Curso de Trigonometria plana



CURSO GRATIS DE TRIGONOMETRÍA PLANA

La palabra TRIGONOMETRÍA está compuesta de dos griegas trigonon significa triángulo y metron medir. Podemos decir que trigonometría significa medidas de los triángulos. Relaciona los lados con sus ángulos.

Aunque hay noticias de su existencia antes del siglo II (antes de Cristo), es en este siglo y en Egipto donde adquiere relevancia.

Y todo esto que estoy comenzando a estudiar ¿para qué sirve?
Observa el dibujo que tienes a continuación:
plana



Desde un faro se ve un barco que necesita ayuda y es imprescindible saber a qué distancia de la costa se encuentra. Comprobarás que fácilmente construimos un triángulo rectángulo a partir del cual podemos, sirviéndonos de la trigonometría, realizar los cálculos que necesitemos conocer.
Existen aparatos que nos permiten conocer medidas de ángulos y otras herramientas encaminadas a facilitarnos los cálculos.

Otro ejemplo sería el que tienes en la figura siguiente, calcular la altura de la montaña desde el lugar donde hacemos la medición.
Todo lo que podamos incluirlo en un triángulo, es decir, trigonon>triángulo metron>medida lo resuelve la trigonometría, su nombre lo dice.

Curso



Otro ejemplo práctico es la señal de tráfico que tienes a continuación:

gratis

Se trata de calcular el tanto por ciento de la pendiente de una carretera:

trigonometria

Otra aplicación tienes en la figura siguiente, se trata de calcular la distancia, de un lugar a otro, éste supuestamente inaccesible:


trigonometriaplana
Como ves, el conocimiento de la trigonometría soluciona muchos problemas.
Todo triángulo tiene 3 ángulos y tres lados, es decir, un total de 6 elementos y todos los problemas que se presenten, la trigonometría puede resolverlos conociendo tres de esos elementos, 2 ángulos y un lado o viceversa.

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DE DEPRESIÓN



Son ángulos formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea

visual o línea de visión y la línea horizontal.


En estos casos, el observador se encuentra por debajo del objeto observado o bien, se encuentra por encima de dicho objeto.

Para estas mediciones se utilizan sencillos aparatos que colocados sobre un trípode ( 3 puntos determinan un solo plano) el simple giro realizado de la mirilla sobre el punto a observar nos señala los grados girados respecto a la horizontal:

Curso de Trigonometria plana

En el caso del ángulo de depresión, el observador se encuentra por encima del lugar a observar y del modo anterior su representación podemos hacerla del modo siguiente:
plana



SENO y COSENO DE UN ÁNGULO


No te preocupes de las palabras que se utilizan en Trigonometría, lo importante es que sepas para qué sirven. Comprobarás que es una parte de las Matemáticas sencilla y muy interesante.

Los egipcios hace muchos años se dieron cuenta de que si clavaban en el suelo unas estacas de diferentes alturas sucedían cosas interesantes.

Observa la figura siguiente:

Curso
Verás que tenemos tres triángulos rectángulos:

gratis

Los catetos opuestos al ángulo α son, de menor a mayor: AB, A’B’ y A”B”.

Los catetos contiguos al ángulo α (que están tocando al ángulo α) son, de menor a mayor: OA, O A’ y OA”.



Las hipotenusas de los tres triángulos son, de menor a mayor: OB, OB’ y OB”.

Hace poco has leído que los egipcios se dieron cuenta, pero ¿de qué se dieron cuenta?

Lee con mucha atención:

Para un mismo ángulo α, los cocientes de los valores:
trigonometria

Es decir, los cocientes de los catetos opuestos al ángulo entre los valores de sus hipotenusas, SON IGUALES.

trigonometriaplana

Si aumentamos o disminuimos el valor del ángulo, los valores de las medidas de los catetos e hipotenusas variarán pero los cocientes entre los nuevos valores seguirán siendo iguales entre sí.



Para un mismo ángulo, el valor del cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa será siempre el mismo.

Ejemplos:

Para un ángulo de 30º, el cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa vale 0,5.

Para un ángulo de 45º, el cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa vale 0,707.


Al cociente del cateto opuesto al ángulo entre su hipotenusa se llama seno del ángulo y se escribe sen α.

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Ejercicio #4

Una escalera debe llegar hasta los 3 metros de altura de una pared con una inclinación de 51º respecto al suelo. ¿Qué longitud debe tener la escalera?

La figura la tienes a continuación:
plana
Respuesta: 3,916 m.

Solución
Curso

sen 51º

Calculamos el sen 51º = seno(51*pi()/180) = 0,7771

Sustituyendo valores:
gratis


Volvemos a la figura que vimos al estudiar el seno:
trigonometria

Para un mismo ángulo α, los cocientes de los valores:
trigonometriaplana


Es decir, los cocientes de los catetos contiguos al ángulo entre los valores de sus hipotenusas, SON IGUALES y a estos cocientes les llamamos coseno del ángulo α y se escribe cos α.


Podemos escribir:

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Si aumentamos o disminuimos el valor del ángulo, los valores de las medidas de los catetos e hipotenusas variarán pero los cocientes entre los nuevos valores seguirán siendo iguales entre sí.

Para un mismo ángulo, el valor del cociente entre el cateto contiguo y su hipotenusa será siempre el mismo.


Ejemplos:
Para un ángulo de 30º, el cociente entre el cateto contiguo y su hipotenusa vale 0,866.

Para un ángulo de 90º, el cociente entre el cateto contiguo y su hipotenusa vale 0.

Para calcular los valores de los cosenos de ángulos en grados hemos de escribir en la barra de inserción de operaciones y funciones:
En la barra donde insertamos las funciones escribimos:

=COS(30*PI()/180)

Después de pulsar la tecla Entrar verás que su valor es 0,866

En base a este ejemplo plantea las formulas en excel y comprueba los resultados.

Ejercicio #5
¿Cuánto vale el coseno de 60º?

Respuesta: 0,5


Ejercicio #6

¿Cuánto vale el cos 75º?

Respuesta: 0,2588



TANGENTE DE UN ÁNGULO

La tangente es también una razón trigonométrica que la podemos escribir tan, tg, etc. La primera es válida para las calculadoras u Hojas de Cálculo.

La tangente de un ángulo es el cociente indicado del seno dividido


por el coseno:
plana

Ejercicio #7

¿A qué distancia de la costa se halla el barco del siguiente escenario?
Curso


Respuesta: 1.618,47 m.



Solución:

Es como si tuviésemos el siguiente triángulo rectángulo:
gratis


Conocemos el seno, el ángulo y necesitamos saber el coseno lo que nos lleva a utilizar la fórmula de la tangente:

trigonometria

Ejercicio#8

Con los datos que ves en la figura siguiente, calcula la altura de la montaña representada por la vertical –h– de color rojo:

trigonometriaplana

Desde el punto A medimos el angulo de elevacion, con refecrencia a la cima de la montaña y vemos que resultan 54º
Avanzamos 500 m. (hacia el punto B) y desde este punto, medimos el angulo con las referencias anteriores y obtenemos 23º. ¿ Cuál es la altura (h) de la montaña?

Respuesta: 302,83 m.
Solución

Al cateto contiguo al ángulo de 54º le damos una longitud de x metros (para evitar hacer un túnel le damos este valor).

El cateto opuesto al ángulo vale h

Utilizando la fórmula de la tangente (cateto opuesto dividido por el cateto contiguo).

Escribimos la primera ecuacion:

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La segunda ecuacion la formamos del modo siguiente:

El cateto opuesto al ángulo de 23º vale h
El cateto contiguo al ángulo de 23º vale 500 + h

Con estos datos escribimos la ecuación:

plana
Nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Curso

Igualamos las ecuaciones porque ambas son iguales a h:
gratis

Como h=1,37x; el valor de h=1,37 x 221,05; h=302,83 m.


Ejercicio #9


En la fotografia que ves a continuación

trigonometria
Tienes en la zona superior izquierda y desde lo alto de una roca el ángulo de depresión, en azul claro, desde el punto indicado hasta un punto de la orilla opuesta del río, equivalente a 51º.

Desde un saliente de una roca situada en la misma vertical y 150 metros más abajo del lugar anterior, el ángulo de inclinación, en color amarillo, hasta el punto anterior de la orilla del río es de 47º.

Se desean conocer: la anchura del río y la altura desde la superficie del río hasta la roca sobre la orilla izquierda donde se hizo la primera medición.

Respuestas: 1ª: 922,915 m. la anchura del río y 2ª 1.139,365 m. la altura de la orilla.

Solución

En primer lugar debes recordar que dos rectas paralelas cortadas por una secante determinan ángulos alternos internos iguales:

trigonometriaplana
La altura de la orilla izquierda hasta el peñasco: y + 150 m. (se trata del cateto opuesto a 29º en la fotografía y el valor de y sería el cateto opuesto a 19º).

Anchura del río x m.

Según los datos expuestos en la fotografía tenemos una primera ecuación:

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La segunda ecuación será:

plana
Podemos escribir el siguiente sistema:
Curso

Calculamos el valor de y para saber la altura:

gratis

Como nos piden la altura hasta la cima del peñasco situado sobre la orilla tendremos que sumar los 150 metros: 989,365+150 = 1.139,365 m.


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Llamamos razón al cociente indicado de dos números, así
trigonometria
decimos, son cocientes indicados.

Puedes ver que tanto al referirnos al seno como al coseno o a la tangente los definimos como cocientes indicados:
trigonometriaplana


respectivamente.

Con estas tres razones puedes resolver muchos problemas como has comprobado.


CIRCUNFERENCIA EN UN PLANO CARTESIANO

Dibujamos una circunferencia sobre un eje de coordenadas:
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La superficie interior ha quedado dividida en cuatro cuadrantes cada uno de 90º.

La numeración de los cuadrantes se hace en sentido opuesto a la marcha de las agujas de un reloj.

Debes saber que en el primer cuadrante la abscisa o eje de la x es positiva y la ordenada o eje y es positiva.

En el segundo cuadrante la abscisa o eje de la x es negativa y la ordenada o eje y es positiva. A la izquierda del 0 los valores son negativos.

En el tercer cuadrante la abscisa o eje de la x es negativa y la ordenada o eje y es también negativa. A la izquierda y debajo del 0, los valores son negativos.

En el cuarto cuadrante la abscisa o eje de la x es positiva y la ordenada o eje y es negativa.


MEDIDA DE UN ÁNGULO


La medida de un ángulo se cuenta en el sentido contrario a la de la marcha de las agujas de un reloj:
plana

ESTUDIO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA


Una circunferencia trigonométrica es una circunferencia sobre un plano cartesiano cuyo radio es igual a la unidad.
Valores del seno de un ángulo en el primer cuadrante:

Si observas en la figura siguiente al cateto opuesto al ángulo notarás que a medida que el ángulo crece, el seno tambien crece:

Curso
El trazo grueso en amarillo representa al valor del seno y vemos que cuando el ángulo vale 6º el valor del seno es muy pequeño.
Cuando el ángulo vale 41º el seno es bastante más grande y todavía es mayor cuando el ángulo vale 63º.
¿Cuándo alcanza su máximo valor?
Si te fijas en la siguiente figura puedes ver que el ángulo está llegando al tope de su valor:

gratis

El tope son 90º, cuando llegue el ángulo a 90º se convierte en el valor del radio que es 1.

Todo lo que has leído hasta ahora lo haremos de otro modo.

Fíjate bien, en todos los casos, el seno de un ángulo es la perpendicular al eje de abscisas trazada desde el final del arco que abarca su ángulo.



En la figura siguiente tienes el arco (color rojo) correspondiente a un ángulo de 51º con origen en A y final en B:


trigonometria

Trazamos la perpendicular desde B al eje de abscisas y ésta línea representa el seno del ángulo de 51º:
trigonometriaplana

A medida que el ángulo crece también lo hace el arco y dentro del primer cuadrante, el seno o perpendicular trazada desde
el final del arco al eje de las x también aumentará su valor.
En el primer cuadrante vemos que el máximo valor que adquiere el seno es 1 y ¿cuál es el mínimo?
Has estudiado que en el primer cuadrante a medida que crece el ángulo también lo hace el valor de seno del ángulo.
Cuanto más pequeño sea el ángulo, el seno también vale menos, y si el ángulo fuese de 0º ¿cuál sería el valor del seno de 0º?
Te darás cuenta que un ángulo de cero grados abarca un arco de cero grados, es decir, si no hay arco no podemos trazar
una perpendicular a partir del fin del arco, luego el seno de 0º vale 0.

Valores del coseno de un ángulo en el primer cuadrante:

Sabemos que el coseno de un ángulo es el cateto contiguo a dicho ángulo.

Vamos a estudiar la variación de los valores del coseno de un ángulo dentro del primer cuadrante al cambiar el valor de los ángulos:

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En la figura puedes observar que el coseno del ángulo de 83º equivale a OA, es decir, el valor del cateto contiguo al ángulo de 83º.

OB es el coseno correspondiente a 51º y OC el coseno de 20º.

Dicho de otro modo, si trazamos la perpendicular al eje de abscisas desde el final del arco que abarca un ángulo, el coseno de un ángulo es la porción de recta de comprendida entre este punto y el origen del centro de coordenadas.
Habrás observado que a medida que el ángulo se hace más grande, el valor del coseno disminuye. Cuanto menor sea el ángulo, dentro del primer cuadrante, el valor del coseno aumenta. ¿Cuál es el mayor valor que puede adquirir el coseno de un ángulo dentro del primer cuadrante? El valor es 1 y esto sucede cuando el ángulo vale 0º, no hay arco.

¿Cuál es el mínimo valor del coseno de un ángulo en el primer cuadrante? Cuando el ángulo adquiere su máximo valor, es decir, 90º, en este caso, no hay cateto contiguo, no existe, su valor es cero.
Valores de la tangente de un ángulo en el primer cuadrante:

Sabemos que la tangente de un ángulo calculamos dividiendo el seno del ángulo entre el valor de su coseno.
Esto quiere decir que , cuando el ángulo de la tangente seam 0º o 90º los valores serán:

plana

Ejercicio #10
Después de pensártelo bien, contesta a la pregunta siguiente: ¿Qué vale más la longitud del seno de 40º o la correspondiente al seno de 80º?

Respuesta: seno 80º

Ejercicio #11
¿Qué vale más la longitud del coseno de 4º o la correspondiente al coseno de 12º?

Respuesta: coseno 4º

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS VALORES DEL SENO, COSENO Y TANGENTE CUYOS ÁNGULOS ESTÁN COMPRENDIDOS ENTRE 0 Y 90º:


Con el fin de poder apreciar los valores a simple vista, dibujamos un eje de coordenadas cuyas divisiones son de 1 cm., trazamos una circunferencia haciendo centro en el origen del mismo y con un radio de 1 cm. trazamos una circunferencia y una recta r tangente a la circunferencia en el origen de arcos.

Curso

Recuerda que una recta es tangente a una circunferencia cuando ambas (recta y circunferencia) tienen un punto en común y en ése punto el radio de la circunferencia es perpendicular a la recta.

Analizamos los valores del seno, coseno y tangente cuando el ángulo sea 0º.

gratis
Dado que el seno de 0º vale 0 no podemos representar su medida porque no existe. Si el seno vale 0 también tendrá este valor la tangente por ser el dividendo de una división cuyo divisor es 1.
Dibujamos un ángulo de 30º y colocamos en la figura las medidas del seno, coseno y tangente de este ángulo tal como los tienes representados en la figura siguiente:

trigonometria
Observe la siguiente figura:

trigonometriaplana
Verás que la longitud del seno de 30º (cateto opuesto al ángulo) coincide con la longitud del coseno de 60º(cateto contiguo al ángulo).

La longitud del coseno de 60º(cateto contiguo al ángulo) es igual a la longitud del seno de 30º(cateto opuesto al ángulo).


Dibujamos un ángulo de 60º:

Curso de Trigonometria plana

Ejercicio #12
¿Podemos decir que el seno de un ángulo de 60º vale lo mismo que el coseno de 30º? Demuéstralo.

Respuesta: Sí

Demostración
plana

Puedes comprobar que el seno de 60º coincide con el coseno de 30º y que el seno de 30º mide lo mismo que el coseno de 60º.

Veamos ahora los valores del seno, coseno y tangente cuando el ángulo sea de 90º.

Curso

En este caso el valor del ángulo es 90º lo que significa que el coseno vale 0 y el seno 1 o valor del radio de la circunferencia trigonométrica y esto hace que el cociente de 1 entre cero sea infinito.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS VALORES DEL SENO, COSENO Y TANGENTE CUYOS ÁNGULOS ESTÁN COMPRENDIDOS ENTRE 90 Y 180º:
Nos encontramos en el segundo cuadrante donde el coseno es negativo por lo tanto, también lo será la tangente.

La medida de la tangente la limitamos prolongando el valor del radio cuando éste se traslada a 120º del origen.

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¿Por qué a la tangente no la fijamos en el segundo cuadrante? Porque la tangente se halla fuera de la circunferencia y los cuadrantes se forman dentro de la circunferencia trigonométrica. La colocamos en el punto de origen del arco y ahí permanece no afectando para nada el valor de la misma para cualquier valor del ángulo.

Si observas en la figura anterior, los valores del seno, coseno y tangente de 120º equivalen a los de 60º pero teniendo en cuenta los signos debido al cuadrante donde se hallan situados. ¿Por qué?

Porque y los valores del seno del ángulo de 60º y el de 120º son iguales y positivos por hallarse sobre cero, en cambio, el valor del coseno de 120º es, en valor absoluto (sin tener en cuenta el signo) igual al de 60º pero como se halla a la izquierda del cero, será negativo.

El valor de la tangente de 120º será igual al de 60º pero con signo negativo porque el cociente del valor del seno de 120º (positivo) entre el valor del coseno de 120º (negativo) será negativo.

Ejercicio #13
¿El seno de 60º mide lo mismo que el seno de 120º?
Respuesta: Sí


Ejercicio #14

¿El coseno de 60º mide lo mismo que el coseno de 120º?

Respuesta: Sí en valor absoluto (el de 120º tiene signo negativo).

Veamos ahora los valores del seno, coseno y tangente del ángulo de 135º:
trigonometria

Observa que los valores del seno y coseno de 45º valen lo mismo, 0,5. En el caso del ángulo de 135º, vemos que 135 es igual a 90 + 45 , es decir, a partir de 90 cambiamos de cuadrante donde el valor de las abscisas es negativo y positivo el de ordenadas y los valores absolutos del coseno 135º coinciden con los valores del coseno de 45º tal como ves en la siguiente figura:
trigonometriaplana

El cociente del seno del 135º entre el coseno de 135º será negativo por tener éste signo negativo.

Los valores del seno, coseno y tangente de 180 serán según apreciamos en la figura siguiente:

Curso de Trigonometria plana

No existe el valor del seno de 0º mientras que el valor del coseno

de 180º vale – 1.

Ejercicio #15

¿Tienen el mismo valor el seno de 50º y el de 130º?

¿Porqué, demuéstralo?

Respuesta: Si

Demostración:

plana

Ejercicio #16
¿Son iguales los cosenos de 130º y 50º? Demuestra tu contestación.

Respuesta: NO

Demostración:

Curso

Observamos que el coseno de 130º es igual al de 50º pero al

estar situado en el segundo cuadrante, es decir, a la izquierda

de 0, tendrá signo negativo.

EJERCICIO #17
Puedes afirmar que el seno de 40º mide lo mismo que el correspondiente al de 220º ? Demuestra.
Respuesta: En valores absolutos SÍ son iguales.

Demostración:

gratis

Si tenemos en cuenta que 220º lo podemos descomponer en un ángulo de 180º más 40º, en el primer cuadrante señalamos un ángulo de 40º más otro de 50º. En total, en el primer cuadrante ya tenemos 90º.

Añadimos otros 90º del segundo cuadrante. En total 90º + 90º = 180º.

Añadimos otros 40º para completar los 220º y vemos que nos encontramos en el tercer cuadrante.

El seno correspondiente a 220º (en rojo) en el tercer cuadrante mide lo mismo que la longitud del seno de 40º (primer cuadrante) en valores absolutos.

Con los valores correspondientes al coseno (en verde) nos sucede lo mismo.

Podemos decir que, los valores del seno y coseno de 220º miden igual que los de 40º diferenciándose en el signo. Los que corresponden a 220º son negativos (III) cuadrante y los correspondientes a 40º son positivos (I) cuadrante.

Ejercicio #18

¿Afirmas que el seno de 60º y el de 240º tienen el mismo valor absoluto?

Respuesta Si

Ejercicio #19

El valor de la longitud de la tangente de 50º ¿mide lo mismo que la de 230º? ¿Por qué?

Respuesta: Sí. Porque el cociente de un valor negativo entre otro también negativo es positivo y lo demostramos así:

trigonometria

Tienes a continuación los valores de un ángulo de 240º. El número 240 puedes descomponerlo en dos sumandos:180 +60.

El ángulo de 180º nos queda encima de cero. El resto, los 60º se sitúan en el tercer cuadrante. Vemos que el seno de 240º vale lo
mismo (valor absoluto) que el de 60º. Con el coseno nos sucede lo mismo.

trigonometriaplana

Ejercicio #20

¿En qué se diferencian los valores de las medidas del seno de un ángulo de 60º y el de 240º?

Respuesta: En el signo. El valor del seno de 60 es positivo y el de 240 es negativo.

Calculamos ahora los valores correspondientes a un ángulo de 270º:

El valor del seno equivale a la longitud del radio pero como está bajo cero, este valor será negativo es decir, – 1. El valor del coseno es cero.

Curso de Trigonometria plana
El valor de la tangente es indefinido.


REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS VALORES DEL SENO, COSENO Y TANGENTE CUYOS ÁNGULOS ESTÁN COMPRENDIDOS ENTRE 270º Y 360º:

Calculamos los valores del seno, coseno y tangente del angulo de 300º
plana


Al ángulo de 300º le faltan 60º para llegar a 360º. Vemos que los valores correspondientes al ángulo de 300º son iguales a los de 60º pero hemos de tener en cuenta que el valor del seno al estar situado bajo cero será negativo, lo mismo que el de la tangente.

Calculamos los valores del seno, coseno y tangente del ángulo de 330º

Curso

Al ángulo de 330º le faltan 30º para llegar a 360º. Vemos que los valores correspondientes al ángulo de 330º son iguales a los de 30º pero hemos de tener en cuenta que está situado bajo cero y el valor del seno será negativo, lo mismo que el de la tangente.

En cambio, los valores de los cosenos cuyos ángulos se sitúan en el IV cuadrante son positivos por hallarse a la derecha del cero.

Calculamos ahora los valores correspondientes a un ángulo de 360º.El valor del seno de 360º vale 0 y el del coseno es igual a la longitud del radio, es decir, 1.

gratis

Nos encontramos en el mismo caso en el que el ángulo valiera 0º.

OTRO MODO DE CÁLCULO DE LOS VALORES DEL SENO Y COSENO CUYOS ÁNGULOS ESTÁN COMPRENDIDOS ENTRE 270 Y 360º:

Los ángulos que se hallan en el IV cuadrante como 290º, 300º,.. hasta 360º podemos escribirlos como:

Coseno 290º = coseno(360 – 70)

Coseno 300º = coseno(360 – 60)

Graficamente los situamos del modo siguiente:
trigonometria

Comprobamos que el seno de 290º es igual al de 70º, es decir, (360º – 70º), pero con signo negativo por estar situado (color azul) bajo cero. En cambio, el valor del coseno de 70º y el de 360º son iguales y positivos (color rojo) por situarse a la derecha de cero.

Hacemos lo mismo con el ángulo de 300º.

trigonometriaplana

El seno (línea azul) de 300º es el mismo que el de 60º por estar situado en el IV cuadrante es negativo.

El coseno (línea roja) de 300º es el mismo que el de 60º por estar situado a la derecha del cero.
La tangente será negativa.

Podemos afirmar que los valores de los ángulos superiores a 270º los podemos calcular hallando la diferencia entre 360º menos dichos valores, teniendo en cuenta si están bajo cero o a la derecha de cero.

Los valores de los senos serán negativos

Los valores de los cosenos serán positivos

Los valores de las tangentes serán negativas.

Ejercicio #21

¿Puedes afirmar que el valor del coseno de 330º es igual al de 60º? ¿Por qué?

Respuesta: NO, porque 330º + 60º suman 390º en lugar de 360º.

Ejercicio #22

El valor del coseno de 330º ¿ A que otro ángulo corresponde?
Respuesta: Al ángulo de 30º

Ejercicio #23

El valor del seno de 330º ¿ A que otro ángulo corresponde?

Respuesta: - seno de 30º

Ejercicio #24

¿Son iguales los cosenos de 330º y 30º ?

Respuesta: SI


OTRAS LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS

Hasta ahora hemos estudiado las líneas correspondientes al seno, coseno y tangente.

Existen otras tres líneas trigonométricas que se llaman: cotangente, secante y cosecante.


Cotangente:

La cotangente es el inverso de la tangente, es decir,
Curso de Trigonometria plana

Es lo mismo que decir que, la Cotangente podemos obtener dividiendo el coseno entre el seno.

¿Cómo la representamos gráficamente?

plana

Hemos representado con una línea roja el valor de la cotangente correspondiente a un ángulo de 30º.

La forma abreviada es escribiendo “co” delante de la forma abreviada que utilicemos para la tangente: cotan, cotg, cotang.

Escribimos los valores de las lineas que hemos estudiado hasta este momento, relativas al ángulo de 30º.

Curso
Tienes ampliadas las divisiones del eje de coordenadas.

Las definiciones más utilizadas sobre la línea COTANGENTE son:

1ª- razón o cociente entre el valor de la medida del cateto adyacente al ángulo y el del cateto opuesto a dicho ángulo.



2ª- inverso del valor de la tangente.

En el primer caso podemos escribir:
gratis


En el segundo caso:
trigonometria


Secante:

La linea secante procede del inverso del coseno o si prefieres, el cociente entre la longitud hipotenusa y el del cateto contiguo al ángulo.
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Graficamente la representamos:
Curso de Trigonometria plana

Escribimos los valores de las medidas de las lineas presentes en la figura anterior, relativas al ángulo de 30º.
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Cosecante:

La cosecante es el inverso del seno, es decir, el cociente de la hipotenusa entre el cateto opuesto al ángulo.

Curso
Graficamente la representamos:

gratis
Escribimos los valores de las medidas de las lineas presentes en
la figura anterior relativas al angulo de 30º.
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TABLAS TRIGONOMÉTRICAS

Cuando haciendo cálculos como en algunos de los ejercicios anteriores decimos que la longitud del seno o del coseno, etc., de un ángulo mide una cierta cantidad ¿cómo saber cuántos grados mide su ángulo correspondiente?

Hoy en día casi todos los estudiantes tenéis una calculadora de bolsillo a la que acudís con mucha frecuencia para ahorrar, ojala, un poco de tiempo solamente.

En el caso de que no dispongas de la citada herramienta es bueno

que tengas a mano una tabla donde encuentres los valores de cualquier ángulo.

Toma los valores, aproximadamente, aceptando los dos primeros decimales.

Tabla de Valores Trigonométricos

La primera columna se refiere a los radianes. Recuerda que el radian es el ángulo cuya longitud de arco equivale a la del radio.

Ejercicio #30
¿A cuántos radianes equivalen 41º?

Respuesta: 0,7156 radianes

1ª solución
Anteriormente estudiamos que una circunferencia tiene

trigonometriaplana

Podemos establecer la siguiente regla de tres:

Curso de Trigonometria plana…………. 360º

x radianes…………. 41º



2ª solución

Tomas la tabla. Te diriges a la columna de grados. Te sitúas en 41º y miras en la columna de la izquierda para saber su correspondiente valor en radianes.


Ejercicio #31

¿Cuántos radianes son 30º?

Respuesta: 0.3236 radianes


Ejercicio #32

¿Cuánto mide el seno de 44º?

Respuesta: 0,6947

Solución

Te sitúas en los 44º y en la columna de la derecha correspondiente a la de los valores del seno, en la misma fila, hallaras 0.6947.

Ejercicio #33

¿Cuánto mide el seno de 52º?

Respuesta: 0,7880

Solución

Para situarnos en 52º hemos de ir a la novena columna (segunda comenzando a contar por la derecha). Cuando hemos de trasladarnos a esta columna, tenemos que fijarnos NO en el encabezamiento superior – Rad-Grados-Sen-Cos…. sino en los títulos de cada columna que aparecen al pie de página.

La suma de los valores de los grados de la columna izquierda con sus correspondientes de la columna de grados de la derecha nos dan siempre 90º. Recuerda los ángulos complementarios.

El seno de 56º (fijándote en el encabezamiento inferior) y el coseno 34º (guiándote por el encabezamiento superior) son iguales, porque los ángulos son complementarios.

Ejercicio #34

¿Tienen el mismo valor el seno de 14º y el coseno de 76º?

Respuesta: SI

Ejercicio #35

Sirviéndote de las tablas calcula el valor de la longitud del coseno de 135º.

Respuesta: – 0,7071

Solución

Al referirnos al ángulo de 135º vemos que se halla situado en el II cuadrante y que equivale al coseno de (180º – 135º), es decir, 45º.

En este segundo cuadrante, el valor del coseno es negativo por hallarse a la izquierda de cero.

Miramos en las tablas el valor del cos 45 y cambiamos de signo.

Ejercicio #36

Haciendo uso de las tablas calcula el valor de la longitud del seno de 107º.

Respuesta: 0.9563

Solución

Mientras el valor del ángulo no pase de 180º y supere los 90º lo situamos en el II cuadrante.

El sen 107º es igual al seno (180º – 107º) = 73º.

Compruebo en las tablas el valor del seno de 73º y veo que vale 0,9563.

Será positivo por hallarse sobre cero.


Ejercicio #37


Haciendo uso de las tablas calcula el valor de la longitud de la tangente de 124º.

Respuesta: –1,4826
Solución

180º – 124º = 56º. La longitud de la tangente de 56º es igual a 1,4826 pero como se halla en el segundo cuadrante y en éste, el seno tiene valor negativo, el valor de la tangente también será negativo.
Ejercicio #38

Haciendo uso de las tablas calcula el valor de la longitud de la tangente de 133º.

Respuesta: – 1,0724
Ejercicio #39

Haciendo uso de las tablas calcula el valor de la longitud del seno de 223º.

Respuesta: –0,6820

Solución
Los valores de las longitudes de las líneas correspondientes a 223º se sitúan en el cuadrante III. Esto quiere decir que superan los 180º.
Los 223º puedo escribir como (180º + 43º). Esto quiere decir que el seno de 223º y el de 43º valen lo mismo. Dado que se encuentra en el tercer cuadrante, tanto el seno como el coseno son negativos.

Ejercicio #40

Haciendo uso de las tablas calcula el valor de la longitud del coseno de 223º.

Respuesta: - 0,7314
Ejercicio #41
Haciendo uso de las tablas ¿Cuánto mide la cosecante de 200º?

Respuesta: - 1,0642


Ejercicio #42

¿Cuánto vale el coseno de 300º?

Respuesta: 0,5

Solución

Los valores superiores a 270º se sitúan en el IV cuadrante donde los valores del coseno son positivos y negativos los del seno.
300º podemos escribirlos (360º – 300º) = 60º.

Esto quiere decir que, el valor del coseno de 300º y el de 60º miden lo mismo, 0,5.
En cambio, el valor del seno en el IV cuadrante será siempre negativo por hallarse bajo cero.


Ejercicio #43

¿Cuánto vale la secante de 330º?

Respuesta: 1,1547

Solución

La secante al ser el inverso del coseno, calculamos la longitud del coseno de (360º – 330º) = 30º que equivale a 0,866 y hallamos su inverso:
plana
Sería positivo porque el coseno en el IV cuadrante se halla a la derecha de cero.
Ejercicio #44

¿Cuánto mide la cotangente de 310º?

Respuesta: - 0,8391

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Dos ángulos son suplementarios si la suma de los grados de

ambos es igual a 180º.
Curso


El ángulo de 136º y el de 44º son suplementarios porque los dos suman 180º.

El ángulo de 136º se sitúa en el II cuadrante. El ángulo de 44º se sitúa siempre en el I cuadrante.

Observarás que los valores de las medidas de las líneas trigonométricas de ambos ángulos suplementarios son iguales en valores absolutos.

Ejercicio #45

¿Son iguales los valores de los cosenos de ángulos suplementarios?

Respuesta: No. El valor del coseno del 136º será negativo por encontrarse a la izquierda de cero.

Ejercicio#46

¿Las medidas de qué líneas trigonométricas de ángulos suplementarios coinciden plenamente?

Respuesta: El seno y la cosecante.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

La trigonometría facilita el cálculo de las medidas de los tres ángulos y los tres lados de un triángulo.

Siempre que conozcamos tres elementos de un triángulo, la trigonometría nos permite conocer los otros tres.

En primer lugar debes fijarte bien en la figura siguiente:
gratis
Cuando dibujes un triángulo debes tener en cuenta:

1º.- Señalar con letras mayúsculas los valores de los ángulos

2º- Señalar con letras minúsculas los medidas de los lados

3º- Las medidas de los lados se colocan frente a los ángulos correspondientes; así, en el lado opuesto al ángulo B escribimos la medida del lado b; en el lado opuesto al ángulo C escribimos la medida del lado c y en el lado opuesto al ángulo A escribimos la medida del lado a.

4º- Escribir lo anterior siguiendo un orden. En el dibujo último hemos ido escribiendo las letras mayúsculas siguiendo la marcha de las agujas de un reloj. Las medidas de los lados guardarán también un orden como resultado del orden de las letras que representan los ángulos.



En todo triángulo rectángulo un ángulo vale 90º lo que quiere decir que la suma de los dos ángulos agudos será 90º. Luego



B + C = 90º

y la suma total será: A + B + C = 90º
Siguiendo con la misma figura podemos establecer las siguientes igualdades:
trigonometria


De lo que acabas de estudiar podemos decir:

1) Un cateto es igual al producto de la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto a dicho cateto.

2) Un cateto es igual al producto de la hipotenusa por el coseno del ángulo comprendido entre éste cateto y la hipotenusa.

3) Un cateto (b) es igual al producto del otro cateto (c) por la tangente del ángulo opuesto a (b).

Ejercicio #47
Calcula el valor de los 3 lados y 3 ángulos partiendo de los datos conocidos que ves en la figura siguiente:

trigonometriaplana
Respuesta: C=56º; a=7,237 m.; b = 4,047 m.

Solución


Conocemos 3 datos: ángulo B (34º), ángulo A(90º), lado c (6 m.)
Necesitamos conocer 3 datos: el ángulo C, el lado a y el lado b.

Curso de Trigonometria plana

El valor del lado a lo obtenemos por Pitágoras:

plana

Ejercicio #48

Conocemos: C, A y a. Tenemos que calcular los valores de B, b y c.
Curso
Respuesta: B = 52º; b = 6,632 m; c = 4,47 m.

Solución

gratis


Ejercicio #49


Conocidos los 3 datos de la figura siguiente calcular los 3 que nos faltan:


trigonometria
Respuesta: C = 30º; b = 5,19 m.; a = 5,994 m.

Solución

trigonometriaplana
Ejercicio #50

Conocidos los 3 datos de la figura siguiente calcular los 3 que nos faltan:
Curso de Trigonometria plana
Respuesta: B = 42º; C = 48º; a = 6,726 m.


Ejercicio #51

Conocidos los 3 datos de la figura siguiente calcular los 3 que nos faltan:

plana
Respuesta: b = 8,544 m.; C = 21º; A = 69º

Solución
Curso


Teorema de la altura:

Antes de estudiarlo, veamos que entendemos por proyección de un segmento sobre una recta.
Se trata de trazar dos rectas perpendiculares a partir de los extremos del segmento sobre la línea. La distancia entre las dos perpendiculares equivale a la proyección del segmento:

gratis
Tenemos unos segmentos de color verde. Desde los extremos de cada segmento trazamos perpendiculares sobre la recta MN, lugar donde queremos obtener el resultado de cada proyección (en color rojo) y de este modo vemos que la proyección de AB sobre la recta MN es A’B’, la proyección de CD sobre MN es C’D’ y la proyección de EF sobre MN es E’F’.
Ahora dibujamos un triángulo rectángulo:


trigonometria
Los catetos son a y b, la hipotenusa vale c.

El segmento m equivale a la proyección del cateto a sobre la hipotenusa c.

El segmento n equivale a la proyección del cateto b sobre la hipotenusa c.

Al trazar la altura h en el triángulo grande ACB obtenemos dos triángulos rectángulos en su interior en color azul y color naranja.



Los triángulos BDC (azul) y CDA (naranja) son semejantes por ser triángulos rectángulos. Esto quiere decir que sus lados son proporcionales.

Del triángulo BDC (azul) tomamos el cateto mayor que es h, su homólogo (el que ocupa su lugar) en el triángulo CDA (naranja) es el segmento n.

El cateto menor del triángulo BDC (azul) es el segmento m y su homólogo en el triángulo CDA (naranja) es h.

Podemos escribir la siguiente proporción:

trigonometriaplana
En toda proporción, el producto de extremos ( h y h ) es igual al producto de los medios ( n y m):
Curso de Trigonometria plana

En todo triángulo rectángulo, la altura es la media proporcional entre los dos segmentos en los que le divide a la hipotenusa.





Teorema del cateto


Tomamos el triángulo anterior:
plana
Fíjate bien en los dos triángulos en color verde. Son semejantes por lo que sus lados son proporcionales:

La hipotenusa del mayor (c) es a la hipotenusa del menor (b) como el cateto mayor del triángulo grande (b) es al cateto mayor del triángulo menor (n).

Cuanto acabas de leer lo escribimos en forma de proporción:

Curso
Lo mismo podemos hacer con:
gratis


Los dos triángulos rectángulos de color amarillo son semejantes luego sus lados serán proporcionales.



La hipotenusa del mayor (c) es a la hipotenusa del menor (a) como el cateto menor del triángulo grande (a) es al cateto menor del triángulo pequeño (m).

Escribimos la proporción:

trigonometria

En todo triángulo rectángulo un cateto es la media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre la hipotenusa.



Ejercicio #52

¿Cuánto vale la altura de un triángulo rectángulo sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa valen 5 y 9 m.?



Respuesta: 6,70 m.

Solución

Conocemos m y n

trigonometriaplana
Ejercicio #53

Sabiendo que la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 m. y la proyección de un cateto sobre ella 5,6 m.¿Cuánto vale el cateto?



Respuesta: 5,79 m.

Solución


Curso de Trigonometria plana

Tomando los triángulos ACB y BDC al ser semejantes, la hipotenusa del primero (c = 12) es a la hipotenusa del triángulo BDC (a) como el cateto menor del triángulo ACB (a) es al cateto menor del triángulo BDC(m=2,8):

plana

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Los triángulos que no sean rectángulos se llaman oblicuángulos.
Curso

Como ves en la figura anterior, los dos triángulos son oblicuángulos, no tienen ningún ángulo interior de 90º.

Lógicamente, si sus ángulos son diferentes también lo serán sus lados, pero la suma de los grados de sus ángulos siempre ha de ser de 180º.



Cómo calcular los distintos valores de un triángulo oblicuángulo:

Tienes que estudiar dos sencillos teoremas para resolver los problemas referidos a estos triángulos.



Teorema del seno:


El siguiente triángulo es oblicuángulo:
gratis
Trazamos la altura desde C hasta c:
trigonometria
Tomando como referencia el ángulo B podemos escribir:
trigonometriaplana


y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen B

Tomamos ahora el ángulo A:
Curso de Trigonometria plana


y haciendo operaciones tendremos: h = b x sen A



Observamos:

h = a x sen B

h = b x sen A

podemos decir que : a x sen B = b x sen A



Esta última igualdad podemos escribirla:
plana

Recuerda que en toda proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios.

Si trazamos la altura desde el vértice B tenemos:

Curso
El cateto opuesto al ángulo C es la altura (h) que partiendo del vértice B es perpendicular al lado b (90º en amarillo), la hipotenusa es el lado a. El triángulo en azul claro BDC es rectángulo en D.

El sen C será igual al cateto opuesto (h) partido por la hipotenusa (a).

gratis

y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen C

Si calculamos el sen A en el triángulo color naranja escribiremos:

trigonometria

( h y b son los catetos y c la hipotenusa), luego haciendo operaciones: h = c x sen A.



Luego, a x sen C y c x sen A son iguales. a x sen C

=c x sen A



Esta última igualdad podemos escribirla:

trigonometriaplana
El recuadro último representa el teorema del seno.

Lo definimos: En todo triángulo la relación de un lado entre el valor del seno del ángulo opuesto se mantiene constante.


Ejercicio #54

Los tres datos conocidos de un triángulo los tienes en la figura siguiente. Halla los tres datos que faltan por conocer:
Curso de Trigonometria plana
Respuesta: C = 30º; a = 5,8 m; a = 10,28 m.

Solución

El ángulo C = 180º – (121º+29º) = 30º

Haces uso del teorema del seno.

Calculamos el valor de b:

plana

Calculamos el valor de a:


Curso
Ejercicio #55

En el dibujo siguiente tenemos un triángulo con tres datos conocidos, halla los otros tres:
gratis
Respuesta: A = 68º; C = 52º; c= 6,68 m.;

Solución

Haciendo uso del teorema del seno podemos escribir:
trigonometria
Tomas las tablas y en la columna del seno cuyo encabezamiento lo tenemos al pie de página, en la columna de grados de la derecha verás que corresponde a 68º.

Esto quiere decir que también conocemos el ángulo C:
trigonometriaplana


Del triángulo conocemos:

Curso de Trigonometria plana

Comprobarás que necesitamos saber el valor del lado c, para completar las medidas de los seis datos.

Volvemos a utilizar el teorema del seno:
plana
Resultado final con todos los datos:
Curso

Ejercicio #56


En el siguiente triángulo aparecen 3 datos, calcula los otros 3:


gratis
Respuesta: B = 110º; b = 8,9 m.; c = 5 m.


Aplicación del teorema del seno en el caso de un triángulo inscrito en una circunferencia



Primeramente conviene que recuerdes lo que es arco capaz.

En la figura que tienes a continuación verás los ángulos A, B, C, D y E que por ser inscritos(que los vértices se hallan en la circunferencia) valen lo mismo.

Además, los lados que forman cada uno de los ángulos mencionados abarcan la misma longitud de arco de circunferencia AB (trazo más grueso –color rojo-):
trigonometria
El arco AB del segmento AB, para el ángulo de 55º es el lugar o lugares geométricos de los puntos del plano desde los que podemos ver el segmento anterior AB bajo el ángulo de 55º.

De la figura anterior tenemos en cuenta solamente lo siguiente:
trigonometriaplana
Dado que los dos ángulos A y B valen lo mismo por ser inscritos y además abarcan el mismo arco podemos decir también que el sen A y el sen B son iguales. Además, sen B =Curso de Trigonometria plana haciendo uso del teorema del seno podemos escribir:

plana



Podemos afirmar que en todo triángulo inscrito en una circunferencia la razón o la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto equivale al diámetro de dicha circunferencia.

Hacemos lo mismo tomando al ángulo C como referencia:

Teorema del coseno:


Se trata de otro sencillo teorema también para la resolución de triángulos.

Partimos del triángulo siguiente:
Curso
Trazamos la altura desde el vértice C sobre el lado c y fijamos las proyecciones m y n de los lados a y b sobre el lado c:
gratis
Puedes comprobar que los dos triángulos (amarillo y verde) en los que la altura ha formado son rectángulos (H = 90º).

Timando el triángulo amarillo podemos escribir, según el teorema de Pitágoras:
trigonometria



Según lo que has estudiado podemos decir que:
trigonometriaplana

Ejercicio #57

Conocemos los tres lados de un triángulo:
Curso de Trigonometria plana

¿Cuánto vale el ángulo A?



Respuesta: 23º



Solución

plana

Ejercicio #58


¿Cuánto valen los ángulos A y B de la siguiente figura?


Curso


Respuestas: A = 39º; B = 52º
Área del triángulo:

Tienes a tu disposición el cálculo del área de un triángulo sirviéndonos del valor del seno de uno de sus ángulos.

En la figura:
gratis

Hemos dibujado un triángulo y dentro del mismo la altura (h).

El área de este triángulo es:

trigonometria


El área de un triángulo es igual al producto de dos lados por el seno del ángulo que forman dichos lados dividido por dos.



Podemos hallar el área de un triángulo sabiendo el valor de los tres lados.

Este cálculo, algo más complicado de los estudiados hasta ahora, se lo debemos a Herón de Alejandría. Nació hace casi 2000 años.

Vamos a hacer el cálculo paso a paso y de este modo las cosas resultarán más fáciles.



Recordemos la fórmula fundamental que ya estudiamos:

trigonometriaplana
Hemos estudiado que:

Curso de Trigonometria plana
Observa con atención al numerador que tienes dentro de la raíz cuadrada. Se trata de una diferencia de cuadrados que procede de la suma de dos números por su diferencia:
plana
Eliminando los paréntesis que podamos en el numerador tendremos:
Curso
Tomamos del numerador que tenemos dentro de la raíz cuadrada:

gratis

trigonometria

De este modo, el numerador que tenía dentro de la raíz cuadrada la hemos transformado en cuatro factores:
trigonometriaplana
La hemos transformado en:
Curso de Trigonometria plana
Debes tener presente que los lados del triángulo son: a, b y c



El perímetro de un triángulo lo obtenemos sumando las medidas de los 3 lados.

Llamamos semiperímetro a p.

En este caso: planaporque 2p es el perímetro.
Curso
gratis
Llegamos a que:

trigonometria
Podemos escribir del modo siguiente:
trigonometriaplana
Multiplicamos en el numerador cuanto podamos:
Curso de Trigonometria plana

Sacamos fuera de la raíz cuadrada cuanto podamos:
plana
Simplificamos:
Curso
Pa[/b]samos el 2 a la izquierda de la igualdad y lo hará dividiendo. Los factores bc que están dividiendo, pasarán a la izquierda del signo =, multiplicando:
gratis
La expresión que tienes a la izquierda del signo igual es el área de un triángulo conocidos dos lados y el ángulo que forman estos dos lados, por lo tanto, la fórmula final podemos escribirla:
trigonometria
Ejercicio #59

Vamos a calcular el área del triángulo siguiente haciendo uso del seno del ángulo que forman los lados b y c, y después haciendo uso de la fórmula de Herón.

Los datos los tienes en la figura siguiente:
trigonometriaplana



Respuesta: 17,98 m2

Solución

1ª.- Hacemos uso del sen de 45º:
Curso de Trigonometria plana
2ª.- Utilizamos la fórmula de Herón:
plana
La suma de los lados es: 5,7 + 6,36 + 8 = 20,06 m.



El semiperímetro valdrá la mitad: Curso
gratis
BUENO CON ESTO CONCLUYE EL POST

trigonometria


trigonometriaplana