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Lógica Simbólica - Resumen




LÓGICA SIMBÓLICA Y ELEMENTOS DE METODOLOGÍA DE LA CIENCIA


Lógica:

Suele hablarse de lógica como ciencia en dos sentidos distintos, uno amplio y el otro restringido. La amplia es denominada lógica inductiva, y la restringida, lógica deductiva elemental*.


*(este post se basa en la lógica restringida)

¿Cuál es el objeto de la lógica?:

Si bien es una pregunta difícil de contestar, la respuesta más aproximada sería la siguiente: "el objeto de la lógica es el estudio de los razonamientos deductivos y el proveer de métodos para distinguir los válidos de los inválidos.
Para entender esto, habrá que definir que es razonamiento, razonamiento deductivo y razonamiento válido e inválido, comenzando por la caracterización de PROPOSICIÓN.



Las proposiciones.

Se dividen en tres funciones, expresiva, prescriptiva o directiva y la informativa.

Expresiva → manifiesta estados de ánimo, deseo, aprobación. Ej.: ¡Ojalá llueva!.

Prescriptiva → son las que están encaminadas a producir o impedir cierta acción, ordenes, pedidos, ruegos. Ej.: Alcánzame mi libro, por favor. Las preguntas también forman parte de esta función, solo si conllevan a obtener una respuesta, como por ejemplo: ¿Me siento mejor doctor?

Informativa → caracterizadas por afirmar o negar algo. Por ejemplo: 'Hubo dos guerras mundiales', 'Cinco es un numero par', 'En la Argentina no hay osos polares', 'Montevideo es la capital del Perú'.
A este tipo de expresiones lingüísticas se las denomina proposiciones o enunciados, y se caracterizas porque de ellas tiene sentido decir que son verdaderas o falsas.

Entonces, definiremos proposiciones como aquellas expresiones lingüísticas que poseen una función informativa: afirman o niegan algo, y tiene sentido decir de ellas que son verdaderas o falsas.
La verdad y falsedad son los valores de verdad que tienen las proposiciones. Si una proposición es verdadera, decimos que su valor de verdad es verdad, y su es falsa, decimos que su valor de verdad es falsedad. Las cuales abreviaremos con V y F los dos valores de verdad.


Los razonamientos.

Son un conjunto de dos o mas proposiciones, en la que una es la conclusión y se pretenden que ésta se deduzca y este fundada en las otras, llamadas premisas.
Por ejemplo:
'El ladrón tuvo que entrar o bien por la puerta, o bien por la ventana.
Por la puerta no entró, como lo ha demostrado la investigación policial.
Por lo tanto, el ladrón tuvo que entrar por la ventana'.



Los razonamientos deductivos.

Se dividen en dos partes, deductivo y no deductivo.
Deductivo → se pretende que la conclusión se deduzca de las premisas. Por ejemplo:
Todos los niños menores de tres años tienen muy poco desarrollada la capacidad de abstracción. Por lo tanto, mi sobrina, de dos años de edad, debe tener también su capacidad de abstracción muy poco desarrollada.


No deductivo → la conclusión se deduce con cierto grado de probabilidad y no con necesidad. Por ejemplo:
Siempre que llueve hace frío. Luego, siempre que hace frío llueve.



Los razonamientos válidos.

Dijimos que un razonamiento es deductivo cuando se pretende que la conclusión se deduzca de forma necesaria de las premisas. Cuando la conclusión se deduce de las premisas, el razonamiento es válido. En primer lugar, la validez no depende del contenido del razonamiento, sino de su forma. Diremos que un razonamiento es válido cuando su forma es válida, y que es inválido cuando su forma es inválida. No es correcto creer que los razonamientos con conclusión verdadera son válidos y los de conclusión falsa son inválidos. Ejemplo:

Todos los porteños son argentinos
Todos los argentinos son latinoamericanos
_____________________________________
Todos los porteños son latinoamericanos


Este es un razonamiento válido que tienen premisas y conclusión verdadera. Si eliminamos la palabra 'porteños', 'argentinos', 'latinoamericanos' y colocamos letras F, G, H, obtendremos la siguiente forma de razonamiento:

Todo F es G
Todo G es H
___________
Todo F es H


Si ahora remplazamos las letras, F,G, H por las palabras 'músico', 'francés' y 'africano' obtendremos el razonamiento:

Todo músico es francés
Todo francés es africano
____________________
Todo músico es africano


que también es un razonamiento valido, pues tiene la forma del primero, que era válido pero con premisas y conclusión falsa.
Así como hay de este tipo, también hay razonamientos inválidos con las mismas condiciones. Pero ¿Cómo saber cuando una forma de razonamiento es válida y cuando es inválida? Ej.:

Todos los gatos son felinos
Ningún gato es un ave
__________________
Ningún felino es un ave


La forma de este razonamiento es la siguiente:

Todo F es G
Ningún F es H
____________
Ningún G es H


Tomemos ahora otro razonamiento con esta misma forma:

Todos los perros son cuadrúpedos
Ningún perro muge
________________________
Ningún cuadrúpedo muge

Vemos claramente que este último razonamiento es invalido, mientras que del anterior podemos dudar acerca de si es válido o no. Lo que nos hace ver que se trata de un razonamiento inválido el hecho de que, siendo sus premisas verdaderas, su conclusión es falsa.
Esta característica nos permite definir razonamiento valido del siguiente modo:

Un razonamiento es válido cuando su forma es válida. Y la forma de razonamiento es válida cuando no hay ningún razonamiento de esa forma que tenga premisas verdaderas y conclusión falsa. Por otro lado, un razonamiento es inválido cuando su forma es inválida, y una forma de razonamiento es inválida cuando hay por lo menos un razonamiento de esa forma que tiene premisas verdaderas y conclusión falsa.


Los razonamientos válidos pueden tener premisas verdaderas y conclusión falsa. LO QUE NO PODRÁ ocurrir, es que un razonamiento válido tenga premisas verdaderas y conclusión falsa.




LÓGICA PROPOSICIONAL


Recurre a ciertos símbolos para representarlas: 'p', 'q', 'r', 's', 't'.

Proposiciones simples y compuestas.

Se dividen en dos grupos, las simples y las compuestas.
Las simples → son aquellas que no contienen dentro de sí ninguna otra proposición, como los enunciados:
  • El 5 es un número primo
  • Aristóteles fue uno de los filósofos mas grandes de la antigüedad
  • Las ballenas son mamíferos

Las compuestas → son aquellas que contienen dentro de sí otras preposiciones. Ej:
  • Hubo elecciones y eligieron senadores
(que contiene dentro de sí los enunciados 'hubo elecciones' y 'eligieron senadores'.


Las conectivas.

Definimos conectiva como la expresión lingüística que aplicada a uno o dos enunciados, permite obtener un enunciado compuesto.
Forman un enunciado compuesto las palabras 'o' y otras expresiones como 'y', 'sólo si', 'si... entonces', 'a menos que'. Ej: Iré a verte mañana, o te llamaré mas tarde.

Las conjunciones. ( . )

La palabra 'y' es la que cumple la función conjuntiva y une ambas preposiciones. Ej: Juan vino y Pedro se fue. Es una proposición compuesta que consiste en la conjunción.
El signo que usa la lógica para representar la conjunción es el punto '.'
Con el ejemplo anterior simbolizaremos 'Juan vino' como 'p' y 'Pedro se fue' como 'q', mediante que 'Juan vino y Pedro se fue' sera simbolizado como 'p.q' (que se lee p y q) Siendo una forma proposicional compuesta.
En este cuadro se consideran todas las posibles combinaciones de los valores de verdad el par de preposiciones que componen una conjunción y los valores que corresponden al compuesto. Cada fila corresponde a una combinación posible. Si usamos V y F para representar los valores de verdad, como dijimos anteriormente, obtendremos la siguiente tabla:



Las negaciones. (-)

La proposición 'No existen los fantasmas' es una proposición compuesta que consiste en la negación de la proposición 'existen los fantasmas'. La palabra 'no' es la conectiva que cumple la función de negar el enunciado. El símbolo que se utiliza para la negación es el guion '-' y se coloca antes de la letra proposicional.
Ej:
  • Hace frío, pero no llueve. → p.-q

  • No hace frío, pero llueve. → -p.q
  • No es cierto que llueve y hace frío. → -(p.q)


La ley que define la negación es la siguiente:

La negación de un enunciado verdadero es falso, y la negación de un enunciado falso es verdadero.




Disyunciones. (v)

La conectiva que establece la disyunción es la palabra 'o'.
Ej: Modificaran el plan de estudios o agregaran nuevas materias. Posee dos sentidos: exclusivo (w) y no exclusivo (v).
La disyunción no exclusiva es falsa solo cuando los dos componentes son falsos, y es verdadera en los demás casos

Ejemplos:
  • Vamos a ver tele o vamos a la playa. → p v q

También puede negarse en conjunto, de esta manera:
Vamos a ver tele o vamos a la playa pero no ambos. → p v q . - (p.q)

Los disyuntivos que componen una disyunción pueden ser proposiciones compuestas, como por ejemplo: 'lloverá o habrá granizo y tormentas eléctricas' donde el segundo disyuntivo es una conjunción. Este enunciado se simboliza de la siguiente manera: p v (q . r) donde los paréntesis indican que lo que esta en disyunción es 'p', por un lado, y 'q.r' por otro.

Ejemplos:
  • 13 es un numero primo, o es divisible por un numero distinto de 1 y 13. → p v (q.r)
  • Me serviré postre o fruta pero no ambos. → (p v q) . - (p.q)
  • Irá a Perú o a México y luego visitare Chile. → (p v q) . r



Proposiciones condicionales ( ∩ )

La proposición compuesta 'Si me levanto temprano, entonces tomaré el tren de las ocho' es una proposición condicional. La que sigue a la palabra 'si' se llama antecedente, y la que le sigue a la palabra 'entonces' es el consecuente. El signo que se utiliza para representar esto es una herradura ∩. Entonces, si representamos el antecedente como 'p' y el consecuente como 'q', la proposición inicial quedara simbolizada como por la forma 'p ∩ q' (que se lee ' si p entonces q')
  • Si es cierto que me levanto temprano y no es cierto que tomo el tren de las ocho, diremos que el condicional es falso; si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, el condicional es falso
  • Ahora, si es cierto que me levanto temprano y es cierto que tomo el tren de las ocho, diremos que el condicional es verdadero; si el antecedente y consecuente son verdaderos, el condicional es verdadero.

Ej.:
  • Si vamos a la Rioja, me gustaría visitar alguna bodega. → p ∩ q
  • Si llueve y hace frío, no iré a verte. → p ∩ -q



Proposiciones bicondicionales. (♡)

Se forma usualmente con la conectiva ' si y sólo si' como en el enunciado 'Jugaremos a las cartas si y sólo si reunimos cuatro personas'. Los componentes del bicondicional reciben el nombre de componente izquierdo y componente derecho, y el signo que se usa para representar el sí y sólo si es '♡'.
Si simbolizamos el ejemplo anterior, colocando como 'p' a 'jugaremos a las cartas' y 'reunimos cuatro personas' como 'q', el bicondicional quedaría de esta forma: p ♡ q (que se lee 'p si y sólo si q).
En cuanto a las condiciones que hacen verdadero o falso un bicondicional:
Si uno de sus componentes es verdadero y el otro falso, el bicondicional es falso, y es verdadero cuando ambos componentes son verdaderos o ambos son falsos.


Ejemplos:
  • Una figura es un triangulo si y solo si tiene tres lados. → p ♡ q
  • Ire al centro si y solo si circulan los trenes y los ómnibus. → (p ♡ q) . r



Negaciones conjuntas. (↓)

La proposición 'Ni viajara a México ni regresara a su país' es una proposición compuesta llamada negación conjunta donde la conectiva 'ni... ni' relaciona dos proposiciones simples. Se representa con la flecha invertida '↓'.
Si simbolizamos 'viajará a México' como 'p' y 'regresara a su país' como 'q', quedaría de esta forma: p ↓ q (que se lee ni p ni q).
Entonces:
Una negación conjunta es verdadera cuando sus componentes son falsos, y es falsa en los demás casos.


Ejemplos:
  • Ni visitamos el monumento ni pudimos recorrer la ciudad. → p ↓ q
  • Fuimos al museo, pero ni encontramos las obras que buscábamos ni nos dijeron donde encontrarlas. → r . ( p ↓ q)



Negaciones alternativas. ( | )

'O no construiremos un puente, o no construiremos un túnel' es una negación alternativa, y el signo que representa la conectiva 'o no..., o no' es la barra '|'. Simbolizando esta preposición de esta manera: p | q (que se lee o no p o no q).
Entonces:
Una negación alternativa es falsa cuando sus dos componentes son verdaderos, y es verdadera en los demás casos.


Ejemplos:
  • O no había entradas o no nos la quisieron vender. → p | q
  • O entregamos el proyecto mañana, o no lo entregamos, y automáticamente quedaremos fuera del concurso. → (p | q) . r





Aclaro, digo que el post es de mi autoría porque no usé ninguna página de internet para extraer la información. Es todo recopilado de mis apuntes de la facultad y las fotocopias de Introducción al Pensamiento Científico.

Para los que lo estaban necesitando, ojalá les haya servido suerte con eso!


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