La probabilidad de ganar un campeonato del mundo


Por Adrián Paenza.
Este ejemplo de la utilización de la matemática para estimar las posibilidades que un equipo de fútbol –considerado favorito– tiene de ganar un mundial, lo contó Alicia Dickenstein en ocasión del primer BAP (Buenos Aires Piensa) en la charla que dio en el Teatro San Martín de la Ciudad de Buenos Aires. Por supuesto, le pedí permiso para poder publicarlo y aquí está. Pero ella me advirtió también que el ejemplo se lo había sugerido Roberto Miatello, un excelente matemático argentino, profesor en la FaMAF de la Universidad Nacional de Córdoba.

Lo atractivo del ejemplo es que no se pretende calcular la probabilidad de que un equipo cualquiera gane, sino la probabilidad de que gane un equipo que sea considerado el favorito para hacerlo, como si fuera Brasil o Argentina, por poner un par de ejemplos.

Supongamos que uno de esos equipos llegó a los octavos de final del torneo. Es decir, quedan 16 equipos que juegan entre sí por el sistema de eliminación simple (o sea, el que pierde queda eliminado, y el ganador sigue en la competencia).

Como se advierte entonces, para que ese equipo salga campeón, tiene que ganar cuatro partidos seguidos: octavos de final, cuartos de final, semifinal y final.

Supongamos, por simplicidad, que este favorito, tiene el 66 por ciento de posibilidades de ganar partidos contra cualquier equipo que juegue, independientemente de otros factores como la moral del equipo, resultados anteriores en el campeonato, etcétera. Es decir, los expertos le adjudican una posibilidad de ganar dos de cada tres partidos que juegue contra cualquier otro equipo.

Puesto en otros términos, es equivalente a decir que la probabilidad de que le gane a cualquier equipo es de 2/3.

Computemos ahora, sabiendo estos datos, cuál es la probabilidad de que gane los cuatro seguidos y se corone campeón.

Para calcular esta probabilidad, se multiplica el número 2/3 en cada paso.

Es decir:

a) La probabilidad de que gane el primer partido ya sabemos que es 2/3.

b) La probabilidad de que gane los dos primeros es (2/3).(2/3) = (2/3)2 = 4/9 (*)

c) La probabilidad de que gane tres partidos seguidos es (2/3).(2/3).(2/3) = (2/3)3 = 8/27, y finalmente

d) La probabilidad de que gane los cuatro partidos consecutivos y se corone campeón es (2/3). (2/3). (2/3). (2/3) = (2/3)4 = 16/81 = 0.1975 < 0.20

Es decir, las posibilidades de que un equipo de estas características salga campeón son ¡menores que un 20 por ciento!

Y eso es lo curioso y merece una interpretación. El hecho de que un equipo sea el doble de mejor que cualquier otro es obviamente preferible. Eso no se discute. Pero todo lo que se puede decir, cuando faltan cuatro partidos, es que tiene menos de un 20 por ciento de posibilidades de conseguirlo. Y eso es lo sorprendente.

Un paso más. En este ejemplo, usé el número 2/3 para mostrar cómo disminuye la probabilidad a medida que uno avanza en el torneo, aunque un equipo sea muy bueno. Con todo, el número 2/3 se puede reemplazar por cualquier otro que uno crea que se ajusta mejor y seguir con el mismo cálculo.

De hecho, si la probabilidad de un equipo favorito fuera 3/4 (un altísimo 75 por ciento) de ganar cualquier partido, entonces, su probabilidad para salir campeón se calcula:

(3/4)4 = 81/256 = 0.3164...

o sea, es apenas ligeramente mayor que un 30 por ciento.


Para deducir que la probabilidad de ganar dos partidos seguidos se obtiene multiplicando las probabilidades, piense en lo siguiente. Suponga que tiene un dado de tres caras. En dos de esas caras está escrito el nombre del equipo favorito. La restante cara tiene inscripta el nombre del otro equipo. Como usted ve, el favorito tiene dos posibilidades sobre tres de que salga su nombre al tirar el dado. Al tirar el dado otra vez, cuando tenga que enfrentar al segundo equipo, otra vez hay dos posibilidades sobre tres de que el dado salga con el nombre del favorito.

Escribamos todos los posibles resultados y contemos cuántos son favorables.

Para calcular los posibles, pongo dos letras F y las llamo F1 y F2, para indicar que si sale cualquiera de ellas arriba al tirar el dado es porque ganó el favorito. En cambio, si sale la letra A es porque ganó el otro equipo.

Luego, los resultados posibles son:

F1

F2

A

Al tirar el dado por segunda vez, los resultados posibles pueden ser otra vez F1, F2 y A. Al combinar las dos tiradas, los resultados posibles ahora son:

F1F1

F1F2

F1A

F2F1

F2F2

F2A

AF1

AF2

AA

De todos éstos, sólo nos interesan aquellas tiradas en las que aparece una F (sea F1 o F2) en las dos.

Luego, los casos favorables son:

F1F1

F1F2

F2F1

F2F2

Es decir, hay cuatro casos favorables, sobre nueve casos posibles. O sea, la probabilidad es (2/3)2 = 4/9.

Si uno continuara tirando el dado por tercera vez (y lo invito a que haga usted la cuenta), se encontrará con 27 casos posibles, pero sólo 8 casos favorables. Por último, si uno tirara el dado una cuarta vez, habrá 16 casos favorables y 81 casos posibles, es decir que la probabilidad es de 16/81 = (2/3)4.