Álgebra de boole y compuertas lógicas

Bienvenidos sommeliers de traviesos!


Antes que nada la parte teórica la saque de páginas pero todo lo demás son de apuntes que tengo de la facu.

Álgebra de boole y compuertas.


Antes de comenzar es conveniente tener en claro el sistema binario:
*”Es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es uno de los que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).”

Les dejo una tabla de conversión hasta el 1010 (el que lo entendió es porque no necesita leer esta parte).





Tabla de valores por pesos (para convertir de binario a decimal y viseversa).

8 bits.



En este caso sería: 1111 1111 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255

Otro ejemplo en 8 bits:



128 + 64 + 16 + 8 + 2 = 202

Ahora sí, circuitos a la obra! (Chistaso).


ÁLGEBRA DE BOOLE.

1º Definición teórica:

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema.

2º Definición teórica:

Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

El + (mas) va a estar reflejado como “O” y el x (por) va a estar representado por “Y”.

Expresión de ejemplo:

F(x,y) = X + Y

Teniendo en cuenta que son dos variables vamos a realizar una tabla de verdad con todos los posibles casos.

Como se puede observar aparece el signo + el cual como se dijo anteriormente va a representar a la expresión “O”.

Ejemplo con fines didácticos: “Me clavo un trava o me como dos travas.”
Con que una de las expresiones sea correcta alcanzará para que todo sea correcto.



Ahora vamos con otra expresión pero con la el “Y”.

F(x,y) = X * Y

En este caso se tienen que dar las dos situaciones para que la salida sea 1.

Ejemplo: “Denunció a un lince y me clavó alto guiso”.



Dio únicamente 1 la salida cuando denunció a un lince mientras se comía alto guiso.




Dichas expresiones pueden ser plasmadas con circuitos lógicos en los cuales la expresión Y va a ser representada por una compuerta AND y la expresión O por una compuerta OR.

OR



AND




Ahora vamos con un ejemplo en el cual una de las variables está negada (se invierte).

F(x,y) = X + Y’ (Yo lo pongo con el símbolo ‘ pero suelen aparecer con una raya arriba de la letra).

Vamos con la tabla de verdad!



Como se puede observar la tercer columna es la Y pero invertida (negada). Y posteriormente se procede a hacer la suma de la primer columna (X) y la tercera (Y negada).

También se podría dar que lo negado fuese la salida, entonces sería:

F(x,y) = (x+y)’



En los circuitos las negaciones están representadas por un triángulo o un puntito.



Otros tipos de compuertas que existen son:

NAND


NOR


XOR



Ejemplo más complejo:
F(x,y,w) = (x+y)*w



Otro mas:

F(w,x,y,z) = ((w+x)+(y+x)’)*z’




Les dejo una imagen del circuito de la UAL (unidad aritmética lógica) para que vean un ejemplo copado de todo lo que se puede hacer con 0 y 1.




Espero que les sirva para algo, si a alguno le interesa se puede continuar con el tema ya sea con mapas Karnaugh o de como reducir expresiones con métodos algebraicos y demás cosas.