El problema de Heesch...

Llamamos número de Heesch de una figura en el plano al número máximo de veces que dicha figura puede ser completamente rodeada por copias de sí misma.

En otras palabras: Tenemos una serie de piezas de igual forma y tamaño. Al rededor de una de ellas construimos un “mosaico” con las demás piezas sin dejar espacios vacíos. El número de Heesch de dicha “pieza” es el número máximo de “capas” que se pueden formar en el plano al rededor de la primera sin dejar huecos entre ellas. Por cierto, los pedantes llamamos “teselación” al hecho de “hacer un mosaico” (o más bien a algo muy parecido).

Si podemos llenar todo el plano con dicha figura, diremos que su número de Heesch es “infinito”. Éste es el caso de los triángulos, cuadriláteros y hexágonos regulares… prolongando las líneas de un cuadrilátero podemos reproducir en el plano otros cuadriláteros iguales, nos quedaría algo parecido a un tablero de ajedrez cuyas casillas son el cuadrilátero en cuestión. Por otro lado, dos triángulos iguales unidos por la base forman un cuadrilátero, así que podemos aplicar el mismo principio. Por último, los hexágonos regulares están formados por 6 triángulos equiláteros… lo que nos lleva de nuevo a los cuadriláteros.

El problema de Heesch...

Pero no todas las figuras geométricas pueden formar teselaciones del plano por sí mismas… el número de Heesch del círculo es “Cero” ya que ningún círculo puede ser rodeado por otros iguales sin dejar espacios vacíos entre sí.

El problema de Heesch es el que surge al plantearse la siguiente pregunta:

¿Qué otros valores, además de cero e infinito, pueden darse como números de Heesch y cuál es el valor máximo posible?

Una pregunta aparentemente simple para la que la matemática aún no tiene respuesta.

M. C. Escher afirmaba en algunas de sus cartas que sentía verdadera fascinación por la teselación del plano llegando a
crear obras con formas completamente irregulares cuyos números de Heesch eran infinito… algunas de dichas formas solían ser peces, pájaros, cangrejos y otros animales.
ElproblemadeHeesch.El problema de Heesch...

Ésto nos lleva a un punto importante: La definición de “pieza” o “figura”.

Para ser exactos tendríamos que aclarar que lo que estamos llamando “piezas del mosaico” son en realidad conjuntos abiertos (formados sólo por sus puntos interiores), conexos, disjuntos entre sí y cuyas clausuras (el conjunto de todos sus puntos límite, aka. de acumulación) recubren el plano o una parte de él… a muchos ésto os sonará a chino, en realidad sólo estamos diciendo que las piezas no están rotas, son distinguibles y comparten sus paredes. (Por ejemplo: Si dibujas dos cuadrados pegados por un lado no pintas dos veces la pared que les separa, puedes distinguir uno del otro y son figuras cerradas).

Por tanto, como la definición es muy general, “pieza” puede ser casi cualquier cosa siempre que cumpla con esas condiciones. Ésta definición da cierta libertad para crear construcciones tan complicadas como se desee para intentar buscar la respuesta al problema. Una de ellas, bastante característica y de cierta belleza, fue ideada por el matemático aficionado Robert Ammann y está formada por piezas hexagonales con salientes en dos lados y hendiduras en tres de los cuatro restantes.

ElproblemadeHeesch.

En la última capa de ésta figura podéis ver que hay huecos donde han coincidido dos hendiduras, por tanto, el número de capas que hemos podido formar al rededor de la pieza central sin dejar huecos, su número de Heesch, es 3.

El número de Heesch de ésta otra figura es 1:
El problema de Heesch...

Existen otros intentos más complicados, como por ejemplo el siguiente que fue ideado por Casey Mann, cuyo número de Heesch es 5… el máximo conocido hasta la fecha.
ElproblemadeHeesch.

El Problema de Heesch sigue abierto, desconocemos cuál es el número de Heesch máximo distinto de infinito… y no es de extrañar ya que la teoría que hay detrás de éste problema aparentemente tan sencillo está directamente relacionada con las formas modulares… uno de los campos más complicados de la matemática actual en el que Andrew Wiles se apoyó para demostrar el famosísimo Último Teorema de Fermat.

Sin embargo es relativamente sencillo imaginar formas distintas y pensar en cómo encajarlas… se trata únicamente de resolver un puzzle cuyas piezas son todas iguales. Ni símbolos ni operaciones complicadas… sólo lápiz, papel e imaginación. ¿Alguien se anima a resolver el problema?

Fuentes:
The Heesch’s problem - Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Heesch%27s_problem
Heesch’s Problem - Casey Mann. http://math.uttyler.edu/cmann/math/heesch/heesch.htm
CRC Concise Encyclopedia of Mathematics - Eric W. Weisstein http://www.amazon.com/CRC-Concise-Encyclopedia-Mathematics/dp/0849396409
M. C. Escher - The Official Website. http://www.mcescher.com/

ChauSSSSSS!!!

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