Evolución del numero PI

Evolución del numero PI


Cualquier esfuerzo práctico por dividir el diámetro de un círculo en su propia circunferencia solo puede resultar en fracaso. Tal procedimiento sólo puede ser teórico en su naturaleza, e intentar obtener su valor "racional" solo conllevará a frustración. La frustración que se retrata a lo largo de la historia en el esfuerzo de la humanidad por medir lo inconmensurable. Intentar inscribir una línea recta (el diámetro de un círculo) en otra línea curva (el perímetro del mismo) es intentar una alteración a la naturaleza, una alteración imposible que siquiera los ordenadores modernos están en condiciones de realizar.


Ya en la antigüedad, los calculistas advirtieron que todos los círculos conservaban una estrecha relación entre su perímetro y su radio pero... ¿Puede este vínculo ser considerado como un número "racional"? Es decir: ¿Puede conocerse con exactitud esta relación, o debemos limitarnos a dar aproximaciones? Sólo desde el siglo XVII la relación se convirtió en un número y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo), pero largo fue el camino hasta aceptar que Pi era un irracional, como infinita es la posibilidad de encontrarle un nuevo decimal.

A lo largo de la historia, la expresión de Pi ha asumido muchas variaciones. Uno de los mas antiguos textos matemáticos, el papiro de Rhind, (1700 años antes de nuestra era) nos muestra al escriba Ahmés cotejando la evaluación del área de un círculo inscrito en un cuadrado.

La biblia le asigna el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios 4(8/9)²; Siddhantas 3,1416; Brahmagupta 3,162277; y en China 3,1724. Sin embargo, como era de esperarse, fue en Grecia donde la exacta relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los mas llamativos enigmas a resolver. Un contemporáneo de Sócrates, Antiphon, inscribe en el círculo un cuadrado, luego un octógono e imagina doblar el número de lados hasta el momento en que el polígono obtenido coincida prácticamente con el círculo. Brisón, por la misma época, hizo intervenir los polígonos circunscriptos.

Después de los trabajaos de Hipócrates y de Euxodo, Euclides precisa, en sus Elementos los pasos al límite necesarios y desarrolla el método de exhaución, consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares inscritos y circunscritos y en mostrar la convergencia del procedimiento.

Arquímedes reúne y desarrolla estos resultados. Muestra que el área de un círculo es el semiproducto de su radio por su circunferencia y que la relación de la circunferencia al diámetro está comprendida entre 223/71 = 3,14084 y 22/7 = 3,14285.

Obtiene luego para las áreas y los perímetros de los polígonos regulares, inscritos y circunscritos, de n y 2n lados, relaciones de recurrencia de forma notable, que permiten calcular pi con una aproximación dada; este método de cálculo recibió el nombre de "algoritmo de Arquímedes".

Con el renacimiento, los trabajos de ciclometría se multiplican. Purbach construye una tabla de senos de 10' en 10' y adopta para Pi el valor 377/120 = 3,14666.... Los siglos XV y XVI se destacan por el desarrollo de la trigonometría, bajo el impulso de Copérnico y Kepler. Rhaeticus construye una tabla de senos en la que se incluye a Pi con 8 decimales exactos. Adrien Romain (1561-1615) obtiene 15 decimales y Ludolph de Colonia (1539-1610) llega hasta 32. Según su deseo, estos 32 decimales fueron grabados en su tumba, pero en su país la posteridad lo recompensó mucho mejor pues se dio a pi el nombre de "número de Ludolph".

Pronto la proeza de Ludolph se vió opacada por lo perfeccionamientos logrados por Snell (1580-1626) y Huyghens (1629-1655). El primero halla que el arco x está comprendido entre: 3 sen x /( 2 + cos x) y 1/3.(2 sen x + tg x) mientras que el segundo, cuya obra ha sido calificada como modelo de razonamiento geométrico, da la expresión (sen² x tg x)1/3 Con su método, Snell obtuvo 34 decimales exactos, partiendo del cuadrado y doblando 28 veces el número de los lados. Huyghens, en cambio, calcula Pi con 9 decimales exactos utilizando simplemente el polígono de seis lados.

El cálculo infinitesimal dió fórmulas notables que, al aportar métodos de cálculo nuevos y mucho mas potentes, separó en cierto modo a Pi de sus origenes geométricos y aclaró el papel fundamental que que juega en todo el análisis matemático. El matemático francés Viete obtuvo, a fines del siglo XVI, la primer fórmula de Pi por medio de un producto infinito convergente que no hace figurar mas que a los número 1 y 2. Gregory en 1670 desarrolla la fórmula del Arco tangente que, para x = 1 da la fórmula de Leibniz: PI/4 = 1 - (1/3) + (1/5) -...

Como caso particular, cabe mencional a Euler, a quien le debemos la costumbre de designar por Pi a la relación circunferencia : diámetro y quien en 1775 calculó su valor, con 20 decimales, en una hora por medio de la fórmula:

Pi/4 = 5 arc tg 1/7 + 8 arc tg 3/79. Sin embargo, su mayor descubrimiento es el de un cierto parentesco entre Pi y otros números no menos importantes en la matemática, como lo son el número e, i, como así los lazos que existen entre las funciones circulares seno y coseno, y la función exponencial ex: ésta es periódica y su período imaginario es 2 i Pi.

Estas verdades son el resultado común de varias corrientes de ideas. Los logaritmos inventados por el escocés Neper (1550-1617), no solamente tuvieron gran importancia para los cálculos numéricos; la función, nula para x = 1, que admite como derivada a 1/x ofrece un sistema de logaritmos particularmente interesantes desde el punto de vista teórico: los conocidos logaritmos neperianos.

El mas constante entre todos aquellos que se abocaron al cómputo de Pi fue el matemático inglés William Shanks, quien luego de un arduo trabajo que le demandó nada menos que veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desafortunadamente, Shanks cometió un error en el 528º decimal, y apartir de ése todos los restantes están mal. En 1949 John Von Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC, y luego de setenta horas de trabajo obtuvo 2037 cifras decimales. Tiempo después, otra computadora consiguió 3.000 decimales en sólo 13 minutos. Hacia 1959, una computadora británica y otra gala lograron las primeras 10.000 cifras. En 1986 David H. Bailey extrajo 29.360.000 cifras en un Cray-2 de la Nasa utilizando el algoritmo de Ramanujan de convergencia cuártica. Finalmente, en 1987, Kanada consiguió mas de 100 millones de cifras se podrían conseguir facilmente 2.000 millones de cifras usando en exclusiva un superordenador durante una semana. En resumen, ya es prácticamente posible tantas cifras como se requiera, y el único impedimento aparente es debido al tiempo que un ordenador pueda tardar en conseguirlos.

Lo cierto es que sólo cuatro decimales de Pi con suficiente precisión bastan para las necesidades prácticas. Con 16 decimales se obtiene, con el espesor aproximado de un cabello, la longitud de una circunferencia que tenga por radio la distancia media de la tierra al sol. Si reemplazamos el sol por la nebulosa mas lejana y el cabello por el corpúsculo mas pequeño conocido por los físicos, no harian falta mas que 40 decimales. Entonces ¿Que necesidad existe para buscar tantas cifras? Quizá ninguna necesidad práctica, pero el hombre no se resigna aún a aceptar cosas que no pueda llegar a comprender, como por ejemplo el infinito.

6 comentarios - Evolución del numero PI

@Carlitoscz
Te felizito por este post, siempre quise saber la historia del numero PI, ahora espero la del numero FI que segun he leido es el de la belleza. +10