Para poder entender este tema empecemos por un simple problema y veamos para que sirve estos elementos matemáticos.

"En un criadero de conejos cada hembra tiene cinco crías cada tres meses de gestación, si contamos a la cría de una sola pareja, indicar cuantos conejos habrá en cinco períodos de cría :

1er Período...........5
2do Período..........5+5=10
3er Período...........10+5=15
4to Período...........15+5=20
5to Período...........20+5=25

¿Qué hacemos para calcular la cantidad de conejos en cada período?, sencillamente a la cantidad de crías del período anterior le sumamos cinco.

Si llevamos estos datos a un par de ejes cartesianos de manera que los períodos se ubiquen sobre las abscisas y la cantidad de crías en las ordenadas, a partir del gráfico, podemos indicar la cantidad de crías que tendrían en cualquier período.
Aprende Logaritmos


Siendo "x" el número de períodos y "C(x)" la cantidad de crías ¿Cómo expresaríamos con una ecuación la cantidad de crías en función del tiempo (períodos)?. Los períodos sucesivos los encontramos sumando el anterior 5, o sea multiplicamos en número del período por cinco.

C(x) = 5 x

b) Supongamos que ahora analizamos un cultivo de bacterias, las que se reproducen cada 0,2 seg. (se dividen por la mitad). Completemos el cuadro de los primeros cinco períodos.

1er Período............2
2do Período...........2.2=4
3er Período............4.2=8
4to Período............8.2=16
5to Período...........16.2=32

¿Qué se hace para calcular la cantidad de bacterias en cada período? Nuevamente utilizamos la cantidad de individuos del período anterior, sólo que esta vez lo multiplicamos por 2.

Si llevamos estos datos a un par de ejes cartesianos de manera que los períodos se ubiquen sobre las abscisas y la cantidad de bacterias en las ordenadas, a partir del gráfico, podemos indicar la cantidad de estos microbios que habría en cualquier período. La diferencia con el anterior es que tenemos que tener en cuenta que partimos de un individuo (que al partirse se convierte en dos).

matematicas


En este caso la ecuación matemática a la que responde la división de las bacterias es diferente a la anterior de los conejos. Sigamos utilizando a la x para indicar el número del período.

En el primer período tenemos 2, en el segundo 2 . 2 = 22 , en el tercero 2 . 2 . 2 = 23, si generalizamos tenemos que en el período "n" el número de bacterias es 2 n.

Así que la ecuación es: C(x) = 2x

Volvamos al problema de los conejos.

Si tenemos 125 crías ¿cuántos períodos han pasado? Utilizando la ecuación que encontramos: 5x = 125, despejemos, x = 125 / 5 = 25. Necesitamos 25 períodos.

Si tenemos 512 bacterias ¿Cuántos períodos han pasado?

Utilicemos la ecuación: 2x = 512

Evidentemente el problema se complica un poco. Para encontrar la respuesta a esta cuestión debemos hallar el exponente al que está elevado

Primero recordemos algo de primer año:

Cuando en primer año viste potencia se dijo que : "la base (a) elevada al exponente (b) nos da como resultado igual que multiplicar "b" veces "a"

ab = a1. a2. a3. a4 ... ab = C

ej: 7 3 = 7.7.7 = 343

Ahora estamos buscando el exponente al que está elevado, número que pusiste en la fórmula para hallar la cantidad de bacterias, para ello nos vemos obligados a buscar una operación matemática que no conocías, el logaritmo.

Por definición :

Log a C = b únicamente si a b = C

(Se lee " logaritmo en base a de C "

De allí que para calcular el período en que tenemos 512 bacterias necesitamos conocer el exponente al que hemos elevado a "2".

Entonces:

aprender


Ya que trabajamos con potencias vamos a descubrir las cuatro propiedades que deberemos aplicar de ahora en adelante en logaritmos.

Resolvamos : 22.23.24 = 2 (2 + 3 + 4) = 2 9

El "producto de potencias de igual base" es una propiedad que nos indica que podemos sumar las potencias cuando operamos con multiplicaciones de este tipo. Como trabajamos con potencias al aplicar logaritmos, traslademos esta propiedad al tema que estamos tratando. Si tenemos una multiplicación y aplicamos logaritmos se transformará en este se trasformará en suma.

En cuanto a la división, como las potencias se restan, al aplicar logaritmos se transforman en resta.

Ej. x = a . b ® log x = log a + log b

x = a / b ® log x = log a – log b

Resolver a2 )3 = a2 . a2 . a2 = a2 + 2 + 2 = a 2 . 3 = a 6

Resumiendoa2 )3 = a2 . 3 = a6

En "potencia de potencia", las potencias se multiplican. Por eso, cuando aplicas logaritmo a un número elevado a una potencia, el exponente pasa multiplicando al logaritmo de la base. En cuanto a la raíz, que es una potencia fraccionaria, la fracción baja para multiplicar al logaritmo. La fracción es una división entre enteros, así que el denominador, en realidad, está dividiendo.

Ej.: x = a b ® log x = b . log a

cartesiano

Logaritmos de base diez: Cuando escribimos la palabra "log" y no aclaramos de que base se trata, se toma ( por convención o acuerdo) que la base es diez.

En tu calculadora vas a encontrar una tecla que dice log. Esta tecla halla automáticamente el logaritmo de base diez.

Log 2 = ....................

En la mayoría de las calculadoras basta con poner el 2 y después apretar la tecla log.

El resultado es la potencia a la que tienes que elevar a 10 para que te de 2.

10 ..... = 2

Si tenemos el valor del logaritmo y queremos saber el valor del número al que le hemos efectuado esta operación también utilizamos la calculadora:

log .............. = 0,301029996

Para ello teclea este número en tu calculadora, aprieta Shift o 2ndf, según la calculadora que tengas (suele aparecer con otro color ), después la tecla log.
Cambio de base:

El concepto de cambio de base deriva de la definición de logaritmo.

Pongamos un ejemplo para entender mejor el procedimiento.

x = log2 32 (por definición de logaritmo)

2x = 32 (aplicamos logaritmo, recuerden que sucede con la potencia)

x . log 2 = log 32 (despejamos x)

logaritmos

Hemos cambiado la base del logaritmo que aplicamos a la operación trasformándola en una división del logaritmo de la base y el logaritmo del número. En este caso, al principio estaba en base dos y la cambiamos a base diez.

Generalizando:

absisas

Logaritmo Neperiano o Natural.

Los logaritmos son operaciones matemáticas ampliamente usadas, es por eso que los hallamos en las calculadoras científicas. Entre todos los números que se pueden emplear como base encontramos dos que son los más difundidos:

a) Log (que ya lo hemos visto)

b) La otra base es un valor constante denominado e (2,718281828) cuyo logaritmo, para diferenciarlo del anterior, se denomina logaritmo natural o neperiano. Se escribe ln. Por supuesto que para calcularlo también podemos utilizar la calculadora, basta con teclear el número y luego la tecla ln.

Logaritmos de base diez: Cuando escribimos la palabra "log" y no aclaramos de que base se trata, se toma ( por convención o acuerdo ) que la base es diez.

En tu calculadora vas a encontrar una tecla que dice ln. Esta tecla halla automáticamente el logaritmo de base e.

Log 2 = ...... ( En la mayoría de las calculadoras basta con poner el 2 y después apretar la tecla ln )

El resultado es la potencia a la que tienes que elevar a e para que te de 2.

e ..... = 2

Si tenemos el valor del logaritmo neperiano y queremos saber el valor del número al que le hemos efectuado esta operación también utilizamos la calculadora:

ln ........ = 0,301029996 Para ello teclea este número en tu calculadora, aprieta Shift o 2ndf, según la calculadora que tengas ( suele aparecer con otro color ), después la tecla ln.

Por supuesto no vamos a obtener los mismos resultados ya que la base cambió pero el manejo de la calculadora es el mismo.

Antiguamente los logaritmos eran utilizados para resolver cuentas extremadamente grandes, con el advenimiento de la calculadora hoy se los utiliza para resolver ecuaciones solamente. Pero eso no quiere decir que se los utilice menos sino que se han agilizado los cálculos y ustedes no tienen que perder tiempo resolviendo cuentas.

Función Logarítmica:

Aprende Logaritmos


Son funciones donde el dominio debe ser mayor que cero, pues no existe el logaritmo de cero ni de un número negativo, el por que de dicha característica reside en el hecho que al elevar una base positiva nunca puede obtenerse como resultado un valor negativo ni menor de cero. Para hallar el dominio de la función conviene establecer una inecuación con la función afectada por el logaritmo (u(x) > 0) y despejar x. La solución de dicha inecuación será el dominio de la función (siempre y cuando no se encuentre una variable x por fuera del logaritmo).

La imagen de la función abarca a todo el conjunto de los números reales.

f(x) = ln ( u(x))

Dominio : u(x) > 0

Imagen: R. (reales)

Función Exponencial: Aquí x es la potencia. f(x)= ax

matematicas


El dominio de esta función es el conjunto de los números reales, cualquier real puede ser potencia. El problema lo encontramos en las bases, estas deben ser positivas, mayores que uno y distintas de cero. ¿Por qué sólo positivas? Para hallar la respuesta toma un valor negativo para a e intenta graficarlo, encontrarás varios problemas: a) todas las potencias pares darán resultados positivos, las potencias negativas conservarán el signo de la base, por lo que tendremos una sucesión de números positivos y negativos pero ningún cero de la función en medio; b) las potencias fraccionarias cuyo denominador sea par (raíces pares) no tendrán imagen.

Como la base debe ser positiva, la imagen de la función está dada en los reales positivos, incluidos el cero.

Así como la función logarítmica más utilizada es la del logaritmo neperiano (en base e), la función exponencial más usada será la de base e: f(x) = ex



Ejercicios

1) Hallar el logaritmo de:

a) log2 4 =

b) log3 27 =

c) log2 16 =

d) log5 125 =

e) log3 243 =

f) log2 0,5 =

g) log2 0,25 =

h) log2 0,125 =

i) log6 216 =

j) log 100000 =

Rta.: a) 2, b) 3, c) 4, d) 3 e) 5, f) – 1, g) – 2, h) – 3, i) 3, j) 5

2) Resolver aplicando las propiedades de logaritmos.

a) log (5 . 3) =

b) log (23 . 3) =

c) log (7 : 3) =

d) log (2 . 3 : 4)5 =

aprender

Solución.:

a) log 5 + log 3, b) 3. log 2 + log 3, c) log 7 – log 3, d) 5. (log 2 + log 3 – log 4),

e) ½ (log 3 + log 5) – log 2.

3) Cambio de base:

a) log2 5 = c) log3 7 =

b) log32 = d) log5 24 =

Rta.: a) log 5 / log 2,
b) log 2 / log 3,
c) log 7 / log 3,
d) log 24 / log 5.

4) Ecuaciones:
cartesiano

Rta.: a) 2 ; b) – 4 y 4; c) 2; d) 2,3 y – 1,3; e) 2.

5) Para determinar la edad de una roca la ciencia actualmente ha podido desarrollar una técnica basada en la concentración de material radiactivo en su interior. Cuanto más joven es la roca mayor concentración de material radiactivo encontraremos. C(x) = k. 3 – t es la fórmula que se utiliza, donde C (x) representa la concentración del material radiactivo, t el tiempo transcurrido medido en cientos de años y "k" la concentración del elemento en el momento de formarse la roca. Si k = 4500 a)¿Cuánto tiempo debe haber pasado para que hallemos una concentración de 1500?; b) ¿Qué concentración tendríamos al cabo de dos siglos?; c)¿En qué tiempo se acabaría este material?.

Rta.: a) como t = 1, pasaron cien años. b) 1,7 .10 – 92 c) La ecuación no tiene como resultado el número cero, por lo que teóricamente siempre quedaría un mínimo resto de material radiactivo.


Para resolver los ejercios pueden contar con esta calculadora!!!
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