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1 + 2 + 3 + 4 ... = -1/12 . Explicación lógica y simple



Recientemente, el canal de youtube Numberphile subió una demostración de que la suma de todos los números naturales (1+2+3+4 y así hasta el infinito) no da infinito, sino que es -1/12.


link: http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

Dado que ese canal de youtube tiene un carácter serio y los que presentan los videos suelen ser matemáticos o físicos, mucha gente quedó bastante confundida. Algunos aceptaron el resultado, mientras que otros aseguraban que la suma infinita 1-1+1-1+1-1+1-1+1.... no da 1/2, y, por lo tanto, el resto del cálculo es falsado.

Yo tengo cierto gusto y facilidad con la matemática, y aunque no tengo ningún título ni tampoco seguí ninguna carrera, intente analizar el cálculo por mí mismo, para ver cómo carajo era posible que una sumatoria que obviamente es divergente, fuera capaz de dar un resultado finito.

Y después de estar meditándolo en la ducha, encontré la respuesta. No me merezco un premio nobel ni nada por el estilo , es una explicación muy simple, tan simple que un aficionado como yo fui capaz de formularla, y es tan simple que ahora la voy a compartir con ustedes.

Para entender qué fue lo que "salió mal", tendremos que remitirnos al concepto de "infinito".

Supongamos que tenemos la siguiente ecuación:

x + 1 = x

Antes de despejar la X, presten atención a la ecuación en sí. ¿Es posible resolverla? Si convertimos esa ecuación en palabras, nos quedaría algo parecido a que:

"A un número, si se le suma 1, sigue siendo el mismo número".

Esto es absurdo, no hay ningún número al que, si se le suma 1, siga siendo el mismo número. 0+1=1 ; 1+1=2 ; -1+1=0, etc. etc. etc.

Sabiendo esto, quiero que vean lo que pasa cuando se despeja la x.

x-x = -1
0x = -1
x = -1/0

X es igual a -1/0

Por lo tanto, se puede decir que x no existe. Sin embargo, existe un concepto que puede ubicarse como solución de esta ecuación: el infinito. Volvamos al primer paso de la ecuación:

x + 1 = x

Ahora, supongamos que la x es infinito:

+ 1 =

Para los que sean entendidos en matemática, van a ver que este cálculo tiene sentido. Para los que no, sólo tienen que ver este video y van a entender de lo que hablo.


link: http://www.youtube.com/watch?v=iAF37vVeV-Y

Sin embargo, no es la única solución de la ecuación. También lo puede ser -. Esto se debe a que el cálculo 1/0 no tiene una sóla solución, como lo demuestra este gráfico:



Como pueden ver, cuanto más cercano al 0 es el divisor, más se acerca a ambos infinitos. Esto es perfectamente consistente con la ecuación, ya que:

-+1 = -

Bien, ahora que vimos que el infinito puede aparecer en ecuaciones, logrando que estas devuelvan resultados coherentes, fíjense lo que pasa en esta ecuación:

S - 1/4 = 4S

Esta ecuación aparece en el video de numberphile: es justo el paso anterior a concluir que S = -1/12 y, por lo tanto, 1+2+3+4+... = -1/12. La ecuación, de por sí sola, está bien, ya que los de numberphile llegaron a ella mediante una serie de pasos que, por sí solos, están bien.

Ahora, para entender qué es lo que "salió mal", debemos reparar en que S = 1+2+3+4+...

Lo que se me ocurrió hacer, es reemplazar S por ∞, es decir, asumir que la suma es divergente.
De esta manera la ecuación nos quedaría:

- 1/4 = 4

Como el infinito tiene propiedades distintas a los números, como se demuestra mediante la paradoja del hotel infinito, resulta que:

- 1/4 =
4 =

Por lo que, volviendo a la ecuación anterior

- 1/4 = 4
=

Sí señores, ∞ es igual a ∞. No hay ninguna contradicción, no hay ninguna paradoja. Si asumimos que la sumatoria S es infinita, entonces llegamos a que ∞ = ∞, y por lo tanto S=S. ¿Qué es lo que está pasando? ¿Por qué los de Numberphile llegaron a que esa ecuación da como resultado -1/12, si acabo de demostrar que la ecuación da infinito?

La explicación de esto es que, dependiendo de como manipulemos al infinito (y con infinito me refiero a ambos infinitos, el positivo o el negativo), podemos armar una ecuación cuya solución pueda ser, o bien alguno de los infinitos, o bien, un número común y corriente.

Para que vean que esto pasa con cualquier suma infinita, les voy a mostrar un video subido por el Dr James Grime, en el cual muestra cómo se puede hacer que 1+2+4+8+16+32... sea igual a -1.


link: http://www.youtube.com/watch?v=7fGoins7q3s

¿Cómo carajo se explica esto? Bueno, también tiene que ver con la ecuación que se hace antes de llegar al resultado:

2S - S = -1

Si a esa S la reemplazásemos por infinito, nos quedaría:

- = -1
= -1

Lo cual es cierto, de acuerdo a las propiedades extrañas que tiene el infinito.

Como se puede notar, todas las ecuaciones que tengan las mismas incógnitas separadas, pueden dar infinito, como vimos antes en x+1=x. Sin embargo, las ecuaciones que tienen las mismas incógnitas separadas, pero con factores distintos, dan infinito, y también dan algún número, por ejemplo:
2x+1 = x
1 = x-2x
1/-1 = x
-1 = x

2x+1 = x
2+1 =
+1 =
=

En conclusión, los de numberphile se aprovecharon de esta pluralidad de resultados que podían adoptar las ecuaciones, para hacer que sumas cuyo valor es infinito, devolvieran un valor finito.

Ahora, ¿Por qué en la teoría de cuerdas se utiliza el número -1/12 como resultado de esa suma, si un taringuero promedio demostró que el resultado de esa suma es infinito?

No soy físico así que no tengo idea, pero sí se me ocurre una explicación: como -1/12 e infinito pueden ser utilizados como solución de la ecuación 4S = S - 1/4, y el concepto de infinito no puede ser utilizado como número, tal vez alguien se dió cuenta de que poner -1/12 en lugar de infinito simplificaría mucho alguna fórmula en particular, en la que diera igual poner cualquiera de los 2 resultados.
Que quede claro que es solo una especulación mía, no una realidad. Sin embargo, más allá de ese detalle, creo que las demostraciónes que aparecen en el post son suficientes para demostrar que -1/12 y 1+2+3+4+... no son la misma cosa, y solo coinciden en que pueden ser utilizados como solución de la ecuación 4S = S - 1/4.

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