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Función exponencial
La exponenciación es una operación definible en un álgebra sobre un cuerpo normada completa o álgebra de Banach (espacio vectorial normado completo que además es un anillo) que generaliza la función exponencial de los números reales.
Dado un elemento de un álgebra de Banach tenemos definidas una operación conmutativa de suma y otra de multiplicación, lo cual permite definir el anillo de polinomios sobre dicha álgebra. Además por tener una norma puede definirse para algunas series formales de potencias una noción de convergencia y por tanto de límite. En esas condiciones puede definirse la siguiente operación:

Nótese que:
• Si el cuerpo sobre la que está definida el álgebra no contiene a el límite anterior podría no converger, de hecho el álgebra no podría ser un álgebra de Banach.
• Si el álgebra no es un espacio vectorial normado no existe manera de establecer si el límite anterior converge.
Exponenciación de números reales
La exponenciación de números reales se realiza mediante la función exponencial. Dado un número real su exponenciación está siempre bien definida y tiene las siguientes propiedades:





Exponenciación de números complejos
La exponenciación de números complejos se define sin problemas mediante serie de potencias al igual que en el caso de números reales. Dado un número complejo separado en sus partes real e imaginaria z = a + bi su exponenciación resulta ser:

Las propiedades de la exponenciación de números complejos son similares a las de los números reales (aunque las propiedades que involucran orden no son extensibles a los complejos):


Exponenciación de números cuaterniónicos
La exponenciación de números cuaterniónicos es computacionalmente más complicada aunque está definida sin ambigüedad. Dado un cuaternión escrito en forma canónica q = a + bi + cj + dk su exponenciación resulta ser:

Al no ser conmutativo el producto de cuaterniones no resulta cierto que la exponenciación de una suma sea igual al producto de exponenciales de los sumandos. Por ejemplo si consideramos q1 = πi y q2 = πj tenemos:

Exponenciación de matrices
Las matrices cuadradas reales o complejas pueden ser interpretadas como expresiones en una base dada de una aplicación lineal este hecho pude ser aprovechado para computar más fácilmente la exponencial de una matriz. Si A representa la matriz de una cierta aplicación lineal entonces la exponenciación de una matriz puede obtenerse a partir de la forma canónica de Jordan Jf de dicho endomorfismo y la matriz cambio de base C entre la base original y la base de Jordan:

La exponencial de la forma canónica de Jordan es muy sencilla, dado un bloque de Jordan BJ, submatriz nxn, que realiza la aplicación lineal en uno de los subespacios invariantes asociados a la aplicación de Jordan se tiene que:

La exponenciación de matrices tiene estas otras propiedades similares a los números reales:
• Acotación de la norma:
• Matriz identidad:
• Inverso:
• Relación traza-determinante:
Una propiedad importante de la exponenciación de matrices es que en general, a diferencia de lo que sucede con números reales, la exponenciación de una suma de matrices no es el producto de exponenciales matrices:

Aunque cuando el conmutador se anula sí se satisface la igualdad:

Exponenciación de operadores
La exponenciación de operadores lineales definidos sobre un espacio vectorial normado es una generalización del caso de la exponenciación de matrices. Ya que el hecho de que el espacio vectorial sea normado implica que el espacio de operadores es un espacio de Banach.
La exponenciación de operadores puede ser usada para resolver la ecuación de Schrödinger

Una solución formal de esta ecuación se obtiene por exponenciación del operador hamiltoniano:


Funciones exponenciales para a = e (rojo), a = 10 (verde) y a = 1,7 (violeta).

La función exponencial (propiamente dicha) es una función matemática, que aparece además en muchas ecuaciones de la física. Esta función exponencial se caracteriza porque los valores de la derivada de dicha función son iguales al valor de la propia función (siendo la función exponencial la única función con esta propiedad). Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como:

Donde e es la base de los logaritmos naturales.
En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma

Siendo números reales. Se observa en los gráficos que si a > 1 la curva será creciente.



Propiedades

Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Se llama (función) exponencial la función definida sobre los reales por x →ex.
• La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
• La exponencial transforma una suma en una constante de la forma intrínseca del vértice de las siguientes ecuaciones:
• Relación adición-multiplicación:


• Sus límites en son
• Inversa del logaritmo:
• La tangente en x = 1, T1, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T0, pasa por el punto (-1, 0).