Hola a todos! en este post voy a poner extractos de problemas y diferentes situaciones matemáticas planteadas en el libro "Matemática... ¿Estás Ahí?" de Adrián Paenza. Espero que les interese, ya que es MUY entretenido!

Teoría de juegos.
Estrategia (una definición)
La matemática tiene una rama que se llama “Teoría de juegos”. Sí:
teoría de juegos. ¿No debería ser suficientemente atractiva una ciencia que ofrece juegos en su menú? ¿No sería interesante considerarla como alternativa para estimular a los niños/jóvenes en el colegio?
Ahora bien: ¿de qué se trata esta teoría? Se trata de aprender
y diseñar estrategias para ganar, y que sirven en la vida para enfrentar situaciones cotidianas. Obviamente, nadie puede asegurar un triunfo (porque todos los participantes podrían haber estudiado del mismo
libro), pero se trata de encontrar la mejor manera (la más “educada”)
de jugar a un juego, o de enfrentar un problema de la vida diaria.
Quiero empezar con lo que se llama pensamiento estratégico. Dos
personas o grupos compiten para conseguir algo que está en juego.
Puede ser una partida de ajedrez, un partido de fútbol, pero también
una licitación que hace un gobierno para adjudicar cierto tipo de telecomunicaciones, o la electricidad. Incluso, individuos que quieren
conseguir un trabajo.
Usted y el otro, o usted y los otros, alguien puja con usted para
obtener algo. Este (esos) otro(s) piensa(n) igual que usted, al mismo
tiempo que usted, acerca de la misma situación. En todo caso, se
trata de saber quién es capaz de maximizar el retorno (en el sentido de “ganancia”).
En esencia, se trata de diseñar una estrategia para enfrentar a
sus oponentes, que deberá incluir inexorablemente cómo anticiparse
a lo que ellos van a hacer, cómo contrarrestarlos, y cómo hacer para
que prevalezca su posición o, si lo prefiere, cómo hacer para que
pueda ganar usted. Por supuesto, así como tendrá que considerar
qué es lo que el otro jugador está pensando, él, a su vez, tendrá que
considerar lo que piensa usted.
Y justamente, la Teoría de juegos es el área de la matemática que
se ocupa de cómo optimizar ese tipo de toma de decisiones, y se basa
en generar y estudiar modelos que simulan interacciones entre dos
(o más) partes, y encontrar la estrategia más adecuada para obtener
un objetivo determinado.
Y acá entra en escena el comportamiento racional. ¿Qué quiere
decir?
Uno puede decir que actúa con racionalidad cuando:
– piensa cuidadosamente antes de actuar;
– es consciente de sus objetivos y preferencias;
– conoce sus limitaciones;
– sabe cuáles son las restricciones que impone el entorno;
– estima qué va a hacer su oponente de acuerdo con lo que usted
cree que son sus virtudes y flaquezas;
– puede anticipar varias jugadas;
– puede imaginar diferentes escenarios.
La Teoría de juegos agrega una nueva dimensión al comportamiento racional, esencialmente, porque enseña a pensar y a actuar
en forma “educada” cuando uno tiene que enfrentarse con otras personas que usan las mismas herramientas.
Como escribí más arriba, la Teoría de juegos no se propone ense-
ñar los secretos de cómo jugar “a la perfección”, o garantizar que
nunca va a perder. Eso ni siquiera tendría sentido pensarlo, ya que usted
y su oponente podrían estar leyendo el mismo libro, y no podrían
ganar al mismo tiempo. La mayoría de los juegos son lo suficientemente complejos y sutiles, e involucran decisiones basadas en la idiosincrasia de las personas o en elementos azarosos, como para que
ni la Teoría de juegos (ni nada) pueda ofrecer una receta que garantice el éxito. Lo que sí provee son algunos principios generales para
aprender a interactuar con una estrategia.
Uno tiene que suplementar estas ideas y métodos de cálculo con
tantos detalles como le sea posible, de manera tal de dejar librado al
azar, justamente, lo menos posible, para de esa forma ser capaz de
diseñar lo que se denomina “la estrategia óptima”. Los mejores estrategas mezclan la ciencia que provee la Teoría de juegos con su propia experiencia. Pero un análisis correcto de cualquier situación involucra también aprender y describir todas las limitaciones.
Tome cualquier juego en el que haya interacción y apuestas entre
los participantes. Por ejemplo, truco, tute o póquer, por sólo nombrar algunos de los más comunes. Parte de la estrategia es saber “mentir”. Pero, otra vez, ¿qué quiere decir saber mentir en este caso? Me
explico: aunque parezca loco, se trata de que quien no tiene una buena
mano, o no tiene buenas cartas, alguna vez sea descubierto por sus
rivales. Lea de nuevo lo que dice: uno necesita que los oponentes lo
descubran (a uno) mintiendo. ¿Por qué? Sencillamente, porque no
es bueno para usted que se sepa de antemano que, siempre que usted
hace una apuesta o un desafío de cualquier tipo, lo hace porque tiene
buenas cartas. Eso significaría que sus rivales tienen un dato que usted
no querría que tuvieran, aunque más no fuera porque no podría sacar
mayores ventajas en caso de tener una buena mano. Un buen jugador se deja sorprender. Puede que pierda esa pequeña batalla, pero
eso le permitirá instalar una duda en el adversario, tornándole más
difícil la decisión. Eso le permitirá, eventualmente, ganar cuando reciba buenas cartas, pero también zafar cuando no sea así. Por ejemplo, para quienes juegan al truco, tienen que ser descubiertos cantando
“envido” aunque sus cartas no los autoricen a pensar que van a ganar.
Puede que pierdan esa mano, pero esa inversión invitará a sus rivales a que también “acepten su envite” cuando tenga buenas cartas.
Y ahí sí sacará las mayores ventajas.
La Teoría de juegos trata de establecer estrategias, y termina siendo una buena mezcla entre matemática y una gran dosis de psicología.
Tomemos un ejemplo muy sencillo: “Piedra, papel o tijera”. Este
juego consiste en poner una mano detrás de la espalda, igual que su
rival. Tienen que exhibirla simultáneamente con uno de esos tres gestos: la mano abierta representa el papel; el puño es el símbolo de una
piedra; por último, si uno muestra dos dedos haciendo una V “acostada” indica tijera. Como es sabido, la piedra “rompe” la tijera, el papel
“envuelve” a la piedra y la tijera “corta” el papel. Éste es un ejemplo
de un juego en el que no hay una manera segura de “ganar”. Depende no sólo de lo que hace uno, sino de lo que haga el otro. ¿Hay acaso
una estrategia? Sí, pero es sutil. Por ejemplo, si fuéramos a jugar a este
juego y yo detectara que usted me muestra una piedra con una probabilidad mayor de una vez en tres, entonces empezaría a “usar papel”
más frecuentemente. Si jugáramos suficiente tiempo, yo “tendría una
ventaja” sobre usted, porque me estará mostrando un patrón en su
forma de jugar. La estrategia perfecta para este juego es elegir siempre al azar lo que va a exhibir. Si los dos jugaran así, ninguno sacaría ventaja porque se equipararían las posibilidades. Si alguno de los
jugadores empezara a usar un “patrón”, sea cual fuere, el otro jugador podría detectarlo e inmediatamente tendría una ventaja.
John Nash consiguió el Premio Nobel en Economía en 1994 por
sus aportes a la Teoría de juegos.
Por un lado, existen los juegos llamados de suma cero. Por ejemplo, si usted juega al póquer con otras
personas, todo lo que haya ganado será el resultado de lo que los otros perdieron. La suma del dinero involucrado da cero. Dicho de otra
manera, no aparece dinero nuevo. Nadie puede ganar un dinero que
otro no perdió (y viceversa).
El aporte de Nash fue considerar lo que llamó los juegos que “no
suman cero”. Cuando aún no había cumplido treinta años, desarrolló el concepto de lo que hoy se conoce con el nombre del “Equilibrio de Nash”. Ésta es una definición muy interesante sobre lo que significa alcanzar una situación en la que todos los participantes se van
a sentir contentos. Puede que alguno hubiera podido obtener algo
“mejor” si actuaba en forma individual, pero colectivamente es la
mejor situación posible (para el grupo). Es decir, todos los participantes advierten que es mejor establecer una “estrategia para todos”
que una individual. De esto se trata muchas veces en el “mundo real”.
En el caso de un juego de uno contra uno, el “equilibrio de Nash” se
alcanza cuando nadie tiene nada para reclamar, en el sentido de que
uno no variaría lo que hizo o está por hacer aun sabiendo lo que va
a hacer el otro. En un juego de cartas sería como decidir qué carta uno
va a jugar indistintamente de si pudiera ver las cartas del otro o no.
Por ejemplo: supongamos que veinte personas van a comprar
durante cierto mes del año un determinado modelo de auto. Quizá,
cada uno pueda negociar un precio que le convenga personalmente.
Pero si se pusieran todos de acuerdo en entrar en la concesionaria juntos y llevaran una oferta para comprar veinte autos, parece lógico pensar que obtendrán un mejor precio.
Es casi una “teoría del compromiso”, algo muy sencillo, pero nadie
lo había podido sistematizar hasta que lo hizo Nash. Él no estaba tan
interesado en cómo alcanzar un equilibrio en el sentido de que todo
el mundo estuviera contento con su posición, pero sí sobre cómo deberían ser las propiedades que un equilibrio debería tener. Una idea aproximada de lo que hizo Nash es lo siguiente: si uno preguntara a todos
los integrantes de una mesa (de negociaciones, por ejemplo): “Si todos
los otros jugadores se mantuvieran en la posición que están ahora,
¿usted cambiaría lo que está haciendo?”. Lo que equivaldría a preguntar si cada uno mantendría su posición, si supiera que todo el resto se mantendrá quieto. Ésa es la lógica para alcanzar el “equilibrio de Nash”.
Mucho tiempo después de que Nash escribiera su teoría del equilibrio en 1950, el mundo comenzó a usarla. De hecho, el mejor exponente fue cómo se empezó a tratar el tema de las “licitaciones” o “remates”, y presentó un ejemplo maravilloso: las reglas que gobiernan un
remate son las mismas que gobiernan un “juego”. En este caso, los
“apostadores” son los competidores en un juego; las estrategias son “su
plan de acción”, la forma en la que van a apostar, y la ganancia es quién
obtiene lo que se vendía y cuánto paga por lo que está en juego.
A los que trabajan en Teoría de juegos, este tipo de “licitaciones”
o “remates” les permite predecir lo que los jugadores van a hacer, aprovechando lo que saben del equilibrio de Nash, y transforman reglas que
podrían ser muy complicadas en algo “analizable”. No sólo eso: en
ese tipo de operaciones, cuando hay “grandes licitaciones”, cuando se
habla de “miles de millones de dólares”, los apostadores saben bien qué
hacer. Ellos saben que hay mucho dinero en juego; se pasan mucho
tiempo pensando y contratan expertos que les permitan mejorar su
posición. Para fijar las ideas, uno puede pensar en “licitaciones gubernamentales”, en las que aparecen –por ejemplo– empresas de telefonía,
o de Internet, o de telefonía celular involucradas.
En el pasado, este tipo de licitaciones se manejaban en forma arbitraria, algo así como un concurso de belleza. Como consecuencia, el
resultado era que los gobiernos no conseguían que nadie pagara el verdadero valor de lo que estaba en juego, y eso sin hablar de la corrupción endémica de quienes negocian ese tipo de contratos.
De hecho, con el aporte de Nash los gobiernos tienen ahora una
herramienta muy poderosa: que los interesados “apuesten” para conseguir lo que quieren, de manera tal de obtener la mayor cantidad de
dinero posible.
En el año 2002, con la participación de matemáticos expertos en
Teoría de juegos, liderados por Ken Binmore, el gobierno inglés escribió sus reglas para otorgar la licencia para la tercera generación de
telefonía móvil. Binmore y su equipo se pasaron dos años pensando
en todas las posibles licitaciones (aunque esto suene exagerado). El
resultado: el gobierno inglés consiguió 23.000 millones de libras esterlinas (algo así como 46.000 millones de dólares al cambio de mediados de 2007). Y eso, por haber usado la teoría de Nash, quien empezó hace cincuenta años analizando los juegos de ajedrez y de póquer,
y ahora sus ideas impactan en la economía global y son capaces de
generar miles de millones de dólares para los gobiernos (si es que se
deciden a usarla).
Nash, en todo caso, hizo algo muy sencillo, que hasta parece
increíble que nadie lo hubiera podido ver antes. Pero claro, los que
merecen reconocimiento son aquellos que “miraron hacia donde todos
apuntaban, pero vieron lo que nadie veía”. Quizá, ver lo obvio es tener
una gran idea.
La Teoría de juegos estudia cómo la gente toma decisiones cuando estas decisiones afectan a los demás y no sólo a ellos. Por ejemplo, si usted entra en un negocio y compra un kilo de carne, eso no
cambiará el precio de la carne. En cambio, si una compañía automotriz decide modificar el precio de uno de sus autos para seducir
a los consumidores, eso implicará un cambio (eventual) en el precio de todos los autos similares. De hecho, cuando se modifica el
precio de la nafta, tiene un efecto dominó que afecta a diferentes sectores de la sociedad.
En algún sentido, uno puede pensar la Teoría de juegos como el
lenguaje matemático que describe cómo interactúa la gente.
Algunas personas actúan en forma más racional (o más irracional) que otras, y la Teoría de juegos analiza también esas situaciones. Por ejemplo, en las subastas o los remates por Internet, hay gente
más profesional y amateurs que apuestan para conseguir algo por primera vez. Los que “regulan” el remate se ocupan de que la interacción
sea normal, de manera tal que nadie corra ningún riesgo. Por eso son
tan importantes las reglas de la subasta, por cómo afectan la conducta
de la gente. Más aún: pequeñas modificaciones en esas reglas generan
grandes modificaciones en el comportamiento de los usuarios.
Por ejemplo, podemos comparar las subastas de e-bay con las de
Yahoo y Amazon. La gente de e-bay tiene una “hora límite”. Es decir,
ellos instituyen que a “determinada hora” se termina la subasta. Amazon, en cambio, lo hace de otra forma. No es que no tenga un reloj,
sino que el remate concluye diez minutos después de que se hizo la última oferta. Esto implica que se prolongue el tiempo del remate. Por
ejemplo, si usted hace una oferta justo un segundo antes de que el
tiempo expire, el remate se prolongará otros diez minutos, siempre y
cuando no haya ninguna oferta en ese tiempo. Si la hubiere, eso haría
correr la finalización otros diez minutos más.
Las diferencias que esta variación en las reglas genera en la conducta de la gente son sorprendentes. Los usuarios de e-bay acumulan o amontonan sus apuestas a medida que se acerca el final, casi
como si fueran francotiradores. En cambio, en Amazon uno no observa nada parecido.
Quiero terminar como empecé: es raro que, de una ciencia (la
matemática) que tiene una rama llamada Teoría de juegos, se pueda
decir que es aburrida, árida o que “yo no nací para esto”. Si es así,
los comunicadores/docentes debemos estar haciendo algo mal.
¿Quién no jugó mientras fue niño? ¿Por qué no seguir haciéndolo
ahora que somos adultos?

La matemática y la niña
que no sabía jugar al ajedrez
Esta historia le pertenece a Maurice Kraitchik. Cuando la leí pensé
–una vez más– cómo puede ser que la matemática tenga tan mala
prensa. Espero que disfrute de este ejemplo, que pone en evidencia
cómo un simple recurso de lógica permite obtener un resultado práctico inmediato. Acá va.
Violeta, una niña de doce años que virtualmente no sabe nada
sobre ajedrez, observa que su padre pierde dos partidas seguidas con
sus amigos Alberto y Marcelo. Se acerca a él y le dice: “Papá, te aseguro que yo podría hacer mejor papel que vos frente a ellos. No sé
mucho de ajedrez, pero me atrevo a jugarles a los dos, incluso en
forma simultánea, y estoy segura de que, al menos no voy a perder
las dos partidas como vos. Es decir: no te puedo decir que voy a ganar
las dos, pero te puedo garantizar que seguro voy a hacer un mejor
papel que vos”.
El padre la miraba sorprendido, sin poder entender lo que le decía
Violeta, pero la niña pareció subir la apuesta.
“Te propongo más, papá. Como yo sé que Alberto se considera
peor jugador que Marcelo, decile que lo invito a que él juegue con piezas blancas. Eso sí, frente a Marcelo, las blancas las quiero usar yo.
Y les ofrezco que juguemos ambas partidas en forma simultánea. Yo
los enfrento a los dos al mismo tiempo”.
Eso fue lo que pasó. La pregunta es: ¿por qué podía Violeta asegurar que tendría mejores resultados que el padre con tanta seguridad? Aquí es donde conviene que me detenga un instante. Como es
esperable, voy a escribir una respuesta (en el anexo con las soluciones), pero le propongo que piense sola/o el planteo de la historia, y
trate de imaginar qué es lo que haría usted..
Más allá del cuento, lo que importa son los datos: Violeta jugaría con Marcelo llevando las piezas blancas, y con Alberto con las piezas negras. El otro dato que se conoce es que ambas partidas se jugarán en forma simultánea.

Estrategia para ganar siempre

El que sigue es un juego que enfrenta a dos personas. Las reglas
son muy sencillas. Se tiene un círculo formado por un número par
de monedas de 1 peso. Para fijar las ideas, supongamos que hay 20
monedas numeradas.
Cada jugador debe retirar o bien una o bien dos monedas cada
vez que le toca jugar, pero si va a retirar dos, éstas tienen que ser
consecutivas. Es decir, no se puede elegir dos que no estén contiguas
en la distribución. La persona que se queda con la última moneda,
gana el juego.
Supongamos que cada competidor juega a ganar, es decir, que elige
en cada oportunidad lo que cree que es mejor para quedarse con esa
última moneda. En esas condiciones, ¿hay alguna estrategia que pueda
usar alguno de los jugadores de modo que garantice su triunfo?
Antes de avanzar, advierta que el párrafo anterior, aunque no
parezca, contiene varias preguntas.
a) ¿Hay alguna estrategia ganadora?
b) ¿Para qué jugador? ¿El que juega primero o para el segundo?
c) Si la hay, ¿cuál es?

Problema de los seis fósforos

Se tienen seis fósforos iguales. ¿Es posible construir con ellos cuatro triángulos equiláteros cuyos lados sean iguales al largo del fósforo?
Nota 1: No conteste rápido si no se le ocurre la solución. Piense.
Nota 2: Triángulo equilátero quiere decir que tiene los tres lados
iguales. De hecho, “equi” = “igual”, “látero” = lado. En este caso, lados
iguales y, además, de igual longitud que la del fósforo.

¿Cómo hacer para pesar diez kilos
con una balanza desbalanceada?

Mucha gente cree que tiene mala suerte y lo expresa de distintas
maneras. Por ejemplo: “El día que llueva sopa, yo voy a estar con un
tenedor en la mano”. O algo equivalente. El hecho es que si Murphy
viviera, diría que uno siempre tiene un destornillador cuando necesita un martillo (o al revés). Pero con el tiempo y con paciencia, al
final, nos ingeniamos para salir del paso.
Es posible que usted nunca tenga que enfrentar el problema que
viene a continuación. Sin embargo, estoy seguro de que, el haber pensado en cómo resolverlo, lo ayudará a tener una llave extra en su arsenal, que uno nunca sabe cuándo necesitará utilizar.
Supongamos que tiene que pesar exactamente diez kilos de azú-
car. Para lograrlo, se tienen dos pesas de cinco kilos cada una, y una
balanza con dos platillos.
La dificultad reside en que la balanza está desbalanceada. Esto
significa que, sin que haya ningún peso en ninguno de los dos platillos, hay uno que está más arriba que el otro.
¿Cómo hacer?

Los tres recipientes con dos tipos de
monedas que tienen las etiquetas cambiadas

Supongamos que tiene tres recipientes iguales que contienen
monedas. Y no se puede ver lo que hay en el interior de cada uno.
Lo que sí se puede ver es que en la parte de afuera de cada recipiente hay pegada una etiqueta.
Una dice: “Monedas de 10 centavos”.
Otra dice: “Monedas de 5 centavos”.
Y la tercera dice: “Mezcla”.
Un señor que pasó por el lugar antes que usted, despegó todas
las etiquetas que había y las puso, a propósito, en recipientes que no
correspondían. ¿Alcanza con elegir una sola moneda de un solo recipiente para tener suficiente información para reordenar las etiquetas
y poner cada una en el lugar que le corresponde?

Las cuatro mujeres y el puente

El problema que sigue se inscribe entre los llamados de “pensamiento lateral”. En realidad, son problemas sencillos de enunciar, pero
cuya solución aparece como resbaladiza. Lo curioso es que no bien
uno la encuentra no puede entender cómo no se le ocurrió antes. Y
la dificultad consiste en que uno “empuja” para ir en una dirección
(aunque no lo advierte) que luego resulta equivocada (cosa que uno
“tampoco” advierte). Créame que vale la pena pensarlo.


El problema que sigue requiere planificar una estrategia. No es
difícil, pero tampoco trivial. Eso sí: no tiene trampas. Es un ejercicio
muy conocido en el mundo de los que juegan a planificar e inventar
caminos donde, en apariencia, no los hay. Y tiene el atractivo extra de
que permite entrenar al cerebro. Acá va:
Hay cuatro mujeres que necesitan cruzar un puente. Las cuatro
empiezan del mismo lado del puente. Sólo tienen 17 (diecisiete) minutos para llegar al otro lado. Es de noche y sólo tienen una linterna. No
pueden cruzar más de dos de ellas al mismo tiempo, y cada vez que
hay una (o dos) que cruzan el puente, necesitan llevar la linterna.
Siempre.
La linterna tiene que ser transportada por cada grupo que cruza
en cualquier dirección. No se puede “arrojar” de una costa hasta la
otra. Eso sí: como las mujeres caminan a velocidades diferentes, cuando dos de ellas viajan juntas por el puente, lo hacen a la velocidad
de la que va más lento.
Los datos que faltan son los siguientes:
Mujer 1: tarda 1 (un) minuto en cruzar
Mujer 2: tarda 2 (dos) minutos en cruzar
Mujer 3: tarda 5 (cinco) minutos en cruzar
Mujer 4: tarda 10 (diez) minutos en cruzar
Por ejemplo, si las mujeres 1 y 3 cruzaran de un lado al otro, tardarían 5 minutos en hacer el recorrido. Luego, si la mujer 3 retorna
con la linterna, en total habrán usado 10 minutos en cubrir el trayecto.
Con estos elementos, ¿qué estrategia tienen que usar las mujeres para poder pasar todas –en 17 minutos–de un lado del río al otro?

Dos preguntas (en una)
PREGUNTA 1
Supongamos que usted tiene un tablero de ajedrez, el clásico de
8 x 8 cuadraditos. ¿Cuántos cuadrados se pueden formar usando los
lados de esos cuadrados?
Por ejemplo, un cuadrado a considerar es todo el tablero, que es
el único que hay de 8 x 8. Pero hay otros… La pregunta es cuántos.
PREGUNTA 2
Ahora, enfrentemos el caso más general. Si en lugar de considerar un tablero de ajedrez de 8 x 8, tuviéramos un tablero cuadrado
de n x n, donde n es un número natural cualquiera. En este caso:
¿cuántos cuadrados se podrían construir?


Bueno, hasta acá llegó el post, no pongo más porque son muchos los problemas que hay en el libro, para todos los que hayan encontrado un respuesta (o tengan alguna pregunta) sobre los problemas, escríbanlos en los comentarios y les respondo si está bien o mal!
Saludos, and be happy!

Aprendamos con Adrián Paenza.