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Entonces i^i ∈ ℝ ?

Rodando por Internet me encontré con un artículo en inglés que trataba acerca de interrogarse cual sería el resultado de elevar i (esto es la raíz de menos uno la cual es un número imaginario) a la potencia de este mismo valor, me pareció interesante y se los traigo a compartir de manera un poco mas sencilla y en español.

la forma de enfrentar el problema es primero recordar la definición básica que involucra elevar el número de Euler "e" a la potencia de i, así:

Por lo tanto existe un número complejo z tal que:

Y ese sería un valor de i a la i.
Ahora, cuáles serían los valores para z? Recordando que z es un número complejo de la forma a+bi entonces:

y aplicando el teorema de Moivre:

Entonces:

Y esta expresión es igual a i cuando se cumplen todas las siguientes condiciones:

Lo cual ocurre cuando:

Para cualquier número entero n.
Finalmente tenemos que los posibles valores resultantes de elevar i a la potencia i es un conjunto representado por la ecuación:

Lo cual es interesante dado que todos estos valores son números REALES y por tanto podemos decir que:
0
11
0
3
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