La matematica cuantica


Saltos cuánticos, efecto túnel, gatos cuánticos y muchas mas cosas cuánticas se encuentran con frecuencia en los relatos de ciencia ficción, sin embargo en la mayoría de los casos no se explica con claridad que significan por lo que el desafortunado lector puede llegar a pensar que estas frases son mencionadas sólo como ilustración (para dar algún color científico al relato) pero sin que revistan mayor importancia o, lo que es peor, que todo lo que incluya la palabra "cuántico" es de alguna manera mágico o imposible de entender. Es curioso que la mecánica cuántica sea tan poco conocida, porque de todas las teorías físicas ésta es, probablemente, la que ha resultado mas fructífera para ampliar nuestro conocimiento de la realidad. Esta poca difusión quizás se deba a que sus conclusiones parecen estar fuertemente alejadas del sentido común. Cierta vez, durante mis estudios de física, un amigo, estudiante de química para mas datos, comentaba: No comprendo como los físicos pueden entender la mecánica cuántica. Fácil - contesté yo- no la entienden. Probablemente exageré, debe haber gente que entiende la teoría, por supuesto, no me refiero a la matemática del tema (de por sí bastante retorcida) pero manejable con la práctica, me refiero a lo que en verdad significa. Sin embargo, hasta los físicos que contribuyeron a su desarrollo manifestaron mas de una vez su perplejidad ante las conclusiones a las que llegaban (el mismo Einstein se resistió a admitir su validez durante mucho tiempo: "No puedo creer que Dios juegue a los dados con el universo". La cuántica nos presenta una imagen del mundo totalmente inasible, muy diferente de los supuestos que manejamos en la vida diaria; posee su propia lógica interna llamada lógica cuántica, que no parece tener nada que ver con la que aplicamos comúnmente y de la que se pueden sacar conclusiones muy diferentes a aquellas a las que estamos acostumbrados. Además, determina un verdadero límite de los conocimientos a los que podemos aspirar. La mecánica cuántica es la teoría que trata de explicar el universo de lo muy pequeño, el universo de las partículas fundamentales que constituyen los pilares de la naturaleza.


Pero... ¿por que?

¿Por qué fue necesario postularla?. Para contestar esta pregunta será conveniente hacer un poco de historia (o algo mas que un poco). En la antigüedad se pensaba que todas las cosas existentes estaban formadas por cuatro elementos fundamentales: agua, aire, fuego y tierra. Nuestros ancestros creían que todo lo existente era combinación de estos elementos en diferentes proporciones, y pensaban que los vínculos y atracciones entre las distintas cosas tenían que ver con afinidades causadas por la mayor o menor proporción de estos elementos en la composición de los objetos. Era una teoría verdaderamente inteligente que hasta permitía interpretar las distintas interacciones de la materia. Por ejemplo, si los objetos sólidos permanecían pegados a la tierra (o volvían a ella después de ser arrojados hacia arriba) era por que estaban constituidos principalmente por tierra; el humo en cambio estaba formado básicamente de aire por lo que tendía a subir hacia los dominios de este elemento. Esta forma de ver el mundo permitía a los seres humanos ordenar en forma sencilla los fenómenos que los rodeaban (objetivo, en última instancia, de toda ciencia natural). Si, era una teoría inteligente y elegante, pero no contestaba todas las preguntas y con el tiempo fue abandonada.

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Demócrito

En el 430 A. de C. al filósofo griego Demócrito de Abdera se le ocurrió la idea de que la materia podría estar formada por pequeñas partículas indivisibles e indestructibles llamadas átomos (átomo significa indivisible). La solidez observada en algunos objetos era, entonces, solo aparente. Los átomos permanecían unidos por una especie de red que podía romperse y dejarlos libres, de este modo pasaban a formar parte de las cosas no sólidas (aire por ejemplo). La idea era revolucionaria, de hecho esta imagen tan sencilla (con modificaciones, claro) sobrevivió y en tiempos más modernos permitió, al producirse el advenimiento de la mecánica estadística y termodinámica, explicar las transferencias de energía (calor, trabajo...) así como los cambios de estado debidos a las variaciones de temperatura.

Durante mucho tiempo no hubo grandes modificaciones en el concepto que el hombre tenía acerca de la naturaleza de la materia, pero a fines del siglo XIX aparecieron indicios de que se avecinaba un gran cambio, una de cuyas primeras manifestaciones ocurrió en 1897. J. J. Thompson, físico inglés, se encontraba investigando el poco antes descubierto tubo de rayos catódicos. Este consiste en un tubo de vacío dentro del cual se puede generar un intenso campo eléctrico por medio de dos electrodos. En cuanto se enciende el campo puede observarse que del cátodo (electrodo positivo) se desprenden unos misteriosos rayos que surcan el tubo en dirección al ánodo (electrodo negativo). Al principio se pensó que estos rayos eran ondas electromagnéticas (de ahí el nombre) pero Thompson notó que sufrían desviaciones en presencia de campos eléctricos y magnéticos, por lo que supuso, correctamente, que estaban compuestos de partículas con carga negativa a las que llamó electrones. A causa de que estas partículas debían provenir necesariamente de los átomos del cátodo, el descubrimiento del electrón acabó con la antigua idea de la indivisibilidad atómica.
Los nuevos átomos parecían ser estructuras complejas y en absoluto indestructibles, sin embargo conservaron su nombre, quizás inadecuado pero bastante sonoro. Claro, era un hecho conocido que los átomos eran eléctricamente neutros, por lo tanto si en su interior existían partículas negativas como el electrón, debía existir también una cantidad igual de carga positiva, pero ¿dónde y cómo?. En 1898 Thompson postuló lo que hoy se conoce como el modelo de la "torta de ciruelas" (o plum cake model). Según él, los electrones existían dentro del átomo como ciruelas (negativas) incrustadas en una masa esférica de carga positiva. Como es lógico, este modelo teórico necesitaba verificación experimental, pero ¿cómo hacerlo si era imposible ver un átomo?.


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J.J. Thompson


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Ernest Rutherford


La respuesta a esta pregunta la encontraron, en 1909, Ernest Rutherford, Ernest Marsden y Hans Geiger, al realizar el experimento que los hizo famosos (al menos entre sus amigos) y que es conocido como experimento de la lamina de oro. Aquí permítanme extenderme un poco, ocurre que el experimento de Rutherford es buen ejemplo de uno de los métodos de investigación de la materia que ha resultado más fructífero. Es el llamado scattering y se utiliza aún hoy. La idea es sencilla: disparo proyectiles sobre lo que quiero investigar y observo su comportamiento; algunos pueden rebotar, otros atravesar el objeto y desviarse en algún ángulo, o eventualmente no desviarse en absoluto.

La forma en que se comporten los proyectiles luego del impacto me dará información sobre la naturaleza del objeto1. Parece un poco violento, pero ha mostrado ser muy eficaz y aclaremos que los proyectiles son, por lo general, partículas subatómicas. El experimento de Rutherford consistió en bombardear una hoja muy delgada de oro con partículas alfa2, colocando un detector detrás de la placa para captar aquellas partículas que lograran llegar al otro lado. Si los átomos respondían al modelo de la torta, no había muchas posibilidades de que una partícula alfa fuera significativamente desviada al tratar de atravesar la hoja ya que las cargas positivas y negativas estarían muy extendidas y la fuerza electromagnética total que sufriría sería débil. Sin embargo, resultó que si bien muchas de las partículas pasaban como si la hoja no existiera, algunas (un numero importante) eran desviadas en ángulos muy grandes (figura 1). Rutherford reflexionó, y llegó a la conclusión de que el modelo de Thompson no podía ser correcto y que sus resultados solo eran compatibles con un átomo donde la mayor parte de la masa estuviera concentrada en un pequeño núcleo. En 1911 dio a conocer el famoso modelo del sistema solar (único compatible con los resultados experimentales) donde los átomos estarían constituidos por un núcleo positivo muy masivo y electrones negativos girando a su alrededor como lo hacen los planetas en torno al Sol.

saltos
Figura 1: comparación entre los modelos.

Este descubrimiento era realmente auspicioso, mostraba una simetría entre lo grande y lo pequeño que hacia suponer que todo lo descubierto en la mecánica de lo macroscópico era aplicable sin problemas a lo microscópico. Note que esta es probablemente la imagen que tiene usted de un átomo, es decir, ¿por qué no terminar la historia aquí?. Ocurre que apareció un problema.

El colapso atómico

En 1864 James Clerk Maxwell publica sus famosas ecuaciones que constituyen la teoría clásica del electromagnetismo y son válidas también en nuestros días. Estas ecuaciones estaban fuertemente respaldadas por la experimentación (en otro artículo relato su influencia sobre la teoría de relatividad de Einstein). Una de las consecuencias de las ecuaciones de Maxwell consistía en que una partícula cargada que se moviera con aceleración debía emitir radiación electromagnética. ¿Que significa que una partícula se mueva con aceleración?. Aceleración es el cambio en la velocidad. La velocidad puede representarse como un vector, es decir, una flecha que posee una longitud (proporcional a la rapidez) y una dirección (hacia la que se mueve el objeto). Entonces el cambio en la velocidad puede producirse al variar la rapidez (lo que normalmente llamamos acelerar o frenar, ir más rápido o más lento respectivamente) que equivaldría a cambiar la longitud del vector o al variar la dirección del movimiento (cambiar la orientación del vector). Ahora bien, si un electrón gira alrededor del núcleo la rapidez puede no estar cambiando (tendría un movimiento circular uniforme) pero la dirección de la velocidad cambia constantemente. Es decir que un electrón debe estar necesariamente acelerado al recorrer su órbita.

Este tipo de aceleración donde no existe cambio en la rapidez pero sí en la dirección se llama centrípeta. Entonces, según las ecuaciones de Maxwell, los electrones debían estar emitiendo radiación electromagnética constantemente. Esto creaba una seria objeción al modelo de Rutherford. Lo que ocurre es que la radiación emitida porta consigo parte de la energía del emisor, si un electrón está constantemente emitiendo entonces debe estar perdiendo energía constantemente también, pero si pierde energía su órbita no puede mantenerse y en lugar de describir un circulo debería caer en espiral hacia el núcleo. Dicho de otro modo, si esto fuese cierto todos los átomos del universo colapsarían rápidamente. Como esto no ocurre (por suerte) algo debía estar fallando en algún lado.


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James Clerk Maxwell

En 1900 el físico alemán Max Planck se encontraba investigando la emisión de radiación por sólidos. Alguna vez habrá notado que si pone un alambre en el fuego este se calienta y al retirarlo sigue emitiendo calor (radiación electromagnética infrarroja). Es más, el alambre puede volverse rojo y aún blanco si la temperatura es lo suficientemente alta. Esto es, el cuerpo al calentarse puede emitir luz (radiación electromagnética visible). ¿De donde sale esta radiación?. Podemos explicar este fenómeno recurriendo, nuevamente, a lo que sabemos sobre las ecuaciones de Maxwell.


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Max Planck

Cuando la materia se calienta todos los átomos, moléculas y demás partículas que la constituyen se mueven desordenadamente y más rápido cuanto más alta es la temperatura; según lo que vimos antes, el movimiento acelerado de las partículas cercanas a la superficie del objeto debe producir emisión electromagnética (claro, al retirar el objeto del fuego, como las partículas siguen emitiendo energía, se desaceleran y comienza a enfriarse). En realidad todos los cuerpos, no importando su temperatura, emiten esta radiación, lo que ocurre es que deben estar suficientemente calientes para emitir luz visible. El problema al que estaba abocado Planck consistía en que si se aplicaban las ecuaciones de Maxwell a la materia, tal como se la concebía en ese entonces, resultaba que un cuerpo debía emitir la misma cantidad de radiación en todas las frecuencias.

Esto no podía ocurrir porque entonces la cantidad de energía emitida tendría que ser virtualmente infinita. Y, lo que podría ser peor, si un objeto caliente emitiera con la misma intensidad en todas las frecuencias entonces todos los objetos calientes se verían blancos, y esto no es lo que se observa en la vida real. Utilizando la teoría clásica los físicos Rayleigh y Jeans calcularon rigurosamente el espectro teórico de emisión térmica (espectro es un gráfico o formula que muestra la relación entre intensidad y frecuencia o longitud de onda de la radiación3) (figura 2). Pero, por desgracia, el espectro experimental que se obtenía al calentar diversos materiales no guardaba ninguna relación con este espectro teórico.
Si bien en ambos casos las intensidades para longitudes de onda largas coincidían bastante bien, las mediciones experimentales mostraban que la radiación emitida alcanzaba un pico para una dada longitud disminuyendo luego en longitudes más cortas, mientras que la teoría decía que ésta debía continuar creciendo indefinidamente al hacerse mas corta la longitud de onda (esta diferencia recibió el pintoresco nombre de "catástrofe ultravioleta". La solución que propuso Planck fue muy astuta. Primero encontró, por tanteo, la formula matemática que mejor reproducía el espectro experimental y luego dedujo las hipótesis que eran necesarias para obtener esa formula analíticamente. Encontró que la única hipótesis que necesitaba era que la energía en forma de radiación debía ser emitida o absorbida solo en pequeños paquetes que llamó quanta y no en forma continua como se pensaba hasta ese momento (como podrá suponer, de aquí proviene la palabra cuántica y a esto se le llamó cuantizar la energía).


túnel
Figura 2: los espectros de Rayleigh y Jeans, Planck y experimental.

También encontró cual debía ser la relación entre la energía del paquete y la frecuencia de la radiación, esta era: E = h n, donde E es la energía, n es la frecuencia y h un numero muy pequeño llamado (como corresponde) constante de Planck (h = 6.622 x 10-34 joule.seg). A pesar de la espectacular coincidencia que obtuvo Planck entre su espectro teórico y el experimental (figura 2), era claro que había sido obtenido con un truco matemático basado en una hipótesis conveniente, no existía nada hasta ese momento en la teoría que permitiera pensar que estas conclusiones podían ser verdaderas. En palabras del mismo Planck:

"Puedo describir el total procedimiento como un acto de desesperación, debido a que, por naturaleza soy un hombre pacífico y opuesto a aventuras dudosas. Sin embargo ya había luchado durante seis años (desde 1894) con el problema del equilibrio entre radiación y materia sin arribar a ningún resultado exitoso. Yo era consciente de que este problema era de fundamental importancia para la física, y conocía la formula que describía la distribución de energía... por lo tanto una interpretación teórica debía ser hallada a cualquier precio, no importando cuan alto pudiera ser."

f:http://orbita.starmedia.com/cienciayficcion/indexcua.html
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