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Teorema PI de Buckingham.

Buenas, como estan amigos de T! ? cansado de pasar tanto tiempo entre ustedes sin aportar nada, me decidí a escribir esto, que es simplemente un resumen de un tema que considero muy importante para la ingeniería y que seguramente más de uno aquí se habrá topado con el durante el cursado de su carrera o bien lo utiliza en la actualidad como una herramienta mas para la investigación. Estoy hablando del teorema PI de Buckingham, muy difundido en áreas de estudio de la mecánica de fluidos, pero no exclusiva de ellas, ya que se presenta como un metodo matemático general, relativamente sencillo, que permite reducir el número de variables que intervienen en un problema fisico mediante la utilizacion de los denominados "Números adimensionales".


Teorema PI de Buckingham.



El Análisis dimensional y su utilidad


ingenieria


Es conocido para aquellos que alguna vez estudiaron fisica, que en ella se utilizan muchisimas ecuaciones, cada una de las cuales describe, con mayor o menor aproximación, fenómenos fisicos cotidianos. La condicion fundamental que deben cumplir estas ecuaciones es la de Homogenidad dimesional, es decir, la condicion por la cual las ecuaciones de fisica son independiente del sistema de unidades utilizado para un problema (tecnico, ingles, internacional...). Conocer la homogeneidad dimensional, nos permite deducir las dimensiones de cualquier magnitud fisica que interviene en un problema que se este analizando.

La ley de homogeniedad dimensional tambien tiene otra gran utilidad, la cual constituye la esencia del analisis dimensional, y es la siguiente: en situaciones en las que las variables intervinientes son conocidas, y no así la relación funcional entre las mismas, mediante el análisis dimensional podemos encontrar ciertos parametros adimensionales, constituidos por las variables del problema agrupadas en un mismo número. El total de números adimensionales que se podran encontrar será, como veremos mas adelante, menor al número total de variables del problema, lo cual constituye una gran ventaja del metodo cuando se requiera la experimentacion fisica para poder explicar un fenomeno fisico en estudio.

Este ultimo concepto, se explicará a continuación con un problema fisico tipico de la mecanica de fluidos:

Se quiere determinar la fuerza de arraste (el arrastre es la fuerza que se opone al movimiento de la esfera en el fluido en el que está inmersa) Fd sobre una esfera de diámetro D que se mueve dentro de un fluido, por ejemplo agua, a una velocidad Ve. Las propiedades del fluido tales como la densidad (llamemosle d) y viscosidad (ponganle w) definen tambien la magnitud del arrastre sobre la esfera. Se puede decir, entonces, que la fuerza de arrastre Fd sobre una esfera depende de cuatro variables (D, Ve, d, w). El problema esta constituido por cinco varibles cuatro independientes y una dependiente (Fd) si se quiere:

F=f(D,Ve, d, w)


En principio, no se conoce una relacion matemática ( funcion "f" o ecuacion del tipo que sea) que relacione todas estas variables. Deberiamos recurrir entonces a la experimentación fisica, para poder obtener informacion sobre esa relación.

La experimentacion supone un gran trabajo, para el problema tal y como esta planteado, ya que requiere se efectuen mediciones de fuerza de arrastre para cada condicion posible de las variables independientes, esto es:

1- Supongamos que disponemos de una sola esfera, cuyo diametro es D. El experimento exige que fijado un diametro, se observe la variacion de la fuerza Fd a medida que se varian los demas parametros de a uno.

2- Si se elige luego fijar un fluido (fijariamos los valores de w y d) nos resta unicamente variar la velocidad del fluido en el experimento. Cada valor de velocidad Ve nos permitiria calcular distintos valores de Fd, pero atención a lo siguiente: estas Fd corresponden solo a los valores fijos de D, w, d y a los que le demos a Ve!! que pasa si quisieramos usar otra esfera? cambiaría el valor de D a otro diametro, digamos D1 y con el, se presenta la necesidad de repetir todo el experimento. Que sucederia entonces si quisieramos variar luego d, w...? necesitariamos hacer experimentos (largos y costosos casi siempre) para medir Fd, dejando unas variables fijas y las otras hacerlas variar cada vez. El resultado es una acumulacion innecesaria de curvas, tablas, graficas, etc para poder explicar el fnomeno en cuestión. Los gráficos a continuación ilustran un poco esta situación.


ingenieria mecanica

Si emplearamos el análisis dimensional (con el uso del teorema PI) el problema se reduciría drasticamente, a obtener relaciones entre dos numeros, especificamente dos variables adimensionales que agrupan en ellas las cinco variables del problema. Salta a la vista el gran ahorro de experimentos que supone evaluar dos variables frente a las 5 del problema inicial.

La relación que arrojaría el uso del análisis dimensional sería la siguiente (faltaría la demostración solamente):
analisis dimensional

Se observan dos grupos adimensionales a ambos lados de la ecuacion, obtenidos de la aplicacion del teorme PI de Buckingham, relacionados ambos por una funcion desconocida "g". La función g puede resultar muy dificil de encontrar (si no imposible), con lo que es natural recurrir a la experimentación para obtener como se relacionan los numeros adimensionales de la anterior igualdad.



Decimos entonces que: La relación funcional entre los números adimensionales que se hallen por el teorema Pi se obtiene mediante la experimentación.



teorema pi

En la ultima curva se ponen d y w como rho y mu (o mi). Suponiendo que la curva resultante del experimento es esa misma, resulta muy sencillo poder calcular Fd, utilizando los numeros adimensionales para condiciones dadas de D, d, w, Ve. El procedimiento a seguir, seria basicamente el siguiente:



a- Calcular el valor del número adimensional Pi2 (eje horizontal) con los valores fijos de D, d, w y Ve. A ese Pi2 le corresponde, según la curva experimental, un valor dado de Pi1 (eje vertical).



Teorema PI de Buckingham.ingenieria



b- el valor de Fd (no confundirse por favor, Fd no es F por d. Aclaro porque tambien utilice d como variable) puede despejarse del valor conocido de Pi1, de la siguiente manera: 



ingenieria mecanica

Con el fin de establecer una curva como la ultima que vimos hasta aqui, puede utilizarse un túnel de viento o un túnel de agua donde, para una esfera dada, el valor de Pi2 puede ajustarse fácil y continuamente con sólo variar la velocidad V de la corriente de fluido. La fuerza sobre la esfera se mide para cada valor de V de manera que los valores correspondientes de Pi1 pueden calcularse con facilidad. Luego, con tiempo y costos mucho menores, se establece una curva entre grupos adimensionales que, como resultado del análisis dimensional, es válida para cualquier fluido o para cualquier esfera en un flujo dentro del intervalo de Pi probado.


Lo "económico" que resulta para un experimento utilizar el analisis dimensional, en cuanto al numero de curvas o tablas que es necesario utilizar para representar un fenomeno fisico  resulta evidente si consideramos lo siguiente:


En un grafico tipico (digamos una curva en el plano x-y), en el que se relacionan Nv variables distintas, usualmente en abscisas representamos la variable independiente y en ordenadas la variable dependiente. Generalmente, se tienen tambien parámetros extras que, al variar, definen una familia de curvas que relacionan a las variables independientes con las dependientes.
Si las variables y los parametros pueden tomar "k" valores distintos, el número total de curvas que necesitaremos para representar estas relaciones esta dado por:

analisis dimensional

Tambien es posible saber el número de figuras que se necesitarian para poner la totalidad de las k curvas, de acuerdo con la siguiente ecuación:

teorema pi

a continuacion, una tabla resumen donde se ponen los resultados que arrojan estas ecuaciones de acuerdo al numero de variables que tengamos que manejar:

Teorema PI de Buckingham.



Finalmente, cabe recalcar que: el análisis dimensional permite determinar solamente los grupos  adimensionales que caracterizan el problema, no asi la relación funcional entre estos. Para ello deberá necesariamente planificarse un estudio experimental que complemente el análisis dimensional inicial, en esta fase de planificación el análisis dimensional juega un rol importante.





El teorema Pi de Buckingham



En esta parte del post, voy a explicar mas o menos la teoria de los numeros adimensionales Pi y como calcularlos. Presten atencion a la bibliografia al final, si les interesa aprender realmente como utiliza esta herramienta.



El teorema Pi se debe a Vasy (1892) pero fue demostrado por Buckingham (1914), muchas veces el teorema lleva el nombre de Buckingham Pi. Básicamente dice que si hay una regla o ley física que relaciona un cierto número de cantidades físicas, entonces existe una regla o ley equivalente que puede ser expresada como una relación entre las cantidades adimensionales.

Existe un número de grupos adimensionales independientes fijo para un problema dado, y es, generalmente aunque no siempre, igual a la diferencia  entre el número total de variables menos el número de dimensiones fundamentales.  Esta forma de determinar el número de grupos adimensionales se conoce con el nombre de teorema de pi, y establece que:  


El número de grupos adimensionales que se utilizan para describir una situación física real 

que involucre a n variables es igual a  n–j,  donde j es el número de dimensiones 

fundamentales



especificamente, el número de parametros adimensionales Pi, "i", esta dado por:

i=n-j


i = número de parámetros adimensionales independientes 
n = número de variables implicadas en el problema 
j = número de dimensiones fundamentales (rango de la matriz dimensional)

Cuando hablamos de magnitudes fundamentales, nos referimos a aquellas que generan a todas las demas, es decir magnitudes de masa (M), tiempo (T), longitud (L) y temperatura. Generalmente, tendremos entonces que "j" valdra 3 0 4 segun el problema. En algunos casos puede valer 2. En cuanto a la definicion de "Rango" ... si, supongo que todos sabemos de algebra que es el rango de una matriz! xD

Ahora bien, se tienen varios métodos para hallar los numeros Pi, pero solo hablaremos de uno de ellos en este post, y es de las variables repetitivas, que se explica a continuación:

1- Variables repetitivas


Siendo V1, V2, ..., Vn las variables que intervienen en el problema, se debe tener una función que las 
relacione: f(V1, V2, ..., Vn) = 0; si G1,G2,...,Gn-m, representan los grupos adimensionales que representan a las variables V1, V2, ..., Vn; el teorema de BUCKINGHAM también establece que existe una función de la forma: g(G1,G2,...,Gn-m) = 0
 
El método para determinar, los grupos adimensionales (Gi, i=1,...,n-m); consiste en la selección de "m" de 
las "n" variables, con  diferentes  dimensiones, de  manera  que  contengan  entre  todas  las "m" dimensiones, y emplearlas como variables repetitivas, formando cada uno de los "n-m" grupos adimensionales a partir de la siguiente expresión genérica: 
 
 ingenieria


 
A los grupos adimensionales, se les suele denominar parámetros adimensionales Pi de BUCKINGHAM, al 
ser su expresión un productorio adimensional.

Los exponentes "aij" se determinan por la condición de que cada grupo resulte adimensional; se sustituyen 
las  dimensiones  de  las  variables por ellas mismas y los exponentes de M,L,T,...,  se  igualan  a  cero 
(adimensionalidad del parámetro).

Un ejemplo de aplicacion de este metodo es el siguiente, que es justamente la resolucion por analisis dimensional del problema planteado al inicio del post:

-Determinar los grupos adimensionales formados con las variables involucradas en el flujo de un 
fluido sobre un cuerpo sólido de forma esférica. Se sabe que la fuerza ejercida sobre el cuerpo 
es una función de la velocidad media de flujo v, densidad del fluido rho, viscosidad del fluido mu y 
diámetro del cuerpo esférico D.

*Listado de variables y sus dimensiones (matriz dimensional) y los numeros adimensionales expresados como productos de variables repetitivas: la tabla que se muestra a continuacion es de fundamental importancia, puesto que sirve para formar las ecuaciones de los exponentes de los numeros Pi formados con las variables repetitivas (en este caso densidad, diametro y velocidad) y las variables no repetitivas (fuerza de arrastre y viscosidad), las que definen cada una un unico parametro adimensional.



Es importante hacer notar lo siguiente: las variables seleccionadas como repetitivas deben ser independientes entre si, es decir, ninguna de ellas debera formarse con la combinacion de las otras 2, pues de otro modo no sirven como variables repetitivas para formar los numeros adimensionales. La forma de comprobar esto es que la matriz de coeficientes de las variables repetitivas tenga un determinante cuyo valor sea distinto de cero, lo que quiere decir qque las filas o columnas de la matriz son linealmente independientes entre si.

ingenieria mecanica


Como puede verse, el número de parámetros Pi es el siguiente:

i= 5 - 3= 2 parametros adimensionales


Lo que sigue a continuación es calcular los exponentes a, b, c, d, e y f que aparece en cada número Pi. Esto se hace teniendo en cuenta que los numeros Pi deben cumplir con la condicion de que la sumatoria de los exponentes de cada variable, para cada magnitud fundamental, sea igual a cero (Si no fuera asi el numero no seria adimensional!!). Esto implica que:

analisis dimensional

para el primer numero adimensional. Luego para el segundo tendremos:



teorema pi

que por ser adimensional, puede invertirse, para obtener un Pi igual al que teniamos en la curva del principio del post (la que relacionaba los numeros Pi para el experimento del arrastre en una esfera):

Teorema PI de Buckingham.

Como puede verse, se pudo demostrar que el problema de arrastre en una esfera podia reducirse al estudio de la relacion entre dos numeros adimensionales como los que se han obtenido aqui, en lugar de estudiarlo mediante las cinco variables que constituyen el analisis dimensional. 



A continuacion, unas tablas muy utiles para el trabajo con los numeros adimensionales:



ingenieria

ingenieria mecanica



Es muy importante saber que el método de análisis dimensional hasta aqui planteado, es util para estudiar cualquier fenomeno fisico, sea del área que sea, siempre que conozcamos las variables que intervienen en dicho fenomeno, sera posible aplicar el Teorema Pi y obtener relaciones entre variables sin que se tenga conocimiento alguno de las ecuaciones diferenciales o cualquier otro tipo de modelo matemático, que lo gobiernen. Puede usarse para mecanica de fluidos, electricidad, mecanica de solidos, quimica, etc.



Los numeros adimensionales y los modelos en ingenieria

El conocer que ciertas leyes entre magnitudes dimensionales se cumplen para otras adimensionales es muy util en la modelacion; un prototipo es un objeto que se desea estudiar mientras que un modelo lo representa a una escala menor o mayor, por ejemplo una maqueta de un edificio, un barco de plastico o un avion de metal son modelos de sus correspondientes objetos reales. Si se ha establecido que una ley entre magnitudes dimensionales es equivalente a una entre magnitudes adimensionales e involucra a la magnitud 

adimensional Π = h/a en donde h y a se dan en metros, tambien se cumple para h y a dados en centımetros, es decir, para un objeto semejante pero de menores dimensiones; se habla entonces de objetos similares.

La similaridad del prototipo y del modelo debe darse a varios niveles: geometrico, cinematico y dinamico, es decir, en cuanto a su forma las estructuras deben ser similares, lo mismo se debe cumplir para las trayectorias que describan prototipo y modelo, si realizan movimientos, y para las fuerzas involucradas, que deben ser proporcionales; ası, si la segunda ley de Newton se cumple para el prototipo, se cumplira tambien para el modelo y es posible entonces experimentar con este para conocer lo que pudiera pasarle realmente al prototipo; cuando hay similitud geométrica, cinemática y dinámica se habla de similitud dinamica; por ejemplo en el caso de fluidos esta se da a traves de las magnitudes adimensionales conocidas como numero de Reynolds (razon de fuerzas inerciales y viscosas), de Froude (que expresa la relacion entre fuerzas de inercia y gravedad), de Weber (razon de fuerzas de inercia y tension superficial) y de Mach (razon de fuerzas inerciales y ela´sticas), que deben ser las mismas para modelo y prototipo.



Hasta aquí el post, mi primer post intentando compartir algo de lo que me interesa con ustedes!! espero le sirva a alguno, se que es muy muy acotado el contenido, puesto que el análisis dimensional constituye toda una materia por si misma...pero bueno, más que nada este post tiene como objetivo sumar algo, aunque sea poquito, a esta gran comunidad, además que pueda servir como un pequeño apunte a aquellos que empiezan a estudiar el tema.





Las fuentes que consulte para realizar este pequeño resumen fueron las siguientes:



*Mecanica de fluidos de Irving Shames

*Mecanica de Fluidos de Streeter

*El Teorema Pi y la modelación. Luis Quintanar Medina

*Apuntes de Mecánica de Fluidos.Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón





Un abrazo a todos, espero les sea de utilidad  Se aceptan sugerencias para mejorar futuros post!! 






 

7 comentarios - Teorema PI de Buckingham.

@heir_apparent +1
Aunque odio la física con toda el alma, te mataste haciendo un gran post! +10
@esteban0390 +1
jaja mil gracias amigo!!
@nallaleif +1
Recuerdo que alguna vez lo usé, buena la info.

Van 10 cuando se recarguen
@esteban0390 +2
Este teorema lo podes usar hasta cuando cocinas!! solo necesitas saber que ingredientes van y buckingham te da la forma en que los tenes que combinar... jaja muchas gracias por comentar!! saludos
@nallaleif +1
Jajajajajaja, sí, es una gran ayuda, todavía lo recuerdo, y pensar que es tan sencillo. Quisiera saber cuánto alcance tiene set herramienta, pero bueh, no soy físico así que creo que jamás lo sabré
@heel_flip +1
Hola ! es más largo que un ejercicio de integrales por partes o un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas !!!
@esteban0390
Yo diria que la dificultad es masomenos la misma o capaz un poco mas complicado, porque esto por ahi implica que vos hagas una interpretacion fisica de los resultados, ya que se aplica directamente a un experimento fisico...una integral por partes generalmente las resolvemos solo para ganar destreza en el calculo, pero no vamos mas alla, al menos en ingenieria (en fisica teorica por ahi lo usas jaja)
@DimasHrq +1
Excelente info. Gracias
@esteban0390
Gracias a vos por pasar!! espero te sea de utilidad...un abrazo!
@martincohete +1
Un teorema genial. Hay una explicación muy simple, (en realidad entendí la idea con ese ejemplo) en mecánica de fluidos de Cengel, donde utiliza el teorema para analizar la caida de un objeto. Es interesante como se puede utilizar el teorema para analizar un problema que en realidad no lo necesita, pero es muy instructivo.
@de_yos +1
muy bueno Bro, sigue dando buenos aportes !!!
@daro87 +1
una pregunta...que pasa cuando i=0?
@esteban0390 +1
En un problema fisico i no puede ser cero nunca, asi que si te llega a dar cero, una de las dimensiones fundamentales las tenes que quitar y hallar solo un numero adimensional, que en este caso seria una constante. De lo contrario, no hay forma de hallar relaciones entre las variables, y no te sirve para nada el metodo. Te recomiendo el libro "Applied dimensional analysis modeling" de Thomas Szirtes. Saludos!! gracias por pasar