El infinito


David Hilbert


El gran matemático alemán David Hilbert nació el 23 de enero de 1862 en Königsberg (Prusia Oriental). Se lo reconoce mundialmente como uno de los matemáticos más influyentes del siglo XIX y principios del XX, y ha contribuido a esa ciencia desarrollando conceptos como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hizo aportes significativos a la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general, e incluso algunos historiadores sostienen que descubrió las ecuaciones correctas para la relatividad general antes que Einstein, aunque esto nunca ha sido probado. En 1900 presentó un conjunto de 23 problemas matemáticos que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX. Parte de su trabajo se relacionó con la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor, explicando algunas de las paradojas del infinito, en las que ya había reparado Galileo.

Para explicar los conceptos relacionados con el infinito, Hilbert utilizaba a menudo el ejemplo de un hotel muy especial, uno que contaba con infinitas habitaciones. Hilbert imaginó un hotel con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, 4... y así hasta el infinito. Lo primero que tenemos que recordar es que “infinito” no significa “un número grande”. Si fuese así, siempre podríamos encontrar un número algo mayor (“un número grande” +1) que lo superase. Aclarado esto, podemos intentar comprender las paradojas que plantea el Gran Hotel de Hilbert.



Infinito + 1

Imaginemos que una noche de tormenta llega al hotel de infinitas habitaciones un viajero con evidentes intenciones de alojarse en él, pero se encuentra con un cartel en la puerta que avisa que está completo. De todos modos, decide entrar y ver si hay alguna posibilidad de pasar la noche resguardado de la lluvia. Rápidamente, la recepcionista -posiblemente una matemática consumada- encuentra una solución: le pide al cliente de la habitación 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 3, y así sucesivamente. Cuando todos los pasajeros se han movido de habitación, la primera queda disponible para el recién llegado. Uno podría preguntarse qué ocurrió con el pasajero que se encontraba en el último cuarto, ya que en un hotel convencional se hubiese quedado sin lugar. Sin embargo, en el Gran Hotel de Hilbert no hay algo así como “último cuarto”, por lo que ese problema no existe. El infinito siempre admite “un lugar más” al final.

Este mecanismo de correr a los pasajeros hacia los cuartos con números más grandes puede aplicarse todas las veces que sea necesario para alojar cualquier número extra de pasajeros. Si llegasen 10, 20 o 256.345 pasajeros, bastaría con desplazar ese número de cuartos a cada una de las personas alojadas, y asunto resuelto. Pero ¿qué pasaría si al hotel, ya completo, llegasen infinitos pasajeros más?



Hotel infinito, pasajeros infinitos

Hilbert contaba que un día -estando su hotel lleno con infinitos huéspedes- llegó el representante de una agencia de viajes con un problema. Tenia una excursión compuesta por infinitos turistas que necesitaban hospedarse esa noche en el hotel, y así se lo planteo a la astuta recepcionista. No podia recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros a desplazar nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones. Sin embargo, pudo resolver el problema. Simplemente, pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y las infinitas habitaciones impares quedaron libres. Así, los infinitos turistas pudieron alojarse sin problemas. ¿No es asombroso?.



Hotel infinito y pasajeros infinitos en autobuses infinitos

Así planteado, parecería que el hotel no puede llenarse nunca. Imaginemos por un momento que al Gran Hotel llegasen infinitos autobuses con infinitos pasajeros cada uno. ¿Podríamos alojarlos en un hotel que “solo” tuviese infinitas habitaciones? El problema exigió que la inteligente recepcionista demorase un par de segundos en encontrar una solución. Se acomodó las gafas, se arrimó al intercomunicador, y le pidió a todos los pasajeros que se encontraban en una habitación cuyo número fuese primo (números solo divisibles por si mismos o por la unidad), o alguna potencia de estos, que calculasen el resultado de elevar el número 2 a la potencia correspondiente al número de la habitación en la que se encontraban y se cambiasen a esa habitación. Esto provocó algún que otro revuelo entre los pasajeros, pero finalmente todos los implicados en el cambio llegaron a su nueva habitación.

Hecho esto, la recepcionista sonrío con aires de suficiencia y asignó a cada uno de los autobuses un número primo (distinto de 1), y a cada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar. Hizo que cada uno de los nuevos pasajeros calculasen el numero de habitación que le correspondía elevando el número primo correspondiente a su autobús al número impar que le tocó. Dado que existe una cantidad infinito de números primos, y un número infinito de números impares, se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que “solo” tiene un número infinito de habitaciones.

David Hilbert falleció el 14 de febrero de 1943 en Göttingen, Alemania.







El Número Cero

El cero (0) es el signo numérico de valor nulo, que en notación posicional ocupa los lugares donde no hay una cifra significativa. Si está situado a la derecha de un número entero, decuplica su valor; colocado a la izquierda, no lo modifica.

Es el elemento del conjunto de los números enteros que sigue al −1 y precede al 1. Algunos matemáticos lo consideran perteneciente al conjunto de los naturales ya que estos también se pueden definir como el conjunto que nos permite contar el número de elementos que contienen los demás conjuntos, y el conjunto vacío tiene cero elementos. El número cero se puede representar como cualquier número más su opuesto (o, equivalentemente, menos él mismo): X + ( − X) = 0.









La Evolución Del Cero

Los ceros «imperfectos»

Varias antiguas grandes civilizaciones, como las del Antiguo Egipto, Babilonia, la Antigua Grecia o la Cultura Maya, poseen documentos de carácter matemático o astronómico mostrando símbolos indicativos del valor cero; pero por diversas peculiaridades de sus sistemas numéricos, no supieron obtener el verdadero beneficio de este capital descubrimiento.

En el Antiguo Egipto se utilizó el signo nfr para indicar el cero (Papiro Boulaq 18, datado ca. 1700 a. C.)

El cero apareció por primera vez en Babilonia en el siglo III a. C., aunque su escritura en tablillas de arcilla se remonta al año 2000 a. C. Los babilonios escribían en arcilla sin cocer, sobre superficies planas o tablillas. Su notación era cuneiforme. En tablillas datadas en el año 1700 a. C. se ven anotaciones numéricas en su particular forma. Los babilonios utilizaban un sistema de base 60. Con su sistema de notación no era posible distinguir el número 23 del 203 o el 2003, aunque esta ambigüedad no pareció preocuparles.

Alrededor del 400 a. C., los babilonios comenzaron a colocar el signo de «dos cuñas» en los lugares donde en nuestro sistema escribiríamos un cero, que se leía «varios». Las dos cuñas no fueron la única forma de mostrar las posiciones del cero; en una tablilla encontrada en Kish, antigua ciudad de Mesopotamia al este de Babilonia, utilizaron un signo de «tres ganchos». Estas tablas están datadas en el 700 a. C. En otras tablillas usaron un solo «gancho» y, en algunos casos, la deformación de este se asemeja a la forma del cero.


[Jeroglífico maya para el cero, año 36 a. C. Es el primer uso documentado del cero utilizando notación posicional]


El cero también surgió en Mesoamérica y fue ideado por las civilizaciones mesoamericanas antes de la era cristiana, por la Civilización Maya y, probablemente, fue utilizado antes por la Civilización Olmeca. El primer uso documentado mostrando el número cero corresponde al año 36 a. C., haciendo uso de la numeración Maya. A causa de la anomalía introducida en el tercer lugar de su notación posicional, les privó de posibilidades operativas.

Claudio Ptolomeo en el Almagesto, escrito en 130 d. C., usaba el valor de «vacío» o «0». Ptolomeo solía utilizar el símbolo entre dígitos o al final del número. Podríamos pensar que el cero habría arraigado entonces, pero lo cierto es que Ptolomeo no usaba el símbolo como número sino que lo consideraba un signo de anotación. Este uso no se difundió, pues muy pocos se sumaron a él, y fue desvaneciéndose en la Historia.

Los romanos no utilizaron el cero. Sus números eran letras de su alfabeto; para representar cifras usaban: I, V, X, L, C, D, M, agrupándolas. Para números con valores iguales o superiores a 4000, dibujaban una línea horizontal sobre el «número», para indicar que el valor se multiplicaban por 1000.

En el Siglo XXI. (En la Europa de la Revolución Energetica) el Cero, adquirio un nuevo significado de número imperfecto capacitado para definir la creación del Universo que se especulaba que fuera inequivocamente la inconmensurable razon de definir algo desconocido como era el complejo funcionamiento del cosmos del Universo y sus materias pendulantes, rotantes, flotantes y signos de comprensión que podian tomarse para calificar esta imperfección de la creación de la Tierra en un Universo Infinito y metodicamente comprensible con la matematica de la ciencia y el control de la perfección del resultado inequivoco de las operaciones que siempre dan como resultado un mismo producto de sumar dos factores iguales, o distintos, pero siempre los mismos, la misma e invariable operación que se repetia en distintos numerales de tiempo con pequeñas variaciones en el resto, que convertian los numeros resultantes en imperfectos Planetas Orbitantes y materias, semejantes ó distintos, pero iguales y reales. Como califica: "Cero. El Teoreóma Creacional" De Carlo Maxxine. Editado por la WaterCarx.(WC). El cual resulta ser un verdadero significado de la existencia, la creación, la numerologia logica del funcionamiento de la naturaleza del Universo, el que da el significado con el número 0, al momento del que todo partio, cuando comenzaron a generarse las operaciones que dieron lugar a la cuenta, que pueden verse en sus libros, que avanzan, hacia atras y hacia alante, con una terminologia casi inemtendible para el hombre de su tiempo al que estas obras numeradas con sabia maestria del pensamiento, el subconsciente y el dominio de la sabiduria oculta en los astros, el cosmos y las leyes naturales del Universo del que brotaron nuestras raices y logicamente del que provenimos, de esa cuenta atras que puso nombre de Cero(0) a ese momento que para el ser vivo terraquio marcaria un antes y un despues, poniendo la semilla del alma que brotaria con ciencia cierta y la terminologia infinita de numeros semejantes al Universo.


El cero «moderno»

La Civilización india es la cuna de la numeración moderna. La palabra «cero» proviene de la traducción de su nombre en sánscrito shunya (vacío) al árabe sifr (صفر), a través del italiano. La voz española «cifra» también tiene su origen en sifr.

El primer testimonio del uso del «cero indio» está datado hacia el año 810. Abu Ja'far Mujammad ibn Musa, en su obra titulada «Tratado de la adición y la sustracción mediante el cálculo de los indios» explica el principio de numeración posicional decimal, señalando el origen indio de las cifras. La décima figura, que tiene forma redondeada, es el «cero».

Las inscripciones talladas en roca más antiguas de dichos números indios son las de Gwalior, y están datados en 875-876.

Los árabes lo transmitieron por el Magreb y Al-Ándalus, pasando posteriormente al resto de Europa. Los primeros manuscritos que muestran las cifras indias (llamadas entonces «árabes») provienen del norte de España y son del siglo X: el Codex Vigilanus y el Codex Aemilianensis. El cero no figura en los textos, pues los cálculos se realizaban con ábaco, y su uso aparentemente no era necesario.

Aunque se atribuyen los primeros usos del cero en Francia, o al controvertido papa Silvestre II, alrededor del año 1000, la mayor parte de las referencias indican que el cero (llamado zefhirum) fue introducido en Europa por el matemático italiano Fibonacci en el siglo XII, mostrando el álgebra árabe en su Liber abaci (Tratado del ábaco), aunque por la facilidad del nuevo sistema, las autoridades eclesiásticas lo tildaron de mágico o demoniaco.

La iglesia y la casta de los calculadores profesionales –clérigos en su mayoría que utilizaban el ábaco– se opusieron frontalmente, vetando la nueva álgebra, en algunos lugares hasta el siglo XV.


El cero indio


El cero es un número antiintuitivo. Antes de los indios, otros pueblos llegaron a una idea de "cero imperfecto" ya que ¿para qué numerar el vacío o la nada?"; cuando algo faltaba bastaba dejar un espacio vacío, representando una ausencia, pero no se consideraba que se pudieran hacer cálculos u operar matemáticamente con tales representaciones de "nada" o de "vacío" (¿no es 1+0=1 y 1-0=1?). En la India sin embargo la "nada" permitió dejar un "espacio" para realizar operaciones matemáticas complejas con números enormes; quizás la noción del cero como número surgió de los cálculos con piedras sobre la arena, por ejemplo al producirse una resta el "cálculo" (nombre que se le daba a la piedra de contabilidad) quitado al dejar un hueco o huella en la arena dio la noción de un número cero en cuanto algo dejaba como resto una "nada".

La cosmovisión hindú fue capital para que el cero cobrara un valor numérico, ya que antes habría sido un signo de la nada y por esto de una falta de número. Sin embargo, para los pensadores de la India la shunya (el vacío) en lugar de ser una nada pasiva resultaba ser una nada esencial o "activa" como premisa para la existencia, en muchas escuelas hinduístas y budistas shunya "es", por paradójico que resulte, algo básico y muy concreto en la existencia: no se puede concebir el ser sin su negación. Es más, para muchas escuelas hinduistas y budistas shunya es lo real primero y último, la esencia ante la existencia. La nada entendida de este modo tiene una especie de entidad y el cero es su símbolo, y de tales abstracciones, en principio metafísicas, el cero pasó a tener un inmenso valor pragmático. Además, los filósofos de la India solían concebir a los números no solo como signos de cosas concretas, sino también de abstracciones, lo que les permitió aceptar la noción de un signo numérico para algo que podía ser nada. Si para las operaciones más elementales como la suma o la resta el cero no poseía valor: 1+0=1; 1-0=1, llamó la atención que en la multiplicación el cero tuviera un efecto operativo al transformar en cero a cualquier número que se multiplicara por 0.



Tradicionalmente está considerado uno de los cinco números más importantes de las matemáticas, junto con los números 1, π, i, e. Estos números quedan relacionados por la llamada identidad de Euler,:





Cero en la división

Entre las controversias que existen sobre el cero, una de ellas es sobre la posibilidad de dividir por él; hasta llega a dudarse sobre si el cero puede dividir a otro número. Acrecienta la confusión cuando se analiza la división por cero en el contexto de los límites y en el contexto de los números enteros. El problema es que se utiliza la mismas palabra, división, para referirse a distintas cosas (aunque en el fondo tengan el mismo origen). Es así como son ciertas las afirmaciones: «0:0 no está definido» , «0/0 es indeterminado» y «0|0» («cero divide a cero»), pero cada una en su contexto. A continuación exponemos brevemente estos ejemplos.


División por cero en los números reales

En los números reales (incluso en los complejos) la división por cero es una indeterminación; así, las expresiones 8/0 o 0/0 carecen de sentido.

Intuitivamente significa que no tiene sentido «repartir» 8 entre ninguna persona. Tampoco tiene sentido repartir nada entre nadie. Pero esto es una idea intuitiva, y basta el sentido común para dar respuesta a estas cuestiones.

Matemáticamente está claro que el cero es el único número real por el cual no se puede dividir. La razón es que 0 es el único real que no tiene inverso multiplicativo.

Ejemplo:

(correcto)

(incorrecto porque no es un número real)


Cero en la división de límites

En el análisis matemático existen definiciones de distintos tipos de límites. Por ejemplo:





http://upload.wikimedia.org/math/1/1/1/11101e77ed0129fd72355389152a9f04.png

Sin embargo, si analizamos cada numerador y denominador por separado, el límite de todo ellos es cero. Es por eso que se dice que 0 / 0 es indeterminado, pues pueden obtenerse resultados tan diferentes como infinito, uno o cero.


Cero en la división de números enteros

Si nos restringimos a los números enteros, , decimos que a divide a b si existe otro número c (también entero) tal que

Por ejemplo: 3 es divisor de 15 pues

Vemos que la definición no requiere saber dividir, sólo saber multiplicar, y esto es muy conveniente pues entre los números enteros la división no siempre tiene sentido; por ejemplo, 2 dividido entre 3 no tiene ninguna solución en el conjunto de los números enteros.

Así, 3 no divide a 10 porque no existe ningún número entero c tal que 3c = 10.

Análogamente, 0 no divide a 10 porque al multiplicar cero por cualquier otro número nunca obtendremos 10.

Análogamente, tenemos que 0 es divisor de 0, pues 0 * 0 = 0. Aún más:

todo número entero a es divisor de cero pues

También vemos que cero es divisor sólo del propio cero. Este hecho no se contradice con el hecho de que 0:0 no está permitido pues véase que en el caso 0:0, el signo de división significa una operación. En cambio, en la división entera no hay ninguna operación involucrada y todo se basa en la definición dada anteriormente.


Cero en la potenciación

* Si a es distinto de 0, entonces a0 = 1
* Si n es distinto de 0, entonces 0n = 0

Cuando se pretende calcular 00 nos enfrentamos ante un aparente dilema. En general, los matemáticos están de acuerdo en que esa operación no está definida. Sin embargo las calculadoras científicas en general y programas de matemática superior lo toman como 1. Como en el caso de la división, al poner esta operación en el contexto de los límites, 00 es una indeterminación pues los límites de potencias tales que los límites de base y exponente por separado son cero, pueden terminar dando cualquier cosa. En lógica formal se puede probar que 00 = 1, esto se hace observando que existe una única función de vacío en el vacío, la cual es la función vacía.



Matemática avanzada

En otra ramas de la matemática, especialmente en el álgebra, se llama «cero» y se simboliza también con «0» a elementos de otros conjuntos muy diferentes de los reales. Es el caso del vector nulo en el conjunto de los vectores del plano o del espacio. En general se le dice cero al elemento neutro de un grupo abeliano.



Sistemas digitales

El 0 se asocia con la posición de "apagado" en lógica positiva y es uno de los dos dígitos del sistema binario.



Cero absoluto

El cero absoluto es, en el campo de la física, la temperatura más baja que teóricamente puede alcanzar la materia. Esta temperatura da lugar a la escala Kelvin, que establece como 0 K dicha temperatura. Su equivalencia en grados celsius es de –273,15 °C.



Fuente





Si te gustó este post, unite a la comunidad!