Movimiento Unidimensional ( una dimension)



Concepto de movimiento

MOVIMIENTO (MECANICO): Variación de las posiciones mutuas de los cuerpos, o de sus
partes, en el espacio al transcurrir el tiempo.

ALGUNAS IDEAS ACERCA DEL MOVIMIENTO

Galileo Galilei (1564-1642)

Descripción del movimiento en dos clases: Natural y Violento. El movimiento
natural no se impone, el movimiento violento sí (se necesita de algo para
provocarlo).

Isaac Newton (1643-1727)
Descripción del movimiento (ley de la inercia): Según Galileo, un objeto en
movimiento, de no ser por la fricción, continuaría moviéndose para siempre.
Esta conclusión sería refinada por Newton posteriormente al expresar: Todo
cuerpo tiende a mantener su estado de reposo o de movimiento rectílineo
uniforme, mientras no haya un agente externo que lo modifique.

Aristóteles (384-322 ADC)
Descripción del movimiento mediante sus tres leyes (base de la Mecánica
Clásica: Ley de la inercia, Ley de la Fuerza, y Ley de la Acción y Reacción.

Sistemas de referencia


SISTEMA DE REFERENCIA (SR): Es el lugar físico (cuerpo rígido, real o
convencional) con respecto al cual se observa y se describe el movimiento de los
cuerpos.

INERCIALES: Cuando el SR está en reposo
ó se encuentra en movimiento rectilíneo uniforme.

NO INERCIALES: Cuando el SR se encuentra en
movimiento acelerado.


Concepto de partícula


Partícula: Punto material que carece de dimensiones geométricas y donde se supone concentrada la masa de un cuerpo.
Puede poseer movimiento de traslación y de rotación alrededor de un eje.

Movimiento en una dimensión (Cinemática)
Posición / Desplazamiento


- Posición se mide desde un origen:

^...........................O
|-------10 m.------->/|
=.......................... /

-José está a 10 metros a la derecha de la lampara.
-origen = lámpara
-dirección = a la derecha
-Vector de posición :

(-X)-------O----10 m.------->J------(+X)

O=origen
J=José


Posición / Desplazamiento:


-Desplazamiento es el cambio en la posición.
Δx = xf - xi

|------10 m------>
|--------15 m----------------------->
X = 15 m - 10 m = 5m


Velocidad promedio y velocidad instantánea


-Velocidad promedio = distancia total cubierta por tiempo total:
_
v (velocidad promedio)=Δx(desplazamiento total) / Δt(tiempo total)

-El término rapidez comúnmente se refiere a la magnitud del
vector de velocidad:
El “qué tan rápido” sin la dirección.

-Velocidad instantánea, es la velocidad en un instante dado:

v (velocidad) = lim Δt = 0 [Δx(desplazamiento) / Δt(tiempo)] = dx/dt



Aceleración

- Aceleración es el cambio de velocidad por unidad detiempo.
a = Δv/Δt ----> aceleración promedio
a = dv/dt = d2x/dt2 ---> aceleración instantánea
Similarmente,
v = ∫ a dt ---> Velocidad
También,
x = ∫ v dt --->Desplazamiento

entonces:
- Derivando el Desplasamiento con respecto del tiempo, obtenemos la Velocidad.
- Derivando la Velocidad con respecto del tiempo, obtenemos la aceleracion.
- Integrando la aceleracion, obtenemos la Velocidad.
-Integrando la Velocidad, obtenemos el desplazamiento.

Si la posición x es conocida como una función del tiempo, entonces !se puede encontrar la velocidad v y la aceleración a como funciones del tiempo.



Movimiento en una dimencion con aceleración constante.


Cálculo elemental:
∫(t^n)dt = [(t^n+1)/(n+1)] + C con C=constante

Recordar que:
a=dv/dt

-Como a es constante, podemos integrar a=dv/dt usando la regla anterior y obtener:
∫ dv=v = ∫a dt = a∫dt =at + V0

-Similarmente, como v=dx/dt podemos integrar de nuevo y obtener:
∫dx =x =∫ v dt =∫ (at + v0 )dt = a(1/2)(t^2) + v0 t + x0

Para aceleración constante en movimiento 1-D tenemos que:
X=X0 +V0t + a(1/2)(t^2)

V=V0+ at

a=constante


[align=center]Derivación de algunas fórmulas útiles:


V = V0 + at
Despejando t:

t=(V-V0) / a

Despejando t en X=X0 + V0t + a(1/2)(t^2)

X=X0 + V0[(V-V0) / a] + a (1/2) [(V-V0) / a]^2

Simplificando tenemos:

(V^2)-(V0^2)=2a(X-X0)

Recordar que:

V=V0 + at (Ec. 1)

X=X0 + V0t + a(1/2)(t^2) (Ec. 2)

Despejando a en la Ec. 1:

a=(V-V0) / t

Sustituyendo a y X0=0 en Ec. 2 :

X= V0t + [(V-V0) / t](1/2)(t^2)

= (1/2)(V+V0) t

derivando esto obtenemos Velocidad Promedio.
_
V=(1/2)(V+V0)


Entonces obtenemos las siguientes formulas:


Para aceleracion constante:
X=X0 +V0t + a(1/2)(t^2)

V=V0+ at

a=constante

De donde se puede obtener:

(V^2)-(V0^2)=2a(X-X0)
_
V=(1/2)(V+V0)


Problema 1.


Una particula tiene una velocidad V0=0 en el instante t0=0, V1=-1 en t1=1, V2=0 en t2=2, V3=2 en t3=3 y V4=4 en t4=4;
¿Cual es la Velocidad promedio de los primeros 4 segundos?
a)-2 m/s
b)4 m/s
c)1 m/s

Solucion:
Δx = 4 m
Δt = 4 s
_
V = (0+4)m / (0-4)s =4m / 4s = 1 m/s
La respuesta es c)


Problema 2.

¿Cual es la velocidad instantanea en el cuarto segundo (t=4)?
a)4 m/s
b)0 m/s
c) 1 m/s

Solucion:
V=dx/dt =pendiente de la grafica x vs t.
En t = 4 la línea es plana,pendiente = 0 y v = 0
La respuesta es b)


Problema 3.

Si se lanza verticalmente una pelota, ¿cuál de los siguientes incisos es verdadero acerca de su velocidad V y su aceleración a en el punto más alto de su trayectoria?

a) Ambas V = 0 y a = 0.

b) V = 0, pero a = 0.

c) V = 0, pero a = 0.

Solucion:

- Al subir la bola tiene velocidad positiva, mientras que al bajar tiene velocidad negativa. En la parte más alta la velocidad es momentáneamente cero.
- Como la velocidad está cambiando continuamente debe haber alguna aceleración:
De hecho la aceleración es causada por la gravedad (g = 9.81 m/s2).
La respuesta es c) v = 0, pero a ? 0.


[/align]

Espero y les sirva.