ACTIVIDAD 1

Descomponer números
*Uno de los mayores entretenimientos matemáticos es el de descomponer un cierto número de varias formas.
Por ejemplo, ¿sabías que el número 1729 es el primer número que se descompone como suma de dos cubos perfectos, de dos maneras distintas?.
Efectivamente, puedes comprobar que 1729=103+93=123+13

*Prueba tu habilidad con los números:
a)¿Sabrías escribir el número 10 de dos formas distintas empleando cuatro nueves?
b)¿Sabrías escribir el número 100 de cuatro modos distintos empleando cinco cifras iguales?.
Ejemplo: 100=111-11.
c)¿Puedes escribir el número 30 con tres treses?. ¿Y con tres seises?. ¿Y con tres cincos?.


ACTIVIDAD 2

Problema de las edades
Dos amigos mantienen esta conversación:
-¿Cuántos años tienen ya tus tres hijos?-pregunta el primero.
-Seguro que lo aciertas -contesta el segundo-. El producto del número de años que tienen es 36 y su suma es igual al número de tu casa.
-Me falta un dato -dice el primero transcurrido un instante.
-Ah, ¡es verdad! -reconoce el segundo-. La mayor toca el piano.

¿Sabrías decir las edades de los tres hijos?.


ACTIVIDAD 3

Jugando con números
Te planteo este sencillo juego.
-Escribe un número de tres cifras distintas.(Por ejemplo 136.)
-Escríbelo en orden inverso (631).
-Resta del mayor el menor (631-136=495)
-Si tu me dices la cifra de las unidades, yo adivino el valor de la resta.

¿Crees que es posible?.


ACTIVIDAD 4

Seguimos jugando con números
-Piensa un número de tres cifras y escríbelo.
-Escribe el mismo número a continuación del anterior. Habrás obtenido un número de seis cifras.
-Comprueba si ese número es divisible entre 7 haciendo la operación.
-Averigua si el nuevo cociente es divisible entre 11. Divídelo.
-Divide el nuevo cociente entre 13.
-¿Has obtenido como cociente el número pensado?


ACTIVIDAD 5

La herencia del Jeque
Un Jeque árabe tenía tres hijos y les dejó al morir 17 camellos, con el mandato expreso de que habían de repartirlos sin matar ningún camello, y de la manera siguiente: El mayor recibirá la mitad; el segundo, la tercera parte, y el menor, la novena parte.
Los hijos del Jeque, al querer hacer el reparto,se dieron cuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había mas remedio que descuartizar algunos camellos. Acudieron al cadí, y éste les pidió un día para pensarlo. Pasado ese día, acudió el cadí con un camello suyo y lo unió al grupo de los 17 camellos, y propuso que se procediera a cumplir la voluntad del Jeque sobre esta herencia aumentada. Así, el mayor tomó 9 camellos; el segundo, 6, y el menor, 2. Al terminar el reparto el cadí volvió a llevarse su camello y dejó a los tres hermanos contentos.

Explica la solución dada por el cadí.


ACTIVIDAD 6

Números consecutivos
a)¿Es posible generar todos los números entre 1 y 30, por suma de números consecutivos?. Por ejemplo:
6=1+2+3
9=4+5
23=11+12

b)¿Cuáles son los números que pueden generarse por suma de 2 consecutivos?
c)¿Cuáles pueden generarse por suma de 3 consecutivos?
d)¿Es posible generar un número entre 1 y 30 por adición de 4 consecutivos?
e)¿Es posible predecir qué números entre 1 y 100 pueden generarse sumando números consecutivos?


ACTIVIDAD 7

Los sacos de monedas
En un banco hay 7 sacos de monedas de curso legal, de un mismo valor, cada una de las cuales pesa 10 gramos. Un empleado, por error, ha dejado junto a estos sacos otro saco de monedas falsas pero idénticas en todo menos en el peso, ya que pesan un gramo menos que las auténticas. ¿Cómo se podrá averiguar cuál es el saco de las monedas falsas haciendo una sola pesada?.


ACTIVIDAD 8

Más monedas
Aquí tenemos otro problema de monedas que aunque pueda parecer igual que el anterior no lo es, si bien tiene cierta similitud.
Por descuido, un coleccionista de monedas ha mezclado una moneda falsa con otras ocho monedas de curso legal. Las nueve monedas son idénticas, salvo en el detalle de que la falsa pesa unos centigramos menos que las otras. El coleccionista dispone de una balanza muy sensible y se prepara para pesar las monedas y así poder apartar la falsa, sin emplear pesas. ¿Cuál será el número mínimo de pesadas que deberá hacer para conseguir su propósito?.


ACTIVIDAD 10

El matemático ignorante
En las aulas de cierta facultad de Matemáticas, nos podemos encontrar a un extraño personaje. Cierto día, me confesó que tan sólo sabía multiplicar y dividir por 2.
- A pesar de todo, me dijo, puedo multiplicar rápidamente números de dos cifras.

Le propuse que multiplicara 75 por 38.
Tomó una hoja de papel y escribió a la izquierda 75 y a la derecha 38. Luego inició sus cálculos:

- La mitad de 75 es 37, ¿no es así?.
- No -le dije- es 37'5.
- De acuerdo, pero no sé trabajar con decimales, así que no los pongo.

Escribió 37 y, repitiendo el proceso, dividió por dos y obtuvo, a pesar de mis protestas, 18, 9, 4, 2 y finalmente 1.
Después multiplicó 38 por dos. El resultado, 76, lo escribió en la fila inferior. Volvió a multiplicar por dos y obtuvo 152, 304, 608, 1216 y 2432.
Al final tenía escrito,
75 38
37 76
18 152
9 304
4 608
2 1216
1 2432

Me dijo que los números pares de la columna de la izquierda no servían de nada, así que los tachó (junto con el número que tenían a su derecha) con lo que quedó

75 38
37 76
9 304
1 2432

Sumando los números de la columna de la derecha obtuvo: 38+76+304+2432=2850, que es el resultado correcto. Probé con otros números y también funcionaba el método.
¿Sabrías dar una explicación matemática?.

ACTIVIDAD 11

Jugando con doses
¿Puedes escribir todos los números del cero al diez utilizando cinco doses, y los signos +, -, x, /, además del paréntesis?.
Puedes empezar así 0= 2 - 2/2 - 2/2

Algunos ejercicios matematicos medios complejos

ACTIVIDAD 12

El problema de los puentes de Königsberg
En el siglo XVIII había en la ciudad de Königsberg (situada en la antigua Prusia, hoy Kaliningrado, perteneciente a Rusia) siete puentes que conectaban cada una de las orillas del río Pregel con dos islas interiores. Los ciudadanos estaban muy orgullosos de sus puentes y bromeaban sobre la posibilidad de recorrerlos todos pasando una sola vez por cada uno de ellos.
¿És esto posible?.

solucion

ACTIVIDAD 13

Una adivinanza

Augustus de Morgan (¿-1871) fue un matemático inglés nacido en la India. Acostumbraba a recrearse en el planteamiento de adivinanzas y problemas ingeniosos. Este personaje nacido en el siglo XIX, planteaba esta adivinanza sobre su edad: "El año x2 tenía x años. ¿En qué año nací?".


ACTIVIDAD 14

El tercer milenio

En el siglo VII el Papa encargó al monje benedictino Dionís que fijase la fecha de nacimiento de Cristo. Este fraile calculó que Jesucristo había nacido el año 754 después de la fundación de Roma. Tomó como fecha de inicio el día que fue circuncidado y lo llamó 1 de enero del año 1. No dijo del año 0 porque esta cifra no se utilizaba en occidente en aquella época.

¿El tercer milenio comienza el 1 de enero del 2000?.


ACTIVIDAD 15

Adivina la edad

Puedes adivinar la edad de una persona y el mes en que nació si haces que piense en el número del mes de nacimiento (enero=1, febrero=2, ...) y después le pides que lo multiplique mentalmente por 2 y le sume 5 al resultado. Después debe multiplicar el resultado que ha obtenido por 50 y sumarle su edad. Haz que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente, réstale 250. El número obtenido tendrá 3 o 4 cifras. Las dos cifras de la derecha son las de la edad, y las de la izquierda son el número del mes de nacimiento. ¿Sabrías decir porqué es así?.


ACTIVIDAD 16

Criptograma

Intenta determinar el valor de cada una de las letras:
D O S
D O S
D O S
+ D O S
----------
O C H O


ACTIVIDAD 17

Cuadrado

En un cuadrado debemos colocar los números del 1 al 9 sin repetirse ninguno (uno en cada cuadro). Disponemos de las siguientes pistas:

- Los vecinos del 1 suman 15

- Los vecinos del 2 suman 6

- Los vecinos del 4 suman 23

- Los vecinos del 5 suman 16

- Sobre los vecinos del 6,7,8, y 9 no tenemos datos.

Un número es vecino de otro solo si la casilla en la que este está comparte alguno de sus lados con el otro.

¿ Qué número ocupará la casilla central?

matematicas

SOLUCIONES:

SOLUCIONES ACTIVIDAD 1

*Prueba tu habilidad con los números:
a)¿Sabrías escribir el número 10 de dos formas distintas empleando cuatro nueves?
10=(9x9+9)/9
10=(99-9)/9

b)¿Sabrías escribir el número 100 de cuatro modos distintos empleando cinco cifras iguales?.
Ejemplo: 100=111-11.

100=33x3+(3/3)
100=[(44-4)/4]raíz cuadrada de 4

c)¿Puedes escribir el número 30 con tres treses?. ¿Y con tres seises?. ¿Y con tres cincos?.
30=33-3
30=6x6-6
30=5x5+5


SOLUCIÓN ACTIVIDAD 2

En primer lugar descomponemos el número 36 como producto de tres números naturales y calculamos la suma de los tres factores:

36= 1.1.36 (suma 38) 36= 1.2.18 (suma 21)
36= 1.3.12 (suma 16) 36= 1.4.9 (suma 14)
36= 1.6.6 (suma 13) 36= 2.2.9 (suma 13)
36= 2.3.6 (suma 11) 36= 3.3.4 (suma 10)

Naturalmente, nuestro amigo conoce el número de su casa. Entonces, ¿porqué dice que le falta un dato?. Evidentemente, el número de su casa es el 13 que es la única suma repetida en la serie anterior y en consecuencia necesita conocer algo mas sobre los hijos de su amigo. Quizás desconcierte un poco la respuesta de su amigo pero tiene su explicación. Si observamos los dos productos 1.6.6 y 2.2.9 veremos que en ambos aparecen dos números repetidos (hermanos gemelos o mellizos),en este momento comprendemos que la respuesta "La mayor toca el piano" nos conduce a la solución "2,2,9" ya que la otra alternativa es imposible.


SOLUCIÓN ACTIVIDAD 3

Vamos a utilizar un poco de cálculo algebraico. Supongamos que el número de tres cifras es "abc".Expresamos este número como potencias de 10: a.102+b.10+c. En orden inverso seria cba= c.102+b.10+a.
Los restamos (suponiendo a>c):
(a.102+b.10+c)- (c.102+b.10+a)=(a-c).102+(c-a)=
(a-c)(100-1)=(a-c).99.
Es decir, siempre se obtiene un múltiplo de 99. Analicemos estos múltiplos:
99.1=99=099
99.2=198
99.3=297
99.4=396
.
.
Observamos que todos tienen propiedades comunes:
*la cifra de las decenas siempre es un nueve
*la cifra de las unidades y las centenas suman nueve
Es evidente que nos basta con conocer la cifra de las unidades (o centenas) para "adivinar" el número resultante.


SOLUCIÓN ACTIVIDAD 4

Utilizamos de nuevo el cálculo algebraico. Supongamos que el número de tres cifras es "abc". Escrito como potencias de 10: a.102+b.10+c. Escribimos el mismo número a continuación: "abcabc".
Es decir, abcabc= a.105+b.104+c.103+a.102+b.10+c=
a(105+102)+b(104+10)+c(103+1)=
=a.102(103+1)+b.10(103+1)+c(103+1)=
(a.102+b.10+c).1001
El resultado siempre es el número inicial multiplicado por 1001.
Descomponiendo el número 1001 en factores primos se obtiene que 1001=7.11.13 con lo cual queda aclarado el resultado de este juego.


SOLUCIÓN ACTIVIDAD 5

La herencia del Jeque
En primer lugar hagamos unas cuantas reflexiones sobre el problema:
* Si sumamos una mitad, una tercera parte y una novena parte, no se obtiene el total de los 17 camellos (debería ser 17/17)
Efectivamente:
1/2 + 1/3 + 1/9 = (9+6+2)/18 = 17/18
* El número 17 (primo) no es múltiplo común de 2, 3 y 9.
* Se debe hacer el reparto sin matar ningún camello.
Evidentemente, el problema no tiene solución tal y como se presenta. Sin embargo, el cadí intentó dar una solución lo mas aproximada posible y que dejase contentos a los hijos. Se dio cuenta que añadiendo otro camello se obtenía un número (18) múltiplo de 2, 3 y 9 que permitía hacer el reparto exacto y además le permitía recuperar el camello añadido (la suma de las tres fracciones era 17/18, de 18 camellos se repartían 17).


SOLUCIONES ACTIVIDAD 6

Números consecutivos
a)¿Es posible generar todos los números entre 1 y 30, por suma de números consecutivos?.


3=1+2 17=8+9
4 18=5+6+7=3+4+5+6
5=2+3 19=9+10
6=1+2+3 20=2+3+4+5+6
7=3+4 21=10+11=6+7+8=1+2+3+4+5+6
8 22=4+5+6+7
9=4+5=2+3+4 23=11+12
10=1+2+3+4 24=7+8+9
11=5+6 25=12+13=3+4+5+6+7
12=3+4+5 26=5+6+7+8
13=6+7 27=13+14=2+3+4+5+6+7=8+9+10
14=2+3+4+5 28=1+2+3+4+5+6+7
15=7+8=4+5+6=1+2+3+4+5 29=14+15
16 30=6+7+8+9=4+5+6+7+8=9+10+11


b)¿Cuáles son los números que pueden generarse por suma de 2 consecutivos?
*Los números primos solo pueden generarse por suma de dos consecutivos.(3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29).
*Los múltiplos de 3 o de 5 que no sean pares (9, 15, 21, 25, 27).

c)¿Cuáles pueden generarse por suma de 3 consecutivos?
*Los múltiplos de 3 (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

d)¿Es posible generar un número entre 1 y 30 por adición de 4 consecutivos?
*10, 14, 18, 22, 26, 30.

e)¿Es posible predecir qué números entre 1 y 100 pueden generarse sumando números consecutivos?
Teniendo en cuenta lo anterior y algunas propiedades mas:
*Los números potencias de 2 no se pueden descomponer.
*Los números 15, 20 ,25 ,30 ,... se pueden descomponer como suma de cinco consecutivos.


SOLUCIÓN ACTIVIDAD 7

Se toma una moneda del primer saco, dos monedas del segundo, tres del tercero, y así sucesivamente hasta coger ocho monedas del octavo saco. De esta forma tendremos 36 monedas, las cuales pesaremos. si todas ellas fueran auténticas pesarían 360 gramos, pero como hemos tomado alguna moneda del saco de las falsas el peso total será menor, y esto nos permitirá averiguar cuál es le saco que contiene las monedas falsas. Si falta un gramo para los 360, el saco de las falsas es aquel del que cogimos una moneda, si faltan dos gramos es el saco del que tomamos dos, si faltan tres es el tercero, etc.


SOLUCIÓN ACTIVIDAD 8

Basta con que haga dos pesadas. En la primera pesa seis monedas, poniendo tres en cada platillo, pudiendo darse dos casos:

1) Si pesan igual las de un lado como las del otro, la falsa está entre las tres no pesadas, y en tal caso se aparta una de ellas y pesando las otras dos se averigua cuál es la moneda falsa.

2) En el supuesto de que en la primera pesada se inclinara la balanza hacia un lado indicaría que la moneda falsa estaba en el lado contrario y en este caso en la segunda pesada se hace la operación de pesar dos monedas del grupo en que sabemos se encuentra la falsa.

SOLUCIÓN ACTIVIDAD 10

En preparación.


SOLUCIÓN ACTIVIDAD 11


1=2+2-2-2/2 6=2+2+2+2-2
2=2+2+2-2-2 7=(22/2)-2-2
3=2+2-2+2/2 8=2x2x2+2-2
4=2x2x2-2-2 9=2x2x2+2/2
5=2+2+2-2/2 10=2+2+2+2+2

SOLUCIÓN ACTIVIDAD 12

El tema se hizo muy popular y llegó a oídos de Euler, matemático suizo nacido en Basilea en 1707, quien demostró que era imposible recorrer los siete puentes sin pasar dos veces por uno de ellos.
Para comprobarlo, identificó cada una de las orillas con un punto e hizo lo mismo con cada una de las islas, convirtió los puentes en líneas que unían los puntos; de esta forma obtuvo una red de puntos y líneas.
mateEn una red de este tipo, se denominan vértices pares a aquellos a los que llega un número par de líneas, e impares si es un número impar.
Euler demostró que era imposible recorrer una red sin pasar dos veces por el mismo camino (línea) si ésta tenía más de dos vértices impares. En el caso de que sólo hubiera dos vértices impares, era posible recorrer la red si se partía de un vértice impar y se acababa en el otro.
Por lo que respecta a los puentes, todos los vértices son impares (a todos llegan tres caminos, excepto a una de las islas que llegan cinco), por tanto, el problema no tiene solución.
dificil
Puedes comprobar que el problema tendría solución, por ejemplo, eliminando el puente que une las dos islas y tomando como punto de partida una de las orillas y como punto de llegada la otra ya que, eliminando el puente intermedio, tendríamos dos vértices impares y dos pares.
complejo


SOLUCIÓN ACTIVIDAD 13

Basta con encontrar el único año (del siglo XIX) que es un cuadrado perfecto: 1849 = 43^2

Por lo tanto, x=43 y el año de nacimiento es 1849 - 43 = 1806.


SOLUCIÓN ACTIVIDAD 14

La respuesta es no. Evidentemente, deberían haber pasado 2000 años desde el nacimiento de Jesucristo. Como se empezó a contar en el año 1 esto no ocurrirá hasta el día 1 de enero del 2001.

SOLUCIÓN ACTIVIDAD 15

Llamemos A al número del mes de nacimiento y B a la edad. Seguimos las siguientes operaciones:

2A --> 2A+5 --> (2A+5).50 --> (2A+5).50+B --> (2A+5).50+B-250

Operando queda: 100A+250+B-250=100A+B

Así, siempre tendremos B en las unidades y decenas, y A en centenas y unidades de millar (si es el caso).


SOLUCIÓN ACTIVIDAD 16

Tenemos dos soluciones:
5 2 3 7 2 3
5 2 3 7 2 3
5 2 3 7 2 3
+ 5 2 3 + 7 2 3
--------- ---------
2 0 9 2 2 8 9 2


SOLUCIÓN ACTIVIDAD 17

El número que ocupa la casilla central es el 6.

La clave está en que para empezar el 2 sólo puede estar en una esquina y sus vecinos sólo pueden ser el 1 y el 5.
9 3 7
4 6 1
8 5 2

aritmetica

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