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Problemas de optimizar

Introducción

El cálculo diferencial básico (nivel bachillerato) nos permite resolver problemas de optimización. En estos problemas, se desea encontrar los puntos de máximos y/o mínimos de una función, es decir, se maximiza o minimiza una función.

Ejemplo de problema: Encontrar parejas de números x e y tales que y sea el doble del cuadrado de x y que la resta de sus cuadrados (x^2 - y^2) sea máxima.

La función que debe optimizarse en este problema es f(x) = x^2 - y^2.

Método de resolución:

Para resolver este tipo de problemas, seguiremos el siguiente esquema:

  • Encontrar la función que se debe maximizar o minimizar.
  • Calcular la derivada de la función .
  • Igualar a 0 la derivada de para encontrar los puntos críticos (puntos candidatos para ser extremos).
  • Estudiar la monotonía de la función en los intervalos que determinan los puntos críticos para determinar si son o no extremos (criterio de la primera derivada). Este paso se puede omitir si se aplica el criterio de la segunda derivada.

Resolución del problema del ejemplo:

La función que debemos maximizar es f(x) = x^2-y^2. Esta función tiene dos variables, pero como y debe ser el doble de [i]x^2, tenemos que y = 2x^2. Sustituimos en la función:

Problemas optimizar

Derivamos:

Problemas optimizar

Puntos críticos:

Problemas optimizar

Los puntos críticos son x = 0 y

Problemas optimizar

Analizando la monotonía, la función tiene máximos en los puntos

Problemas optimizar

Por tanto, las parejas de números que buscamos son

Problemas optimizar

Enlace: 24 Problemas resueltos de Optimizar.

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