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Aprendiendo Matemáticas: Limites Indeterminados parte I



Hoy les traigo: Aprendiendo Matemáticas: Limites Indeterminados parte I.

Nota: Trataré de explicarlo lo más sencillo posible y si lo amerita el caso con algunos ejemplos de la vida real que ilustren un poco mejor dicha explicación. No soy un experto en Matemáticas, sin embargo me gustan mucho y reviso varias veces lo que redacto para garantizar un buen aporte, cualquier plus que quieras agregar para la inteligencia colectiva será bien recibido.

Observación: Siempre que hablemos del termino infinito nos estamos refiriendo a un "número" que en magnitud siempre muy grande.

Por ejemplo si comparamos una grano de maíz con un maizal entero entonces el grano de trigo puede ser un numero finito que conozcamos por ejemplo "4" y el maizal (que sabemos que contiene "n" cantidad de granos de maíz) sería infinito () debido a que sabemos que si hay pero no tenemos la idea exacta de granos de maíz "contiene" este maizal.

Observación 2: Una vez aclarado un poco el concepto de infinito debemos conocer ciertas "reglas" u "operaciones" que podemos hacer con él y sus resultados. A continuación las muestro:



A) Suma algebraica de infinito con una constante:

Suma algebraica: Se refiere a la suma o resta de dos números, variables etc.

Ejemplo: ± 7 =

Explicación. Si sumas siete estrellas al Universo sería algo relevante? pues realmente no porque el universo es tan basto que existen incontables cantidad de estrellas contenidas dentro de él por lo que si le sumas 7 estrellas más no causaría algún efecto importante entonces al ser incontable la cantidad de estrellas el total de ellas sigue siendo infinitas.

Idénticamente sucede con la resta, si recogemos 7 "granos de arena" de alguna playa... sabremos cuantos granos de arena en total quedan en esa playa? la verdad es que no y por ello el resultado dará igualmente infinitos granos de arena.

Conclusión.: Cualquier número finito que le sumes o le restes a infinito siempre dará como resultado infinito.



B) Suma algebraica de una constante con infinito (recuerden que para efectos de la resta el orden de los factores altera la suma algebraica):

Ejemplo: ± 9 - = -

Explicación: Para ello utilizaremos la conocida recta numérica:



supongamos que estamos en una nave situada en el "0" de la recta numérica y que ese cero lo llamamos nuestro planeta Tierra. si nos desplazamos con una velocidad constante hacia la izquierda durante 9000 años y luego nos da por desplazarnos a la derecha con la misma velocidad durante 9 años... estaríamos cerca de la tierra gracias a estos 9 años? No, realmente estaríamos infinitamente lejos de ella por la cantidad de años recorridos hacia la izquierda.

Si lo vemos con la operación matemática: 9- 9000 = - 8991 o lo que es lo mismo 9 - = -

De igual forma si suponemos que recorremos esos 9000 años hacia la izquierda y luego viajamos 9 años más en la misma dirección igualmente estaríamos infinitamente lejos de la Tierra y estos 9 años sólo nos ayudaría a esta un poco, tan sólo un poco mas lejos de ella. Por lo que: - 9 - = -

Conclusión.: Si ya posees un número negativo excesivamente grande y le sumas o le restas un número finito conocido, el total siempre tenderá a dar el número negativo muy grande ya que la cantidad que le sumas o restas es tan pequeña que en cierta forma es despreciable.



C) Producto de una constante por infinito: siempre dará infinito y el signo se determina con la misma regla de productos de dos números finitos.

Ejemplo:

(1)(1)= 1 (más por más es más)
(1)(-1)= -1 (más por menos es menos)
(-1)(1) = -1 (menos por mas es menos)
(-1)(-1)= 1 (menos por menos es mas)

Explicación: si multiplicas (-9)() = -

por qué da este resultado? porque si leemos la multiplicación dice: nueve veces multiplicado infinito o infinitas veces multiplicado nueve, cualquiera de las dos formas lógicamente dará un número muy grande y que definitivamente no sabemos su valor con exactitud.



D) Constante dividida por infinito/ infinito dividido por constante:

k / = 0
/ k = (ojo k debe ser distinto de cero más adelante explicaré porque)

Explicación. Probando con algunos datos observamos que:



Conclusión.

En el cuadro de la izquierda, a medida que el denominador es más grande el resultado de la división "tiende" hacia 0 y de allí el análisis de k / = 0

En el cuadro de la Derecha, a medida que el numerador se hace más grande el resultado de la división "tiende" a ser más grande también y es por ello que / k =



E) Potencia con infinito. Sigue la regla de la potencia con respecto al signo.

si la potencia es es un número par el resultado es positivo pero si la potencia es un número impar depende del número que estamos elevando.



Ahora si es una constante la que elevamos a infinito:

si k>1 ejemplo:

si 0



Una vez aclarado lo anterior comenzamos de lleno con las indeterminaciones:

Que son las indeterminaciones: en términos sencillos es cuando suceden casos aislados en los cuales no podemos conocer directamente el valor de un límite y por ello debemos valernos de ciertas herramientas/estrategias matemáticas para solucionarlos

Indeterminación infinito sobre infinito :

Ejemplo:





Disculpen si me extendí con la explicación inicial pero considero que es una información vital para no tener errores "tontos" cuando solucionamos ejercicios... Ya saben como es la Matemática 1 sólo error y todo el ejercicio está malo.



Quieres ver otros post acerca de límites? Visita estos:

Aprendiendo Matemáticas: Limites Indeterminados, Parte II.

Aprendiendo Matemáticas: Límite de una función. Parte I

Aprendiendo Matemáticas: Límite de una función. Parte II

Aprendiendo Matemáticas: Límite de una función. Parte III

Aprendiendo Matemáticas: Límite de una función. Parte IV

Aprendiendo Matemáticas: Límites Laterales en funciones.



Bueno Linces gracias por pasar y espero les haya gustado el post!

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