Por Adrián Paenza

Una de las “verdades” que nos enseñan en la escuela o en el colegio es que “Menos por menos es más”.

Uno anota. Piensa. No entiende. Vuelve a pensar. Sigue sin entender. Mira al compañero de al lado. El tampoco entiende. Y de pronto se escucha a la maestra o el profesor, que otra vez nos taladran con: “Menos por menos es más”.

Uno tiene varias alternativas frente a esto. La más probable es que bloquee la mente, deje el cuerpo en el lugar, escriba como un autómata pero, en realidad, ya nada más de lo que se oiga o se lea en esa habitación va a convocar su atención, al menos por un rato.

–¿Qué dijo? –dice uno preocupado.

–Dijo algo así como que... menos por menos es más –contesta el compañero del banco de al lado.

–No entiendo –contesta el primero.

–Yo tampoco –dice el otro, que al menos pudo repetir lo que había escuchado.

Entonces uno levanta la vista y ve ejemplos escritos en el pizarrón:

a) (-3) x (-2) = 6

b) (-7) x (-3) = 21

c) (-15) x (-1) = 15

Y un poco más abajo, uno advierte con horror, que incluso se ¡aplica a fracciones!

a) (-1/2) x (-6) = 3

b) (-9) x (-2/3) = 6

c) (-2/5) x (-3/4) = 3/10

El pizarrón escupe números, símbolos, igualdades, letras que invitan a abandonar todo y a escapar. ¿De qué habla esta mujer? Pero uno no tiene más remedio que aceptar. En la escuela o el colegio acepta, porque en general no se enseña con espíritu crítico (con las excepciones correspondientes), pero aquí lo que cabe es preguntar inmediatamente: ¿por qué?

De todas formas, el tiempo pasa y uno termina aceptando el axioma (o lo que parece un axioma o verdad absoluta) de que menos por menos es más, porque:

a) no le queda más remedio,

b) no se contrapone con nada de lo que uno ya sabe,

c) uno nunca necesitó usarlo en la vida cotidiana,

d) cierto o falso, no me afecta y, por último,

e) no me interesa.

Mi idea es acá tratar de encontrar alguna explicación del porqué es cierto que “menos por menos” tiene que ser más.

Caso 1

Supongamos que usted está manejando su auto a 40 kilómetros por hora. Si yo le preguntara dónde va a estar dentro de 3 horas, usted contestará: “Voy a estar a 120 kilómetros de acá”. Este sería un ejemplo de que “más por más ES más”. O sea, aunque uno no escriba los símbolos (+) adelante, es como si estuviera diciendo:

(+40) x (+3) = (+120)

Uno representa los 40 kilómetros por hora, con (+40) y lo que “va a pasar” dentro de 3 horas, con (+3). Multiplica y tiene (+120), o sea, uno estará 120 kilómetros más adelante de donde está ahora.

En una figura se ve así:

Menos por menos es más... ¿Seguro? (por Paenza)


Caso 2

Si ahora, en lugar de ir a 40 kilómetros por hora hacia adelante, usted empezara a manejar su auto marcha atrás a la misma velocidad (o sea, a 40 kilómetros por hora pero hacia atrás), yo podría preguntarle: ¿dónde vas a estar dentro de 3 horas?

(-40) x (+3) = (-120)

Si uno quiere representar en símbolos que está yendo marcha atrás, lo que hace es escribir (-40). Por otro lado, como uno quiere saber, otra vez, “qué va a pasar dentro de 3 horas”, uno usa el número (+3) para representarlo. En una figura se ve así:

matematicas

Es decir, si uno maneja el auto hacia atrás a 40 kilómetros por hora, dentro de 3 horas va a estar 120 kilómetros atrás del lugar en donde está ahora. Esto corresponde –y espero que se entienda con el ejemplo– a que “menos por más ES menos”.

Caso 3

Ahora bien, lleguemos entonces a la última pregunta (que le pido que lea con cuidado y sobre todo que piense usted sola/o la respuesta).

“Si usted viene como recién, manejando su auto a 40 kilómetros marcha atrás y yo, en lugar de preguntarle dónde va a estar dentro de tres horas, le preguntara ¿dónde estabas hace tres horas?, usted, ¿qué contestaría? (por favor, más allá de responder, trate de convencerse de que me entendió la pregunta). Ahora sigo yo: la respuesta es que uno estaba ¡más adelante! Más aún: estaba 120 kilómetros más adelante de donde está ahora.

Si sigo usando los símbolos de más arriba, tengo que escribir:

(-40) x (-3) = 120

Es decir, escribo (-40) porque estoy yendo marcha atrás, y escribo (-3) porque pregunto qué pasó hace tres horas. Y, como usted advierte, uno hace tres horas estaba 120 kilómetros más adelante del punto en donde está ahora. Y eso explica –en este caso– por qué “menos por menos es más”.

En el dibujo es:

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Luego, en este caso, se ve que ¡menos por menos es más! *

* Esta forma de representar gráficamente que “menos por menos es más” me la sugirió el Dr. Baldomero Rubio Segovia, uno de mis grandes amigos de la vida y uno de los mejores matemáticos que dio España, ex decano de la Universidad Complutense de Madrid y actual profesor en esa casa de estudios.

Aclaración: El último 23 de enero publiqué una nota titulada “Preguntas que se le hacen a un matemático”. En ella incluí una lista de cuestionamientos muy ingeniosos cuyo autor es el Dr. Andrés Coda y no yo.

El problema es que en el artículo aparece sólo mi nombre y no el de él, como hubiera correspondido. La lista es una réplica de la que circula por Internet en forma anónima desde hace ya cinco años, pero gracias a dos lectores de este diario, Santiago Bustelo y Enrique Estévez, ahora puedo reparar la omisión, ciertamente involuntaria. Gracias a los tres: a Coda, Bustelo y Estévez. Internet es un lugar público y amplio. Democrático como pocos. Pero todo lo que allí figura, bueno, malo, atractivo o no, tiene un autor. Y no siempre el mérito recae sobre la persona que corresponde. En este caso, le corresponde a Andrés Coda, y no a mí.


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