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Vectores del Plano

1. Definición

Un vector del plano real es

Vectores del Plano

donde v1 y v2 son las coordenadas de dicho vector.

Para representarlo, dibujamos una flecha que parte del origen (0,0) y termina en el punto cuyas coordenadas son las mismas que las del vector.

Ejemplo

Vectores del Plano
Vectores del Plano

El sentido del vector es el sentido que indica la flecha al representar el vector (la flecha tiene que apuntar siempre al punto de las coordenadas del vector).
La dirección del vector queda determinada por el ángulo que forma con el eje de abscisas (o de ordenadas). Notemos que para una misma dirección existen dos sentidos.
El módulo del vector es la longitud de éste. Más adelante veremos cómo calcularlo a partir de sus coordenadas.

2. Módulo

El módulo del vector

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es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas:

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Ejemplo

Vectores del Plano

Decimos que un vector es unitario si su módulo es 1.

3. Suma y resta de vectores

Dados dos vectores:

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La suma se calcula sumando sus coordenadas (la primera con la primera y la segunda con la segunda):

Vectores del Plano
Vectores del Plano

La resta se calcula restanto sus coordenadas (la primera con la primera y la segunda con la segunda):

Vectores del Plano
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4. Producto de un vector por un escalar

Sea α un número real (un escalar) y sea el vector

Vectores del Plano

Entonces, el producto del vector por el escalar es

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Estos vectores tienen la misma dirección que vector v pero módulo distinto (siempre que α sea distinto de 1). Además, si [i]α es positivo, tienen el mismo sentido; si es negativo, tienen sentido opuesto.

5. Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de los dos vectores

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se puede calcular a partir de sus coordenadas como

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También se puede calcular a partir de sus módulos y el ángulo α que forman los vectores entre sí:

Vectores del Plano

Combinar ambas fórmulas puede resultar útil para calcular el ángulo entre dos vectores dados.

Vectores del Plano

Ejemplo

Vamos a buscar el ángulo que forman los dos vectores

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calculamos su producto escalar a partir de sus coordenadas:

Vectores del Plano

Ahora calculamos los módulos de los vectores para aplicar la fórmula anterior y obtener el ángulo que forman:

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Por tanto, el ángulo es

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Ejercicios resueltos

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