribe aquí

Picard – El último teorema de Fermat, te resulta familiar.
Riker – Vagamente, en las clases de matemáticas soñaba con viajar en una nave estelar.
Picard – Cuando Fermat murió, encontraron esta inexplicable ecuación en el margen de sus notas,” x elevado a n mas y elevado a n es igual a z elevado a n” para n mayor de dos. Lo cual no tiene solución en números totales. Pero también añadió esta frase “Demostración problemática”.
Riker – Si ya recuerdo. Y no incluía la resolución.
Picard – Y los científicos llevan 800 años buscándola.
Riker – Incluido Uds.




Se filmó una película cuyo argumento se refiere a la demostración del teorema, llamada La habitación de Fermat .




La serie de Los Simpson no ha estado ajena al Teorema, lo cual puede ser lógico si tenemos en cuenta que muchos de sus guionistas son licenciados y doctores en matemática.


Una zapatilla recuerda el último teorema de Fermat





Google le dedicó un doodle, donde al acercar el cursor, aparecía la leyenda de su famoso margen.




Y por último, una anécdota fantástica





En los primeros tiempos de la aviación invitaron al matemático alemán David Hilbert (1862-1943) a dar una conferencia sobre el tema que él quisiera. La conferencia creó una gran expectación ya que el tema elegido fue :

“La prueba del último teorema de Fermat”



Llegó el día y Hilbert dio la conferencia. La exposición fue muy brillante pero no tuvo nada que ver con el último teorema de Fermat.
Cuando le preguntaron el porqué del título contesto:


«Oh, el título era solamente para el caso de que el avión se estrellara»








Conclusión



Analizando la cantidad de campos en los que Fermat realizó aportaciones, y la importancia de éstas, podemos considerar al matemático francés como un genio, un adelantado a su tiempo al que su negativa de publicar sus resultados y demostraciones le privó de mayor fama en su época. Por suerte su hijo Samuel se encargó de publicar lo que su padre no hizo, consiguiendo así la fama (bien ganada) que Pierre de Fermat merece.






A continuación, les dejo algunos documentales sobre Fermat y su famoso teorema.





Gran documental de la BBC














Un link con otras curiosidades sobre el tema








Eso fue todo, espero que les haya gustado!




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