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Binomios... el mal de muchos

En el colegio uno de los tantos problemas que tuve fue el tema de los binomios en matemática.

En esta publicación les voy a mostrar como se pueden "armar" los Binomios elevados a cualquier potencia mayor o igual a cero.

Antes de comenzar les mostraré un ejemplo.

El más conocido de todos es el cuadrado de un binomio, es decir: (a + b)^2.

Para resolverlo se hace lo siguiente:

1) Multiplicamos:
(a + b) * (a + b).

2) Para esto aplicamos la propiedad distributiva:
(a + b) * (a + b) = (a*a + a*b + b*a + b*b)

3) Aplicamos propiedad de potencias y sumamos términos semejantes:
(a + b) * (a + b) = (a*a + a*b + b*a + b*b) = (a^2 + 2*a*b + b^2)

4) Ahora analizamos el resultado y podemos decir que:
(a + b) * (a + b) = a^2 + 2*a*b + b^2

Entonces decimos que:

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más dos veces el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término

Hasta acá, va más o menos bien, pero ¿qué pasa cuando la potencia del binomio es 5?. Hacer el cálculo puede ser largo y engorroso.

El método para "armar" el binomio elevado a cualquier número mayor o igual a cero se puede hacer así:

1) Para esto vamos a utilizar el Triángulo de Niccolo Fontana (Tartaglia)



Este triángulo se arma comenzando con 1, luego se pone abajo 1 1, y en la siguiente línea se van agregando 1 más la suma de los dos números de arriba y se termina con 1. Estos números serán los coeficientes de los términos del polinomio a formar.

2) Ahora si, vamos a "armar" hasta el binomio elevado a la quinta: (a + b)^5




Como pueden ver, las filas del triángulo de Tartaglia, son los coeficientes de los términos del polinomio formado. Y si se fijan un poco más, en cada término la suma de los exponentes suma 5.
En el primer término tenemos: a^5 * b^0 = a^5
En el último término tenemos: a^0 * b^5 = b^5

En los demás términos, la potencia de "a" comienza a bajar y la de "b" comienza a subir, y la suma de los exponentes en cada término da 5.

-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-

Gracias a la sugerencia de Steppen_wolf, voy a agregar el caso en que el binomio es una resta y no una suma, es decir (a -b)^n

Siguiendo el ejemplo anterior tenemos:

1) Multiplicamos aplicando la regla de los signos:
(a - b) * (a - b).

2) Para esto aplicamos la propiedad distributiva:
(a - b) * (a - b) = (a*a - a*b - b*a + b*b)

3) Aplicamos propiedad de potencias y sumamos (restamos) términos semejantes:
(a - b) * (a - b) = (a*a - a*b - b*a + b*b) = (a^2 - 2*a*b + b^2)

4) Ahora analizamos el resultado y podemos decir que:
(a - b) * (a - b) = a^2 - 2*a*b + b^2

Entonces decimos que:

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, menos dos veces el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término

Al "armar" el binomio elevado a la quinta, pero con el segundo término negativo, es decir: (a - b)^5 nos queda de la siguiente manera:



Analizando los signos vemos que si el binomio tiene el segundo término negativo, en el desarrollo del mismo los signos son alternados comenzando con el primer término positivo.

Eso es todo. Espero les sea útil esta información.
Gracias.
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