Función Cuadrática


Hola acá les voy a explicar un toque sobre las funciones cuadráticas & toda la bola
Todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo. Es así que la ecuación y = x2 tiene como dominio a todos los reales y como conjunto imagen los reales positivos incluido el cero. El valor mínimo (en la imagen) de esta función será para x = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que denominaremos vértice de la parábola.

Para f(x) = x2 tenemos que el: Dom: R , Img. : [0, + ¥), vértice (0, 0).

Si sumamos a la ecuación cuadrática (x2) una unidad, o sea, "x2 + 1", la imagen se desplaza "uno" hacia arriba, de manera que el intervalo queda definido desde [1, + ¥)

Si restamos a la ecuación cuadrática (x2) una unidad, o sea, "x2 -1" la imagen se desplaza "1" hacia abajo, de manera que el intervalo queda definido desde [-1, + ¥).
Función Cuadrática


f(x)= x2 + vy, la parábola de desplaza sobre el eje y hacia abajo (- vy) o hacia arriba (+ vy)

Podemos preguntarnos ahora ¿qué sucedería si eleváramos un binomio (dos términos con letras y números) al cuadrado?. Por ejemplo (x + 1)2. Como no sumamos "ningún número al cuadrado" la función no se desplaza en el eje de las "y", por lo tanto la segunda coordenada del vértice sigue siendo cero. Con respecto a la primer coordenada, para x2 era "0", ese valor lo obtendremos si x = -1, de esa manera la parábola se desplaza "uno" hacia la izquierda.

Pongamos otro ejemplo, (x - 1)2. Por la misma justificación, la parábola se desplaza "uno" a la derecha.
matematica

f(x)= (x + vx)2 la parábola de desplaza sobre el eje x hacia la derecha (- vx) o hacia la izquierda (+ vx)

Si aplicamos lo que acabamos de explicar al mismo tiempo tendremos una expresión (llamada canónica) f(x)= a (x + vx)2 + vy donde el vértice será (- vx, vy). [a representa la concavidad de la parábola, al ser positiva el vértice es el valor mínimo de la función (mínimo), si es negativa la concavidad se invierte y el vértice es el mayor valor (máximo)].
info


Para una parábola de vértice (2, 1) la ecuación deberá escribirse f(x) = (x - 2)2 + 1. (ver la figura de color violeta)


Otra forma de escribir la función cuadrática es en forma polinómica

f(x) = ax2 + bx + c

Pasar de Polinómica a Canónica: (obtención de la ecuación cuadrática)
ayuda

Factorizamos a para que la x2 quede sola.

Mientras mantengamos la igualdad podemos hacer lo que se quiera. En la suma el cero es neutro, por lo tanto, si sumamos y restamos "lo mismo" mantenemos la igualdad. Como queremos obtener un binomio al cuadrado, completamos cuadrados.

Trinomio cuadrado perfecto: (x + y)2 = x2 + 2 x y + y2.

Ecuación canónica : f(x)= a (x - vx)2 + vy

Ceros de la función


También llamados "raíces", representa los valores de "x" cuya imagen tiene valor cero, (x, 0). Al ser cuadrática sólo se obtiene, como máximo dos valores, denominados x1 y x2. Estos valores (raíces) pueden utilizarse para expresar la función cuadrática en forma factorial: f(x) = a (x - x1) (x - x2)
ceros
Para calcular los ceros de la función a partir de la ecuación polinómica aplicamos el mismo procedimiento que para obtener la canónica:



Como estamos hallando los ceros de la función, igualamos la ecuación a cero.
Factorizamos a para que la x2 quede sola.
Es un producto, por lo tanto, tenemos dos opciones: a = 0 ó el polinomio es igual a cero, para nuestro propósito nos quedamos con el polinomio.
Nuevamente sumamos y restamos "lo mismo" para mantener la igualdad. Como queremos obtener un binomio al cuadrado, completamos cuadrados.
Trinomio cuadrado perfecto:
(x + y)2 = x2 + 2 x y + y2.

Operamos y despejamos el binomio al cuadrado.

Recordar que al resolver la raíz de un binomio al cuadrado queda el módulo de este.

Al sacar el módulo el resultado puede quedar positivo o negativo (para ahorrar espacio se ponen los dos signos juntos "+".
Lo único que queda es despejar la "x"
Esta ecuación se denomina "ecuación cuadrática" y será aplicada de aquí en más para hallar los ceros o resolver ecuaciones de segundo grado.

Graficar una función de segundo grado


Para graficar una función cuadrática se deben tener por lo menos tres puntos, "las raíces" y el vértice.

Grafiquemos f(x) = x2 + 5x - 6

La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, - 6) pertenece a la función.

Hallemos el vértice de la parábola:
sobre
Ahora las raíces:
funciones
Con estos tres puntos podemos trazar la parábola:
dominio

Fín

Comentarios Destacados

@Piojo2mil9 +5
tutorial
@lember10
gracias, en que programa se realizan esos grafcios amigo

16 comentarios - Función Cuadrática

@Ponchi182 +3
menos b masmenos la raiz cuadrada de b al cuadrado menos cuatro por a por c sobre dos por a
@SonMark
justo lo que rendi el miercoles jaja
@Piojo2mil9 +5
tutorial
@lember10
gracias, en que programa se realizan esos grafcios amigo
@adieu
dejame de joder con esto me torturaron todo el año. vacaciones loco !
@alanaguadesoyioo
noooooooo tengo una prueva final el viernes de esto y de factorizacion y de estudio de funcion dios santo ensima 3 horas de clase va a ser un infierno