El origen de los Laberintos

El origen de los problemas sobre laberintos se refiere a tiempos antiquísimos y se pierde en las tinieblas de leyendas legendarias. Los antiguos y quizás algunos en nuestros tiempos, consideraban que los problemas sobre laberintos, en general, eran irresolubles. La persona que entraba en un laberinto no podía ya salir de él, de no ser que sucediese un milagro o que una casualidad lo ayudase.
Leyendo este capitulo veremos, por el contrario, que laberintos sin salida no existen, que orientarse y encontrar salida del laberinto mis enredado no supone gran esfuerzo. Anticipamos la resolución de estos problemas con una nota histórica sobre los laberintos.
La palabra laberinto es de procedencia griega y significa pasos subterráneos. Efectivamente, existen multitudes de cuevas naturales subterráneas con una cantidad tan enorme de corredores, rincones y callejones sin salida, cruzados en todas las direcciones, que no es difícil perderse en ellos, extraviarse y, al no encontrar la salida, morir de hambre y sed.
Ejemplos de laberintos de esta clase, pero ya artificiales, pueden ser muchas ruinas de ciertos yacimientos, o las llamadas "catacumbas".
Lo más probable es que estas cuevas subterráneas excitaron, ya en los arquitectos antiguos, el deseo de edificar algo semejante a ellas. Por eso, en algunas obras de escritores antiguos (por ejemplo, egipcios) encontramos referencias a la existencia de laberintos artificiales. Por último, la palabra "laberinto", precisamente con mayor frecuencia se refería a edificios artificiales sumamente complicados, con multitud de paseos o galerías, infinidad de ramificaciones, cruces y pasos sin salida, que obligaban el que entrase a errar inútilmente es busca de una salida. Sobre la construcción de estos laberintos se componían leyendas.
La más conocida es la leyenda sobre el laberinto, construido el mítico Dédalo en la isla de Creta para el mítico rey Minos. En el centro del laberinto vivía el monstruo Minotauro y nadie que entrase en ese laberinto podía salir de él; al fin y al cabo era víctima del monstruo. Siete mozos y siete mozas daban de tributo cada año los atenienses al monstruo, que los devoraba sin piedad. Por fin Teseo, no sólo mató al Minotauro, sino que consiguió salir del laberinto, sin extraviarse en él, orientándose por el hilo de un ovillo que le dio la princesa Ariadna. Desde entonces la expresión "el hilo de Ariadna" posee un significado simbólico como medio que permite salir de las situaciones más difíciles.
Los laberintos tienen diversidad de formas y composición. Hasta nuestros días se han conservado galerías intrincadas y complejas, caminos por cuevas, laberintos arquitectónicos sobre sepulturas, planes sinuosos en las paredes o pisos, marcados con mármol de color o con tejas, senderos tortuosos en el terreno y sinuosidades en el relieve de las rocas.
Con dibujos de laberintos se adornaban las vestiduras de los emperadores cristianos hasta el siglo IX y restos de esta clase de adornos se conservan hasta hoy día en lasiglesias y catedrales de aquellos tiempos. Es posible que estos adornos simbolizasen la complejidad del camino de la vida y de los extravíos del hombre. Sobre todo se practicaban mucho los laberintos en la primera mitad del siglo XII. En la Francia de aquellos tiempos, los laberintos se construían de piedra o se representaban en el piso de iglesias y catedrales. Con mayor frecuencia eran llamados "camino a Jerusalén" y simbolizaban el difícil camino terrenal hacia los "lugares santos", recompensado con la felicidad celestial, por eso, el centro de los laberintos con frecuencia se denominaba "cielo".
En Inglaterra no se encuentran laberintos en los suelos de las iglesias, pero sí había muchos en praderas hechos con césped. Estos laberintos llevaban distintos nombres: "Ciudad de Troya", "Huella del pastor", etc. Laberintos como estos menciona Shakespeare en sus obras “Sueño de una noche de verano" y "La Tormenta".
Todos estos laberintos poseen más bien interés histórico que matemático. Desenredarlos no es difícil. Con el transcurso del tiempo estas figuras perdieron su significación simbólica y poco a poco se convirtieron en objeto de distracción. Los laberintos pasan a jardines y por donde, mediante sendas sinuosas que se cruzan, separan, ramifican o terminan inesperadamente, se obtienen figuras muy enredadas, en las que efectivamente, no es fácil encontrar el camino del borde al centro y en las que no es difícil perderse.
La nota histórica dada nos demuestra cuán viejo es el tema sobre los laberintos y a cuántas personas interesó él en sus tiempos. Los hombres se esmeraban en inventar los laberintos más complicados, "sin salida". ¿Pero acaso es posible construir realmente e incluso solamente dibujar, un laberinto sin salida, es decir, en el hecho de encontrar el camino hacia el centro y el camino de regreso hacia la salida fuera exclusivamente cuestión de suerte, casualidad o fortuna y no producto de un cálculo matemático determinado y correcto?
La resolución de estos problemas pertenece a tiempos relativamente posteriores y su comienzo fue puesto por el famoso Euler. Los resultados de las investigaciones condujeron a la deducción de que no hay laberintos sin salida.
La solución para cada laberinto puede ser hallada y además mediante procedimientos relativamente fáciles. A continuación, un lector atento se convencerá por su cuenta de lo dicho.

Planteamiento geométrico del problema sobre los laberintos.
Los paseos, senderos, corredores, galerías, pozos, etc. de los laberintos se extienden doblándose hacia un lado u otro; se cruzan y separan en todas las direcciones posibles; se ramifican, cierran, etc. Pero nosotros, para que sea más fácil su examen, vamos a marcar todos los cruces mediante simples puntos y considerar todos los pasos, senderos, corredores, como líneas, lo mismo sea rectas, trazadas en planos o no, ya que estas líneas unen nuestros puntos (cruces).
Estos puntos y líneas en conjunto componen una red geométrica o laberinto si cualquier punto, moviéndose por las líneas de esta red, puede llegar a cualquier otro punto sin apartarse de las líneas de nuestro sistema (o red).
Aceptando lo dicho, demostraremos que un punto semejante en movimiento (que representa, por ejemplo, a una persona) puede sucesivamente circunscribir todas las líneas de la red sin ninguna clase de saltos e interrupciones y, al mismo tiempo, pasar por cada línea de esta red exactamente dos veces. Claro está que dicho punto también pasará por el punto que representa la salida del laberinto.
La posibilidad de hacer este recorrido se deduce de que la figura, obtenida de una red mediante la duplicación de todas las líneas, se puede circunscribir de una plumada (véalo el problema 171). No obstante, esto está relacionado con dificultades complementarias, pues el que vaga por el laberinto no posee su plano y no solamente el territorio que se encuentra cerca de él. Demostraremos a continuación que incluso con estas limitaciones el recorrido del laberinto puede efectuarse.
Pero antes de proceder a la demostración de lo dicho, les proponemos una distracción matemática bastante interesante, que servirá de ayuda en la aclaración de todo lo expuesto y que será sumamente útil para asimilar la propia demostración. En una hoja de papel blanco marque arbitrariamente varios puntos y únales de dos en dos, tantas veces cuantas desee, mediante una cantidad indeterminada de líneas rectas o curvas, pero de tal forma que ni un sólo punto de este sistema quede absolutamente aislado. Así, pues, obtendrá lo que antes hemos denominado red geométrica.

El origen de los Laberintos

Laberinto formado de piedras en el piso del templo de San Quintín en Francia. La entrada es por abajo por la línea vertical.

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Laberinto en la catedral de Chartres, Francia


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Laberinto "de hierbas" (de 33 a 34 m de diámetro) que existió hasta el año 1797 en Inglaterra, en el condado de Essex

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Laberinto italiano del siglo XVI


También puede dibujar, por ejemplo, la red do tranvías o autobuses de su ciudad, la red ferroviaria del país, de los ríos y canales, etc., si lo desea, puede añadir las líneas de las fronteras con otros estados. De nuevo obtendrá una red geométrica o laberinto (para comenzar es mejor construir una red no muy complicada).
A continuación, en un trozo de papel no transparente o cartón practique un agujero pequeño, por el cual se observe sólo una pequeña parte de la red o laberinto compuesta por usted. Después dirija el ocular (agujero para el ojo) de su "pantalla" a cualquier punto de intersección en su red, al que denominaremos A, o plantéese la siguiente tarea: pasar con el ocular, ininterrumpidamente, por todas las líneas de la red dos veces (hacia adelante y hacia atrás) y regresar al punto A. Para recordar las líneas ya pasadas con el ocular, en cada una de ellas trace una rayita transversal a la entrada en el cruce y otra a la salida de ella. De tal forma, los dos extremos de cada trayecto, de un cruce a otro (de punto a punto) después de cumplir la tarea (pasar por cada línea de la red dos veces) deberán estar marcados con dos rayitas transversales, pero no más.
Si es que el caso se refiere a un laberinto real, a las galerías de una mina o a las ramificaciones de una cueva, etc., entonces, el que vaga por ellas, en lugar de rayitas en el papel tendrá que hacer otra clase de señales para poder orientarse; por ejemplo, colocar una piedra a la entrada y salida de cada cruce, o sea, en la galería que abandona y en la que entra.
Pero, volvamos a la demostración de la afirmación antes hecha que cualquier laberinto tiene solución, que no hay laberintos “sin salida”. En otras palabras, solucionemos un problema común para todos los laberintos.

Resolución del problema sobre los laberintos

Regla I. Partimos del punto inicial (primer cruce) y caminamos por cualquier camino que sea, hasta llegar a un tope (sendero sin salida) o a un nuevo cruce. Entonces:
1) Si llegamos a un tope tendremos que regresar al punto inicial y este camino recorrido deberá ser tachado, puesto que ya lo hemos transitado dos veces (ida y vuelta);
2) Si llegamos a un nuevo cruce, seguimos la marcha por un camino nuevo cualquiera, no olvidando cada vez marcar con una rayita transversal el camino por el cual llegamos y el camino por el cual continuamos el recorrido.

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caminando en dirección marcada por la flecha f, llegamos a un cruce de caminos y tomamos la dirección que indica la flecha g, pero uno y otro camino lo marcamos con una rayita (en todos los dibujos con crucecitas están marcadas las rayitas, puestas durante el último paso por dicho cruce.)
Cumplimos esta primera regla cada vez que llegamos a un cruce en el que aún no hemos estado. Pero, al fin y el cabo, tendremos que dar con un cruce en el que ya estuvimos antes y, en este caso, pueden surgir dos variantes: al punto conocido llegamos por un camino por el que ya antes hemos pasado una vez, o bien por un camino nuevo no marcado con la rayita. Aquí debemos obedecer a las reglas siguientes:

Regla II. Cuando llegamos a un cruce ya conocido por nosotros, por un camino nuevo, debemos inmediatamente regresar, previamente marcando este camino con dos rayitas (llegada y regreso)

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Regla III. Si llegamos al cruce ya conocido por un camino por el que ya hemos pasado antes una vez, entonces marcamos este camino con una segunda rayita y continuamos la marcha por uno de los caminos que si no hemos transitado, si es que tal camino existe.

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Pero si tal camino no existe, entonces, elegimos otro por el cual hemos pasado una sola vez

como resolver


Obedeciendo exactamente las reglas indicadas, pasaremos dos veces por todas las líneas de la red y regresaremos al punto de partida. Esto se puede demostrar previamente hechas y comprendidas por nosotros las siguientes observaciones:
1) Saliendo del punto de partida, digamos de A, ponemos la señal inicial (una rayita transversal).
2) El paso por un cruce, conforme a una de las tres reglas anteriores, cada vez añade dos señales (dos rayitas transversales) a las líneas, que se unen en este punto.
3) En cualquier momento dado, durante el paso por el laberinto, antes de llegar a cualquier cruce o después de partir de él, el cruce inicial (punto de partida) tiene una cantidad de señales (rayitas) impar, mientras que cualquier otro cruce tiene una cantidad de señales par.
4) En cualquier momento, antes o después de pasar por un cruce, el cruce inicial tiene sólo un camino, marcado con una sola raya. Cualquier otro cruce, de los ya visitados por nosotros, puede tener sólo dos caminos, marcados con una sola raya.
5) Después de recorrer el laberinto por completo, en todos loe cruces, todos los caminos deben tener dos rayas. Esta última observación, por cierto, ya incluida directamente en las condiciones de la tarea planteada.
Teniendo en cuenta todo le expuesto, podemos convencernos con facilidad de que si alguien parte del cruce inicial, digamos A, y llega a cualquier otro cruce M, entonces no encontrará obstáculos tan difíciles que le impidan continuar el camino. En efecto, a este lugar llega o por un camino nuevo o por un camino por el que antes había pasado una vez. En el primer caso se debe aplicar la primera o segunda reglas, dadas anteriormente. En el segundo caso, la llegada el cruce M y su parada en él daría un número impar de señales alrededor de este cruce, por consiguiente, a falta de un camino nuevo, el recorrido debe continuarse por otro camino, por el que ya se ha pasado antes una vez y, entonces, alrededor de dicho cruce el número de señales será par (si no es el inicial) conforme a la observación 3.
Supongamos, por fin, que nos vemos obligados a terminar nuestro camino y regresar al cruce Inicial A.
Designamos por ZA esta última línea, o sea, la línea que conduce del cruce Z al cruce inicial A. Esto camino forzosamente tiene que ser el mismo por el que por primera vez partimos de A, de lo contrario el recorrido del laberinto podría ser prolongado. Y si ahora nos vemos obligados a regresar por el mismo camino al punto inicial, esto significa que desde el cruce Z ya no hay ningún otro camino que no haya sido pasado dos veces. De lo contrario esto significaría que se nos olvidó cumplir la primera parte de la regla III, más aún, esto significaría que en Z hay cierto camino YZ transitado sólo una vez, conforme a la observación 4.
Es decir, durante el último regreso a A, todos los caminos a Z deben estar marcados con dos rayas. Exactamente lo mismo so puede demostrar con referencia el cruce anterior Y y con respecto a todos los restantes. En otras palabras, nuestra afirmación queda demostrada y el problema resuelto.

Un laberinto rompecabezas

Un laberinto no construido, sino simplemente dibujado con una solución simplificada ya preparada: todos los topes (senderos sin salida) en él están rayados y los caminos principales, marcados con líneas rayadas o punteadas.

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Por la resolución dada en el dibujo se ve que de A primero se debe ira C y al final de F a B.
Pero en cuanto llegamos a C, ante nosotros aparecen tres caminos, indicados con los números 1, 2 y 3, que conducen a D. Ocurre exactamente lo mismo cuando llegamos a E, donde también aparecen tres caminos, indicados por los números 4, 5 y d, que conducen a F. Tenemos también el camino de C a E, marcado con puntos, otro que conduce de D a F, marcado con puntos y rayas y un paso do D a B, marcado con unas estrellitas. Podemos, por consiguiente, representar la situación creada mediante un pequeño y simple diagrama.

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En él todos los caminos corresponden a los caminos del laberinto circular, pero así representados son más accesibles a la vista. Entonces resulta que, con las condiciones dadas, y también con la condición de no pasar don veces por un mismo camino, que en nuestro laberinto puede ser cumplida, tenemos 640 caminos (rutas) de A a B, lo que para un laberinto rompecabezas no es tanto. ¿Verdad?

Haber si sois capaces de resolver estos

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4 comentarios - El origen de los Laberintos

@tinchotric
exelente voy a ver si me salen
@eseval +1
Che ... nadie se dio cuenta que las imágenes en este post son "curiosas" ¬¬